2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12小题，共24分）1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，则∠F＝．2．（2分）等边三角形的每个内角都等于度．3．（2分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的顶角是80°，则它的底角为．5．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝．7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝45°，则∠C＝．8．（2分）如图，以直角三角形三边向外作正方形，其中两个正方形的面积为50和20，则正方形A的面积等于．9．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为cm．10．（2分）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，则FG＝．11．（2分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有．12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE＝．二、选择题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．14．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm15．（3分）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（）A．到三边距离相等 B．到三顶点距离相等 C．不在第三边的垂直平分线上 D．以上都不对16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（）A．16 B．20 C．21 D．2417．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（）A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm18．（3分）将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（）A．2 B．4 C．8 D．16三、解答题（本大题共10小题，共78分）19．（6分）已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．20．（6分）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．21．（7分）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．（1）判断△ACD的形状；（2）求这块绿地ABCD的面积．22．（7分）（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；（2）△ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．23．（8分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．（1）求线段BC；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为cm．24．（8分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝°．25．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）求证：BE＝DF；（2）探究线段AB、AD、AF三者之间的数量关系；（3）若△ABC的面积是23，△ADC的面积是18，则△BEC的面积等于．26．（8分）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）27．（10分）数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．【知识理解】（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；【知识运用】（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．（3）如图3是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为．【知识拓展】（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S1＝6，S2＝3，S3＝5，则S4＝．28．（10分）【问题情景】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是，请选择正确的一项．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．【初步运用】（3）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．【灵活运用】（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长；【拓展延伸】（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：A．∠ACD＝∠BCDB．CE＝2CDC．∠BCD＝∠BCED．CD＝CB所有正确选项的序号是．

2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，共24分）1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，则∠F＝20°．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∴∠D＝∠A＝100°，∵∠E＝60°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝20°，故答案为：20°．2．（2分）等边三角形的每个内角都等于60度．【解答】解：等边三角形各边长相等，∴∠A＝∠B＝∠C，∵三角形内角和为180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．故答案为：60．3．（2分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件：AC＝DF（答案不唯一），使得△ABC≌△DEF．【解答】解：添加的条件是AC＝DF，理由是：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的顶角是80°，则它的底角为50°．【解答】解：根据等腰三角形两底角相等，底角为：（180°﹣80°）÷2＝50°故答案为：50°．5．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是5．【解答】解：已知直角三角形的两直角边为6、8，则斜边长为＝10，故斜边的中线长为×10＝5，故答案为5．6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝12．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝2CD＝2×6＝12，故答案为：12．7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝45°，则∠C＝45°．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝45°，∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝∠B＝（180°﹣90°）＝45°．故答案为：45°．8．（2分）如图，以直角三角形三边向外作正方形，其中两个正方形的面积为50和20，则正方形A的面积等于30．【解答】解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝50，BD2＝20，∴BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，∴正方形A的面积为30，故答案为：30．9．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为5cm．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD，∵BD：DC＝2：1，BC＝15cm，∴CD＝5cm，∴DE＝CD＝5cm，即点D到AB的距离是5cm，故答案为：5．10．（2分）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，则FG＝3．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，∴∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，∴∠EFB＝∠EBF，∠DCG＝∠DGC，∴BE＝EF，CD＝DG，∵若BE＝5，DC＝7，DE＝9，∴EB+CD＝EF+DG＝EG+FG+FG+DF＝ED+FG，即5+7＝9+FG，∴FG＝3，故答案为：3．11．（2分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有4．【解答】解：如图所示：，共4个，故答案为：4．12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE＝45°．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠E，＝67.5°﹣22.5°，＝45°．二、选择题（本大题共6小题，共18分）13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；故选：A．14．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm【解答】解：A、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵122+52＝132，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．15．（3分）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（）A．到三边距离相等 B．到三顶点距离相等 C．不在第三边的垂直平分线上 D．以上都不对【解答】解：如图：连接OA、OB、OC，∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，∴OB＝OC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（）A．16 B．20 C．21 D．24【解答】解：∵AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BD+CD，即BD+CD＝AC，∴△BCD的周长为CD+BD+BC＝AC+BC＝12+9＝21．故选：C．17．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（）A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm【解答】解：∵∠ACD＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝＝4（cm），∵△ADE是由△ABD沿AD折叠而得到的，∴AE＝AB＝4cm，DE＝DB，∴CE＝AE﹣AC＝5﹣4＝1（cm），设CD＝xcm，则DB＝DE＝（3﹣x）cm，在Rt△DCE中，∴CD2+CE2＝DE2，∴x2+1＝（3﹣x）2，∴x＝，故选：B．18．（3分）将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BAE，可知，BE＝BD，∠BCD＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠BAE+∠BAD＝180°，∴D，A，E在一条直线上，∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，即，可得：，解得：BD＝4，故选：B．三、解答题（本大题共10小题，共78分）19．（6分）已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．【解答】证明：在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∴AE+EF＝EF+CF，∴AE＝CF．20．（6分）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴EB＝EC．21．（7分）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．（1）判断△ACD的形状；（2）求这块绿地ABCD的面积．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），∵52+122＝132，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD，∴S四边形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），答：该绿地ABCD的面积为36m2．22．（7分）（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；（2）△ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）△ABC的面积为3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝，故答案为：；（3）如图所示，点P即为所求．23．（8分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．（1）求线段BC；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为7cm．【解答】解：（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长13，∴AD+DE+EA＝13，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；（2）连接OB，OC，∵△OBC的周长为27，∴OB+OC+BC＝27，∵BC＝13，∴OB+OC＝14，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝7（cm），故答案为：7．24．（8分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝40°．【解答】解：（1）①如图，点P即为所求；②射线PD即为所求；（2）∵PD∥AC，∴∠BPD＝∠A＝40°，∵PA＝PC，∴∠ACP＝∠A＝40°，故答案为：40．25．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）求证：BE＝DF；（2）探究线段AB、AD、AF三者之间的数量关系；（3）若△ABC的面积是23，△ADC的面积是18，则△BEC的面积等于2.5．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠B＝∠CDF，在Rt△BCE与Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝DF；（2）AB+AD＝2AF，证明：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，在Rt△ACE与Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF＝AE，∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，∴AB+AD＝2AF；（3）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴S△BCE＝S△DCF，设△BEC的面积为x，∵△ABC的面积是23，△ADC面积是18，∴23﹣x＝18+x，∴x＝（23﹣18）＝2.5．即△BEC的面积等于2.5，故答案为：2.5．26．（8分）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝2秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝或秒．（直接写出结果）【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AP＝BQ，在△APC和△BQA中，，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；（2）①∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，∵△BPQ为等边三角形，∴BP＝BQ，∴4﹣t＝t，∴t＝2，故答案为：2；②∵运动时间为t秒，则AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，∴4﹣t＝2t，解得t＝，当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2PB，∴t＝2（4﹣t），解得t＝，∴当t为秒或秒时，△PBQ为直角三角形．故答案为：或．27．（10分）数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．【知识理解】（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；【知识运用】（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．（3）如图3是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【知识拓展】（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S1＝6，S2＝3，S3＝5，则S4＝2．【解答】解：（1）如图1中，∵S正方形ABCD＝4×S△ABE+S正方形EFGH，∴c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2．如图2中，∵S四边形ABCD＝2×S△ABE+S△AED，∴（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．（2）如图4中，过点A作AH⊥BC于H．设BH＝x．∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，∴BH＝5，AH＝＝12，∴S△ABC＝•BC•AH＝×14×12＝84．（3）方法一可表示为：（a+b）3；方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．∴等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）如图4中，∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，∵a2+b2＝c2，∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，∴S4＝3+5﹣6＝2，故答案为：2．28．（10分）【问题情景】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝