2025版新教材高中数学滚动复习5新人教A版必修第二册

滚动复习5一、选择题(每小题5分，共45分)1．[2024·广东深圳高一期中]下列四个命题正确的是()A．全部的几何体的表面都能展成平面图形B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等C．棱柱的各条棱长度都相等D．棱柱中两个相互平行的面肯定是棱柱的底面2．[2024·河南洛阳高一期中]若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为()A．eq\f(27,4)πB．eq\f(9,2)πC．3πD．eq\f(9,4)π3．已知直三棱柱ABC­A′B′C′的体积为6，则三棱锥B­A′B′C′的体积是()A．5B．－4C．3D．24．[2024·河南开封高一期中]如图所示，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O′A′B′C′，且O′C′＝2O′A′＝2，∠A′O′C′＝45°，则平面图形OABC的周长为()A．12B．4eq\r(2)C．5D．105．[2024·河南洛阳高一期中]2024年4月16日，神舟十三号三名航天员胜利返回着陆点，返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m，下底面圆的直径为2.8m，上底面圆的直径为1m，则估算其体积约为(π≈3.14)()A．3.6m3B．7.6m3C．22.8m3D．30.5m36．一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为6eq\r(2)，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为()A．5B．4C．3D．27．如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，假如每平方米须要涂200克，则共需涂胶(精确到个位数)()A．176克B．207克C．239克D．270克8．(多选)[2024·福建福州四中高一期中]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶29．(多选)[2024·安徽宣城高一期末]已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为eq\r(6)，则()A．正四面体的棱长为6B．正四面体的内切球的表面积为6πC．正四面体的外接球的体积为8eq\r(6)πD．线段MN的最大值为2eq\r(6)二、填空题(每小题5分，共15分)10．已知圆柱的底面积为S，轴截面的面积为Q，则它的侧面面积为________．11．长方体ABCD­A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A动身沿长方体表面爬行到C1来获得食物，则其路程的最小值为________.12．[2024·北京通州高一期末]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则四棱锥D1­DABC的表面积为________；若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为________．三、解答题(共40分)13．(10分)一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球(假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计)，求球取出后，容器中水面的高度．14．(15分)某长方体从一个顶点动身的三条棱的长分别为3cm，3cm，eq\r(7)cm.(1)求该长方体的外接球的体积和表面积；(2)如图，将此长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求剩下的几何体的体积．15．(15分)[2024·山西太原高一期中]在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，分别以AB，AC，BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，其体积分别记为V1，V2，V3.(1)求V1，V2，V3的值；(2)求以BC所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．滚动复习51．答案：B解析：对于A，球的表面不能展成平面图形，错误；对于B，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，正确；对于C，棱柱的各条侧棱长度都相等，但是侧棱长度与底面中的棱长不肯定相等，错误；对于D，正六棱柱中，相对的两个侧面相互平行，但它们不是正六棱柱的底面，错误．故选B.2．答案：A解析：由题可知，该圆锥的底面半径为eq\f(3,2)，因此，该圆锥表面积为π×(eq\f(3,2))2＋π×eq\f(3,2)×3＝eq\f(27,4)π.故选A.3．答案：D解析：设三棱锥B­A′B′C′的高为h，则VB­A′B′C′＝eq\f(1,3)S△A′B′C′·h＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝2.故选D.4．答案：D解析：依据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如图所示，且长AB＝4，宽OA＝1.故该平面图形的周长为2(OA＋AB)＝10.故选D.5．答案：B解析：由题意知圆台高为2.5m，下底面圆的半径为1.4m，上底面圆的半径为0.5m，则估算其体积约为V＝eq\f(1,3)πh[r2＋rr′＋(r′)2]≈eq\f(1,3)×3.14×2.5×[0.52＋0.5×1.4＋1.42]≈7.6(m3).故选B.6．答案：B解析：依据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底面平行的平面截得的，如图所示：对原正四棱锥，BD＝eq\r(2)BC＝12，故其高PO＝eq\r(PB2－（\f(1,2)BD）2)＝eq\r(100－36)＝8，又△PO1B1∽△POB，其相像比为eq\f(1,2)，故正四棱台的高h＝eq\f(1,2)PO＝4.故选B.7．答案：B解析：由已知得圆锥的母线长l＝eq\r(0.32＋0.42)＝0.5，所以台灯表面积为S＝πrl＋2πr2＝π×0.3×0.5＋2π×0.32＝0.33π，须要涂胶的重量为0.33π×200＝66π≈66×3.14＝207.24≈207(克).故选B.8．答案：CD解析：A选项，圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，A选项错误；B选项，圆锥的母线长为eq\r(R2＋（2R）2)＝eq\r(5)R，圆锥的侧面积为πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，B选项错误；C选项，球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确；D选项，圆柱的体积为πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为eq\f(1,3)×πR2×2R＝eq\f(2π,3)R3，球的体积为eq\f(4π,3)R3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3∶eq\f(2π,3)R3∶eq\f(4π,3)R3＝3∶1∶2，D选项正确．故选CD.9．答案：ABD解析：设这个四面体的棱长为a，则此四面体可看作棱长为eq\f(\r(2),2)a的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，设外接球的半径为R，内切球的半径为r，则2R＝eq\r(3×（\f(\r(2),2)a）2)＝eq\f(\r(6),2)a，所以R＝eq\f(\r(6),4)a，四面体的高为h＝eq\r(a2－（\f(\r(3),3)a）2)＝eq\f(\r(6),3)a，由等体积法可得eq\f(1,3)Sh＝4×eq\f(1,3)Sr，所以r＝eq\f(1,4)h＝eq\f(\r(6),12)a，由题意得R－r＝eq\r(6)，所以eq\f(\r(6),4)a－eq\f(\r(6),12)a＝eq\r(6)，解得a＝6，所以A正确；所以R＝eq\f(\r(6),4)×6＝eq\f(3\r(6),2)，所以外接球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(eq\f(3\r(6),2))3＝27eq\r(6)π，所以C错误；因为内切球半径为r＝eq\f(\r(6),12)×6＝eq\f(\r(6),2)，所以内切球的表面积为4πr2＝4π·(eq\f(\r(6),2))2＝6π，所以B正确；线段MN的最大值为R＋r＝eq\f(3\r(6),2)＋eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(6)，所以D正确．故选ABD.10．答案：πQ解析：设圆柱底面半径为r，高为h，因为圆柱的轴截面面积为Q，即S轴截面＝2rh＝Q，所以圆柱的侧面积为S侧＝2πrh＝πQ.11．答案：eq\r(74)解析：把长方体含AC1的面作绽开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为eq\r(90)、eq\r(74)、eq\r(80).由此可见图(2)是最短路途，其路程的最小值为eq\r(74).12．答案：8＋4eq\r(2)4eq\r(3)π解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，BC⊥平面DCC1D1，DD1⊥平面ABCD，因此，在四棱锥D1­DABC中，∠BAD1＝∠BCD1＝∠ADD1＝∠CDD1＝90°，而AD1＝CD1＝2eq\r(2)，所以四棱锥D1­DABC的表面积S＝2S△ADD1＋2S△BAD1＋SABCD＝2×eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＋22＝8＋4eq\r(2)；正方体ABCD­A1B1C1D1外接球O的直径是正方体ABCD­A1B1C1D1的体对角线长2eq\r(3)，则球O的半径R＝eq\r(3)，所以球O的体积为V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.13．解析：设圆柱体水面下降的高度为h，而球体半径为R＝5，则有V球＝V柱降，即eq\f(4,3)πR3＝π(2R)2h，解得h＝eq\f(5,3)，则容器中水面的高度为h1＝2R－h＝eq\f(25,3)(cm).14．解析：(1)由题意，长方体从一个顶点动身的三条棱的长分别为3cm，3cm，eq\r(7)cm，可得长方体的对角线长为eq\r(32＋32＋（\r(7)）2)＝5(cm)，设长方体的外接球的半径为R，可得2R＝5，即R＝eq\f(5,2)，所以外接球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125π,6)cm3，表面积为S＝4πR2＝25πcm2.(2)如图所示，由长方体从一个顶点动身的三条棱的长分别为3cm，3cm，eq\r(7)cm，则长方体的体积为V1＝3×3×eq\r(7)＝9eq\r(7)cm3，三棱锥B1­A1BC1的体积为VB1­A1BC1＝VA1­BB1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×eq\r(7)＝eq\f(3\r(7),2)cm3，所以剩余部分的体积为V＝V1－VB1­A1BC1＝eq\f(15\r(7),2)cm3.15．解析：(1)以AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为4，它的高为3，所以V1＝eq\f(1,3)·π·42·3＝16π；以AC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为3，它的高为4，所以V2＝eq\f(1,3)·π·32·4＝12π；以BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是有公共的底面的两个圆锥，因为∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝5，边BC上的高为h，所以有eq\f(5h,2)＝eq\f(3×4,2)⇒h＝eq\f(12,5)，所以