2021-2022学年江苏省无锡市江阴市直属学校八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年江苏省无锡市江阴市直属学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）16的平方根是（）A．8 B．±8 C．±4 D．42．（3分）下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④4．（3分）已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（）A．5 B．8 C．11 D．5或115．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15 B．24 C．30 D．488．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（）A．6 B． C． D．49．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30° B．20° C．15° D．10°10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．二、填空题（本大题共8小题，10个空，每小空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（6分）化简＝，＝．12．（3分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝°．13．（3分）如果等腰三角形的顶角等于50°，那么它的底角为°．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝．15．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．17．（6分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝，PC+PQ的最小值是．18．（3分）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝．三、解答题（本大题共10小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）求下列各式的x的值（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣5）3+8＝020．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）三角形ABC的面积为；（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出个．21．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．22．（4分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．24．（6分）如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．（1）求AC，BC的长．（2）判断△ABC的形状并加以说明．25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．（1）点F到△ABC的边和的距离相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．26．（6分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．27．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．①求证：AF＝CD；②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为．28．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．（1）求证：PC＝PD；（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市直属学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）16的平方根是（）A．8 B．±8 C．±4 D．4【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故选：C．2．（3分）下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．3．（3分）给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，13，12；③6，7，8；④3，4，5其中能组成直角三角形的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：①12+22＝5≠22，故不是直角三角形，故A错误；②122+52＝132，故是直角三角形，故B正确；③62+72＝85≠82，故不是直角三角形，故C错误；④42+32＝52，故是直角三角形，故D正确．故选：C．4．（3分）已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（）A．5 B．8 C．11 D．5或11【解答】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，构成等腰三角形；所以等腰三角形的底边为5．故选：A．5．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【解答】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B．6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点【解答】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15 B．24 C．30 D．48【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×10×3＝15．故选：A．8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（）A．6 B． C． D．4【解答】解：如图，∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2，∴AD＝＝＝在Rt△ADC中，AD＝，CD＝1，∴AC＝＝＝故选：B．9．（3分）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30° B．20° C．15° D．10°【解答】解：∵∠B'CB＝∠ACB+∠ACB'∴∠B'CB＝160°∵折叠∴∠B'CD＝∠BCD＝∠B'CB＝80°∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝10°故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：∵△BDM和△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，∴△BDF≌△MDE（SAS），∴BF＝ME，∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：过M作MN⊥BC于N，∵BC＝3，CD＝1，∴BD＝2，∴ND＝BD＝1，NC＝2，而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，∴四边形MNCE是矩形，∴ME＝NC＝2，而BF＝ME，∴BF最小值是2．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，10个空，每小空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（6分）化简＝2，＝3．【解答】解：＝2，＝3．故答案为：2，3．12．（3分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝70°，则∠F＝70°．【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠C＝70°，故答案是：70．13．（3分）如果等腰三角形的顶角等于50°，那么它的底角为65°．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）×＝65°．故答案为：65．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝5．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则AB＝2CD＝10，∴CD＝5．故答案为：5．15．（3分）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，若AC＝5，BD＝3，则CD＝2．【解答】解：如图，∵AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，在△ACO和△ODB中，，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2，故答案为：2．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是．【解答】解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝．17．（6分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝5，PC+PQ的最小值是．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝5．∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，∴EQ∥BC，∴＝，即＝，∴EQ＝，故答案为：5，．18．（3分）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝﹣1．【解答】解：如图，连接AG．设∠DCB＝x．设∠DCB＝x．∵CA＝CB＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，∵CG⊥AD，CA＝CD，∴DF＝AF，∴GA＝BG，∴∠GAD＝∠GDA＝45°，∴∠AGB＝90°，设BD＝m，则AG＝DG＝m+1，∵AB＝＝＝3，∴（3）2＝12+（m+1）2，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共10小题，共60分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）求下列各式的x的值（1）4x2﹣121＝0；（2）（x﹣5）3+8＝0【解答】解：（1）4x2﹣121＝0，4x2＝121，，；（2）（x﹣5）3+8＝0，（x﹣5）3＝﹣8，，x＝3．20．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）三角形ABC的面积为3；（3）顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出4个．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；（2）△ABC的面积＝2×4﹣×4×1﹣×1×2﹣×2×2＝3；故答案为3；（3）如图，顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出4个；故答案为4．21．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵BD，CE是角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，∴OB＝OC．22．（4分）已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．【解答】证明：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度数．（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ACB＝∠ABC＝69°，∵DE垂直平分AC，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝42°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝69°﹣42°＝27°，（2）∵DE垂直平分AC，∴AC＝2AE＝10，∴AB＝AC＝10，∵△DCB的周长＝CD+BD+BC＝AD+BD+BC＝AB+BC＝16，BC＝16﹣AB＝16﹣10＝6，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝26．24．（6分）如图，CD是△ABC的高，点D在AB边上，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．（1）求AC，BC的长．（2）判断△ABC的形状并加以说明．【解答】解：（1）∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝16，CD＝12，由勾股定理可得：AC＝＝20，△CDB中，∠CDB＝90°，BD＝9，CD＝12，由勾股定理可得：CB＝＝15；（2）△ABC是直角三角形．∵AD＝16，BD＝9，∴AB2＝（AD+BD）2＝252＝625，∵AC＝20，BC＝15，∴AC2+BC2＝400+225＝625，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形．25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．（1）点F到△ABC的边AB和AC的距离相等．（2）若AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；故答案为：AB和AC（或AC和AB）；（2）∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD垂直平分BC，∴CF＝BF，∵EG垂直平分BC，∴AF＝CF，∴AF＝CF＝BF＝3，∵AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，同理可得：∠BFD＝2∠BAD，∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，∴BC＝＝＝3．26．（6分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．【解答】解：（1）AP＝DE，理由：连接AE，如图，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ECA＝∠DCB．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴∠EAC＝∠B＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P为DE中点，∴AP＝DE．（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∵DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝．情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝．综上：BD＝或．27．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．①求证：AF＝CD；②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为2．【解答】（1）证明：如图1，∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵EA⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠E+∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）①证明：如图2，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴CD＝DH，∵EA⊥AB，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠AFE＝∠AHD＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，∴∠AEF＝∠DAH，在△ADH与△EAF中，，∴△ADH≌△EAF（AAS），∴AF＝DH，∴AF＝CD；②解：∵BC＝6，AB＝10，∴AC＝8，∵CD＝DE，BD＝BD，∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BC＝6，∴AH＝4，∵△ADH≌△EAF，∴EF＝AH＝4，设AF