2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第01讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示（解析版）

第01讲平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：重点考查平面向量的概念 1题型二：重点考查向量的加（减）法（含坐标表示） 5题型三：重点考查向量的共线定理（含坐标表示） 7题型四：重点考查向量三点共线的等价条件 11题型五：重点考查用基底表示向量 16题型六：重点考查平面向量的基本定理中的参数定值，最值，范围 20第二部分：方法篇 25方法一：求向量模的传统法和坐标法 25方法二：求向量模的最值与范围 27方法三：借助圆解决向量中的最值与范围问题 30第一部分：题型篇题型一：重点考查平面向量的概念典型例题例题1．（2023春·河南南阳·高一统考期中）如图，点为正六边形的中心，下列说法正确的是（

）A． B． C．与共线 D．【答案】B【详解】对选项A：，错误；对选项B：，正确；对选项C：与不共线，错误；对选项D：向量不能比较大小，错误.故选：B.例题2．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设，都是非零向量，下列四个条件中，使得成立的条件是（

）A． B． C． D．且【答案】C【详解】由题意可知分别表示与，同向的单位向量，对于A，当时，，反向，，A错误；对于B，，则，反向时，，B错误；对于C，当时，，C正确；对于D，且时，有可能是，此时，D错误，故选：C例题3．（多选）（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）下列说法中，错误的有（

）A．若，，则B．若，则，，，四点一定是平行四边形的四个顶点C．零向量与单位向量平行D．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量【答案】ABD【详解】对于A，当时，有且，但、不一定共线，A错误；对于B，若，则，，，四点共线或者，，，四点构成四边形（不一定是平行四边形），B错误；对于C，由零向量的性质：方向任意，故其与任意向量都平行，所以零向量与单位向量平行，C正确；对于D，根据两向量共线的定义知：若两个向量的方向相同或相反，则这两个向量共线，故长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，D错误；故选：ABD例题4．（多选）（2023春·高一单元测试）下列命题中正确的有（）A．平行向量就是共线向量B．相反向量就是方向相反的向量C．与同向，且，则D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【答案】AD【详解】对于A，向量可以平移，平行向量即为共线向量，A正确；对于B，相反向量是指模长相等，方向相反的向量，B错误；对于C，向量可以相等，即方向相同且模长相等，但不能比较大小，C错误；对于D，两个向量平行，模长可能不同，也可能方向相反，无法得到两个向量相等，充分性不成立；两个向量若相等，那么两个向量方向相同且模长相等，则两个向量平行，必要性成立；两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确.故选：AD.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）如图，四边形中，，则相等的向量是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【详解】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，故，，，故选：D．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）下列叙述中正确的个数是（

）①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.A． B． C． D．【答案】B【详解】因为向量不能比较大小，所以①错误，单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，当时，和可能不平行，所以③错误，两个向量相等则它们一定平行，所以④正确.故选：B3．（多选）（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）关于向量下列命题中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】ACD【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；对于B，若，则反向，，B正确；对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.故选：ACD.4．（多选）（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列叙述正确的为（

）A．有向线段就是向量，向量就是有向线段B．若，则C．所有的单位向量都相等D．与是非零向量，若与同向，则与反向【答案】BD【详解】解：对于A选项，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故错误；对于B选项，根据零向量的定义，，则，故正确；对于C选项，所有的单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故错误；对于D选项，与是非零向量，若与同向，则与反向，故正确.故选：BD题型二：重点考查向量的加（减）法（含坐标表示）典型例题例题1．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为、、分别是的边、、的中点，则且，所以，，，因此，.故选：D.例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知向量，，，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】由题意，得，所以，解得，所以.故选：C.例题3．（多选）（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）下列能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D不合题意；故选：ABC．精练核心考点1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考期中）已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A项，因为是边的中点，所以，故A项错误；对于B项，因为是边的中点，所以，所以，故B项错误；对于C项，因为，分别是边，的中点，所以，且.又因为反向，所以，故C项错误；对于D项，因为，，分别是边，，的中点，所以，且,，且，所以，，.因为，，所以，所以，所以，故D项正确.故选：D.2．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）如图，在正六边形中，（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，所以.所以，又，所以故选：A.3．（2023春·四川成都·高一成都七中校考期中）已知，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得，故选：A题型三：重点考查向量的共线定理（含坐标表示）典型例题例题1．（2023春·广东江门·高一新会陈经纶中学校考期中），，，且三点共线，则=（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】A【详解】由题得,因为三点共线,所以,所以存在实数,使得,所以,所以,解得.故选：A例题2．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（

）A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线【答案】B【详解】对于A，令，即，所以，所以不存在，使得，A错误；对于B，由于，，所以，所以，又相交于点，故M、N、Q三点共线.B正确；对于C，，令，即，所以，所以不存在，使得，C错误；对于D，令，即，所以，所以不存在，使得，D错误.故选：B例题3．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数_________．【答案】或【详解】因为与是两个不共线的向量，若三点共线，则，即，可得，解得或.故答案为：或.例题4．（2023春·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，化简得；（2）因为，，，所以，由图可知，又因为、、三点共线，所以，所以，当，即时，取最小值.精练核心考点1．（2023春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（

）A．－ B．－1 C．0 D．－2【答案】A【详解】向量与向量平行,则存在实数,使得,即，又，是两个不平行的向量，所以，解得，故选：A．2．（2023春·天津和平·高一耀华中学校考阶段练习）设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，存在实数，使得，即，又，是不共线向量，，解得.故选：B.3．（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）设向量，不共线．若，．若A，B，C三点共线，求实数的值．【答案】2.【详解】因为A，B，C三点共线，则，存在实数，使得，而，．因此，即，又向量，不共线，于是，解得，所以实数的值是2.4．（2023春·河南南阳·高一统考期中）如图所示，在中，．(1)用表示；(2)若，证明：三点共线．【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，即与共线，因为与有公共点B，所以三点共线．题型四：重点考查向量三点共线的等价条件典型例题例题1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，又三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.例题2．（2023春·天津和平·高一耀华中学校考期中）如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以，又，，（，）所以，所以，因为，，三点共线，所以，所以当且仅当，即时取等号；故选：C．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为_______.【答案】【详解】因为A、B、P是直线上三个相异的点，且，即，且x、y为正实数，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.例题4．（2023春·上海浦东新·高一上海市洋泾中学校考期中）已知三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为________．【答案】【详解】由题意，A、B、C三点共线所以存在实数λ使得，即，所以而所以则，所以当且仅当,即时取等号．因此的最小值为．故答案为：．精练核心考点1．（2023春·四川成都·高一成都市第十八中学校校考期中）已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且，则的最小值是（

）A． B．C． D．1【答案】B【详解】由，得，又因为点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，所以且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B.2．（2023春·广东广州·高一广州市第一中学校考期中）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（

）A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【详解】由题意且，而x＝，y＝，所以，又G是△ABC的重心，故，所以，可得，即.故选：A3．（2023春·广东深圳·高一校考期中）过△的重心的直线分别交线段于点，若，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】如下图，若为中点，又△的重心，则共线，且，而，又共线，所以，即，则，故，当且仅当，即时等号成立.故选：A4．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）点是线段上的任意一点（不包括端点），对任意点都有，则的最小值为______.【答案】9【详解】因为点是线段上的任意一点（不包括端点），所以，,所以，又，所以，且，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：9题型五：重点考查用基底表示向量典型例题例题1．（2023春·北京海淀·高一北大附中校考期中）已知非零向量，不共线，且，则向量（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题设.故选：A例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：.故选：C.例题3．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在中，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】中，，，如图所示，.故选：C例题4．（多选）（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，在中，，，直线交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A，因为，所以，则，故A错误；对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数，使得，设，所以，所以解得，，显然成立，因为，所以，故B，C正确；对于D，因为，所以是的中点，因此，由上可知，，故D错误．故选：BC精练核心考点1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在四边形中，，，点在线段上，且，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】在梯形中，，且，则，因为在线段上，且，则，，所以，.故选：D.2．（2023春·浙江·高一校联考期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为D为BC的中点，所以.又因为，，所以.所以，.故选：A.3．（2023春·浙江·高一校联考期中）如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，故,故选：A4．（多选）（2023春·安徽阜阳·高一田家炳实验中学校考期中）设、是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【详解】因为、是平面内两个不共线的向量，则有：对于A：设，即，显然不成立，即不能用表示，故，不共线，所以A符合；对于B：设，即，则，无解，即不能用表示，所以，不共线，故B符合；对于C：，故，共线，所以C不符合；对于D：设，即，则，无解，即不能用表示，故，不共线，所以D符合．故选：ABD．题型六：重点考查平面向量的基本定理中的参数定值，最值，范围典型例题例题1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）设、为单位向量，非零向量，，若、的夹角为，则的最大值等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【详解】.当时，的值为0，当时，有，当时，有最小值，此时有最大值为.故选：B.例题2．（2023·全国·高一专题练习）若，则的取值范围是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，且,当同向时，取得最小值，；当反向时，取得最大值，；当不共线时，取得最小值，，故的取值范围是，故选：C例题3．（2023·全国·高一专题练习）在平面内，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，.由得则又由，得，则，即①.又，得，则；同理由，得，即有②.由①②知，所以.而，所以.故选：D.例题4．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）已知，则的最大值是__________.【答案】4【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为，故答案为：.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】解：以，为邻边作平行四边形，设，，则，由题意，设，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值为6.故选：C．2．（2023春·全国·高一专题练习）已知向量，满足，且，若向量满足，则的取值范围为________.【答案】【详解】设向量，，则，由已知，，又∵，，∴，由向量减法的几何意义，，∴，即，当且仅当与方向相同时，，与方向相反时，.∴的取值范围为.故答案为：.3．（2023春·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知是两个互相垂直的单位向量，而，，则对于任意的实数，求的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】是两个互相垂直的单位向量，可令，，设，则，（当且仅当时取等号），，.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，，则的最小值为_________【答案】3【详解】不妨设,,，则，，则，故，，，当且仅当时取等号，则的最小值为3，故答案为：3第二部分：方法篇方法一：求向量模的传统法和坐标法典型例题例题1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）已知则=（

）A．4 B． C．10 D．16【答案】B【详解】由，可得，即，所以，故，故选：B例题2．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）四边形为矩形，对角线长为若则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知：，所以.故选：C.例题3．（2023春·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期中）若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（

）A． B． C．4 D．【答案】D【详解】，则，，故.故选：D.例题4．（2023春·北京海淀·高一人大附中校考期中）已知，则__________；__________．【答案】11【详解】,，所以，故答案为：11；精练核心考点1．（2023春·江苏南京·高一南京大学附属中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则_________.【答案】【详解】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．2．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）已知向量，，且，则______．【答案】10【详解】因为向量，，且，所以，解得．所以．故，所以．故答案为：103．（2023·湖北十堰·统考二模）已知向量，，若，则________．【答案】13【详解】已知向量，，因为，所以，解得，则，．故答案为：13方法二：求向量模的最值与范围典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由题意，向量与共线，故存在实数，使得当且仅当时等号成立故选：D例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.【答案】/【详解】法一由，得.如图所示，分别作,作，由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,作，则,所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,故||的最大值是,故答案为：法二由，得，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.所以故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值是______.【答案】【详解】设，则由，则即点在以为焦点，长轴为的椭圆上所以满足则，且故当时，有最小值故答案为：精练核心考点1．（2023春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】因向量与共线，令，则，而向量，为单位向量，且，于是得，当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故选：B2．（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最小值为____________．【答案】/【详解】则（当且仅当与方向相反时等号成立）故答案为：3．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，点，点在圆上，则的最大值为________________．【答案】/【详解】解：点在圆上，，，的最大值为．故答案为：．4．（2023·江苏·高一专题练习）若向量，满足，，求的最大值及最小值.【答案】最大值是18，最小值是6.【详解】因为，，所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；，当且仅当向量，方向相反时取得等号.所以的最大值是18，最小值是6.方法三：借助圆解决向量中的最值与范围问题典型例题例题1．（2023·天津南开·统考二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【详解】，，所以，则，又因为，所以，所以由可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，取的中点，则，所以，故选：A例题2．（2023春·浙江·高一期中）已知向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B