15.3分式方程（解析版）

八年级上册数学《第十五章分式》15.3分式方程知识点一知识点一分式方程的概念◆1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π是常数)．知识点二知识点二分式方程的解法◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步骤（1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；（4）写出原方程的解.简记为：“一化二解三检验”.◆3、检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．知识点三知识点三分式方程的应用◆列分式方程解应用题的一般步骤：1.审清题意；2.设出未知数；3.找相等关系；4.列出方程；5.解这个分式方程；6.检验(包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)；7.作答.题型一题型一分式方程的概念【例题1】（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．2x＝【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．解题技巧提炼分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【变式1-1】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．3x＝【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；B．该方程是分式方程，符合题意；C．该方程是一元一次方程，不符合题意；D．该方程是二元一次方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是（）A．x+1x B．C．x+23=5 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：A、x+1B、方程1x+1=1C、方程x+23D、方程1π故选：B．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-3】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+1x，②1a−3＝a+4，③x2+5xA．1 B．2 C．3 D．4【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解答】解：①x2﹣x+1②1a−3＝a+4是关于③x2+5④2xx−3=1是关于故关于x的分式方程只有一个．故选：A．【点评】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．【变式1-4】（2023春•宜宾月考）在方程1x+1=3y−2，3+1x=2，x【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【解答】解：在方程1x+1=3y−2，3+1x=2，x3−故答案为：3．【点评】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【变式1-5】下列方程：①3−x7=2，②xπ=3，③4x−13−x+12=54，④【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．【解答】解：方程①3−x7=2、②xπ=3、③4x−1⑤1x+2所以分式方程有⑤．故答案为：⑤．【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键．题型二题型二解分式方程【例题2】（2022春•濮阳期末）解分式方程xx−3A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3） C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）【分析】根据等式的基本性质解决此题．【解答】解：xx−3去分母，得x＝﹣5﹣2（x﹣3）．故选：B．【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键．解题技巧提炼1、解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．2、解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．【变式1-1】关于x的分式方程mx−5A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5时，方程的解是正数 C．m＜﹣5时，方程的解为负数 D．无法确定【分析】先按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值讨论m的范围，即可作出判断．【解答】解：方程两边都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5，解得：x＝m+5，∴当x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故选项A错误；当x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，则当m＞﹣5且m≠0时，方程的解为正数，故选项B错误；当x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，则m＜﹣5时，方程的解为负数，故选项C正确；显然选项D错误．故选：C．【点评】本题在判断方程的解是正数时，容易忽视m≠0的条件．【变式1-2】（2022春•南岸区期末）解分式方程x−1x−2解：方程两边都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解这个方程，得x＝1③检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答过程中，开始出错的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：x−1x−2方程两边都乘x（x﹣2），得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①，以上解答过程中，开始出错的一步是：①，故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【变式1-3】（2023•高新区校级模拟）解分式方程x2x−1A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【分析】首先根据x2x−1+21−2x=3【解答】解：∵x2x−1∴x2x−1方程两边同时乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确等式的性质的应用．【变式1-4】（2023秋•昌黎县期中）分式31−x与2x互为相反数，则A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：由题意得31−x去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验．【变式1-5】（2023秋•长沙期中）解分式方程：（1）1m+2+1m−4=【分析】（1）先去分母，方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得到m﹣4+m＝2＝0，解得m＝1，然后检验：把m＝1代入（m+2）（m﹣4）进行计算即可得到原方程的解；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得到（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，然后进行检验得到x＝﹣2是原方程的增根，于是原方程无解．【解答】解：（1）方程两边同乘以（m+2）（m﹣4）得，m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验m＝1是原方程的解，所以原方程的解为m＝3；（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）得，（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为①找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；②解一元一次方程；③检验；④确定分式方程的解．【变式1-6】（2023秋•武冈市期中）解方程：（1）2xx−2−2【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x+2＝x﹣2，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4﹣x2+1＝0，解得：x＝1，经检验，x＝1不是原方程的解，方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意不要忘了检验．【变式1-7】（2023秋•宁远县期中）解方程：（1）2x=3x+1；【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2x2（x+1）＝3x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x（x+1）≠0，∴x＝2是原方程的根；（2）3x+23（x﹣2）+4（x+2）＝16，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．题型三题型三用换元法解分式方程【例题3】（2022秋•仁寿县校级月考）若4x2−A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】根据用换元法解分式方程即可．【解答】解：设1x=a，则1x原方程可变形为4a2﹣4a＝﹣1，所以4a2﹣4a+1＝0，所以（2a﹣1）2＝0，解得a=1所以x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．所以2x故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法解分式方程是解题的关键．解题技巧提炼1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．【变式3-1】（2023春•万源市校级期末）用换元法解方程x2−12x−A．y−1y−3＝0 B．y−4y−3＝0 C．y−【分析】把y=x【解答】解：设x2−12则原方程可化为：y−1y=3，即故选：A．【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．【变式3-2】（2023春•松江区期末）解方程x−1x−2xx−1=3时，设A．y−2y=3 B．y2﹣2y＝3 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2【分析】先将x−1x=y代入原方程，通过去分母，将原方程化为关于【解答】解：解方程x−1x−2xx−1原方程可化为y−去分母，得y2﹣2＝3y即y2﹣3y﹣2＝0故选：C．【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，有时需要通过变形才能换元．【变式3-3】（2023春•虹口区期末）用换元法解分式方程时x−1x−2xx−1+1=0，如果设A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．2y2﹣y+1＝0 D．2y2﹣y﹣1＝0【分析】先换元，再化成整式方程．【解答】解：设x−1x=y−2∴y2+y﹣2＝0．故选：A．【点评】本题考查换元法，确定新未知数与方程中代数式的关系是求解本题的关键．【变式3-4】（2022秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为：y方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．经检验：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y−4当y＝2时，x−1x=2，解得：当y＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x经检验：x1＝﹣1或x2=1∴原分式方程的解为x1＝﹣1或x2=1上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：（1）若在方程x−14x−xx−1=0中，设y（2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1x+2，将原方程化为y−1y=0【解答】解：（1）将y=x−1x代入原方程，则原方程化为故答案为：y4（2）将y=x−1x+1代入方程，则原方程可化为故答案为：y−4（3）原方程化为：x−1x+2设y=x−1x+2，则原方程化为：方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程y−1当y＝1时，x−1x+2当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：经检验：x=−1∴原分式方程的解为x=−1【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键．【变式3-5】在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（xx−1）2﹣4（x学生甲：老师，原方程可整理为x2老师：很好，当然可以这样做．再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？学生乙：老师，我发现xx−1老师：很好，我们把xx−1看成一个整体，用y表示，即可设xx−1=y，那么原方程就变为y2全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y﹣2）2＝0老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有xx−1学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x＝2，再验根就可以了！老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．全体同学：OK，换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：（1）（2xx−1）2−（2）6x−y【分析】（1）设2xx−1=y，则原方程变形为：y2﹣2y+1＝0，求得y的值，继而可得关于x的方程，即可求得（2）设1x−y=u，1x+y=v，将原方程组转化为关于u、v的方程组求得u、v的值，继而可得关于【解答】解：（1）设2xx−1=y，则原方程变形为：y2﹣2即（y﹣1）2＝0，故y＝1，则：2xx−1解得：x＝﹣1，经检验：x＝﹣1是原方程的解．（2）设1x−y=u，1则原方程组化为：6u+4v=39u−v=1解得：u=1所以x+y=2x−y=6解得：x=4y=−2经检验，x=4y=−2【点评】本题主要考查换元法解方程或方程组，解方程或方程组是基本技能，要熟练掌握其基本步骤和方法，将合适的整体设为新元是换元法的关键．题型四题型四用分式方程的解确定字母的值【例题4】（2022春•盐城期末）若x＝4是分式方程a−2x=1A．3 B．4 C．5 D．6【分析】将x＝4代入分式方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：将x＝4代入分式方程可得，a−24解得：a＝6，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案．解题技巧提炼把分式方程的解代入到原方程中，得到关于某个字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.【变式4-1】（2023•淄博）已知x＝1是方程m2−x−1A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】将x＝1代入原方程即可求出m的值．【解答】解：将x＝1代入方程，得：m2−1解得：m＝2．故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．【变式4-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程2ax+3a−x=3A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】把x＝1代入分式方程2ax+3a−x=34就得到关于【解答】解：把x＝1代入分式方程2ax+3a−x=3去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【点评】考查了分式方程的解，本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．【变式4-3】（2023•锦江区模拟）若关于x的分式方程mx−2−x−12−x=3A．1 B．2 C．3 D．5【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程mx−2−x−1【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程mx−2m3−2∴m+2＝3，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-4】（2023•驻马店二模）若关于x的分式方程m+xx−1=mA．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】将x＝2代入原方程解答即可．【解答】解：∵关于x的分式方程m+xx−1∴m+22−1∴m＝﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的意义是解题的关键．【变式4-5】已知方程1x−1=ax+1的解为【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简aa−1−1a2【解答】解：把x＝2代入1x−1=a∴原式==(a+1)(a−1)=a+1当a＝3时，原式=a+1【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键．【变式4-6】（2022秋•岳阳楼区月考）已知关于x的分式方程2x+4=mx与分式方程32x=【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2x+4=mx，求出m，再把m的值代入m【解答】解：32x3（x﹣1）＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，∴x＝3是此方程的解；把x＝3代入2x+4得23+4解得m=6把m=67代入m2﹣2m=(6【点评】本题考查了分式方程解，熟练掌握分式方程解的步骤是解题关键．题型五题型五用分式方程的解确定字母的取值范围【例题5】（2023春•雁塔区校级期末）若关于x的分式方程mx−2−x−1A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可．【解答】解：mx−2m+（x﹣1）＝3（x﹣2），m+x﹣1＝3x﹣6，m﹣1+6＝3x﹣x，2x＝m+5，x=m+5∵分式方程的解为正数，即x=m+5∴m＞﹣5，又∵使分式方程有意义，x﹣2≠0，∴m+52∴m≠﹣1，综上：m＞﹣5且m≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意义是解题的关键．解题技巧提炼先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围,同时要注意排除增根.【变式5-1】（2023春•莲池区校级期末）若关于x的分式方程2x−ax−2=1A．a≥23 B．aC．a≥23且a≠4 D．a≤2【分析】表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的范围即可．【解答】解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，解得：x=3a−2由分式方程的解为非负数，得到3a−25≥0，且解得：a≥23且故选：C．【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对分式方程增根的讨论是解题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）若关于x的方程mx+1−2是（）A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2【分析】先银分式方程求得解为x＝m﹣3，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．【解答】解：mx+1−2x+1=1，m﹣2＝x∵原方程解为负数，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∵x+1≠0，∴m﹣3+1≠0，∴m≠2，∴m＜3且m≠2，故选：D．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．【变式5-3】（2023秋•渝中区校级期中）若整数a使关于x的不等式组2x−7≥x−8a−6x整数解，且使关于y的分式方程ay−3+33−y=−1为（）A．8 B．6 C．10 D．7【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．【解答】解：不等式组2x−7≥x−8a−6x4＞−2的解集是﹣1≤∵该不等式组有且只有3个整数解，∴1＜a+86≤分式方程ay−3+33−y=−1的解是y∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，∴a＝0，1，2，4，∴0+1+2+4＝7．故选：D．【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式组等，熟练掌握它们的解法是本题的关键．【变式5-4】（2022秋•芝罘区期中）已知关于x的分式方程k2x−4−1=x【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．【解答】解：k2x−4去分母得：k﹣2x+4＝2x，解得：x=k+4∵x﹣2≠0，∴k+44≥0且解得：k≥﹣4且k≠4．所以k的取值范围为：k≥﹣4且k≠4．【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键．【变式5-5】若关于x的方程xx−4−3=a【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：两边都乘（x﹣4），得x﹣3（x﹣4）＝a，解得x=12−a由关于x的方程xx−412−a2解得a≤8，a的取值范围是a≤8且a≠4．【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．【变式5-6】（2022秋•石家庄期末）若关于x的分式方程xx−2=2−m【分析】根据分式方程的一般解法得到方程xx−2=2−m2−x的解为x＝4﹣m；由于该方程的解为正数，则x＞0，由于要使方程有意义，则x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意【解答】解：∵xx−2=2∴xx−2=2x−mx−2x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解为正数，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范围为m＜4且m≠2．∵m为正整数，∴m的值为1，3．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．题型六题型六利用分式方程的增根确定字母的取值【例题6】（2022秋•益阳期末）已知关于x的方程kx−3+3=x−4【分析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程kx−3∴x﹣3＝0，则x＝3，∵原方程可化为4x＝13﹣k，将增根x＝3代入得k＝1．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．解题技巧提炼1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．【变式6-1】（2022秋•芝罘区期末）若关于x的分式方程1x−2=mA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【分析】增根就是分母为零的x值，所以对分式方程去分母，得m＝x﹣3，将增根x＝2代入即可解得m值．【解答】解：分式方程去分母，得：1＝﹣m+2﹣x，∴m＝x﹣3，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，将x＝2代入m＝x﹣3中，得：m＝2﹣3＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式方程的解，解答的关键是理解分式方程有增根的原因．【变式6-2】（2023秋•慈利县期中）若关于x的分式方程2x−4=3−mA．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x﹣4＝0，得到x＝4．【解答】解：分式方程2x−4=3−m2＝3（x﹣4）﹣m，由分式方程的最简公分母是x﹣4，∴分式方程的增根是x＝4．把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，∴m＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-3】（2022秋•武冈市期末）关于x的方程：ax+1x−1−2【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可．【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，解得：x＝1，将x＝1代入整式方程得：a﹣1＝﹣4，解得：a＝﹣3，综上，a的值为﹣3．【点评】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是确定增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-4】（2022秋•娄星区校级期中）若关于x的分式方程xx+1−m+1【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（x+1），得x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1）∵原方程增根为x＝0或x＝﹣1，∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0．【点评】本题考查了整式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-5】（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程xx−3（1）m为何值时，这个方程的解是5？（2）m为何值时，这个方程有增根？【分析】（1）把x＝5代入，然后解关于m的方程即可；（2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程的解是5，∴把x＝5代入xx−355−3解得m＝3；（2）xx−3两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m，整理得3x﹣12＝m，∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，当x＝3时，m＝3×3﹣12＝﹣3，当x＝4时，m＝3×4﹣12＝0，∴m的值为﹣3或0．【点评】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟练掌握当分母等于0时分式方程有增根是解答本题关键．题型七题型七利用分式方程的无解确定字母的取值【例题7】（2022秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程xx−3+3aA．1 B．1或12C．﹣1或12 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．【解答】解：xx−3分式方程两边同乘以（3﹣x）得：﹣x+3a＝2a（3﹣x），（2a﹣1）x＝3a，要使原分式方程无解，则有以下两种情况：当2a﹣1＝0时，即a=1整式方程无解，原分式方程无解，当2a﹣1≠0时，则x=3a令最简公分母为0，即x﹣3＝0，解得x＝3，∴当3a2a−1=3，即综上所述可得：a＝1或12故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是关键．解题技巧提炼分式方程的无解有两种情况：一是分式方程转化为整式方程无解；二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0.【变式7-1】（2023秋•海阳市期中）若分式方程2+1−kxx−2=A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案．【解答】解：2+1−kx去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程2+1−kx∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：2+1−x2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程2+1−kxx−2=故选：C．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法．【变式7-2】（2023•洪雅县模拟）若关于x的方程2x=mA．0 B．4或6 C．4 D．0或4【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m﹣4＝0时，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，进行计算即可．【解答】解：2x方程两边同乘x（2x+1）得：2（2x+1）＝mx，整理得：（m﹣4）x＝2，∵原方程无解，∴当m﹣4＝0时，即m＝4，当m﹣4≠0时，x＝0或2x+1＝0，此时，x=2解得：x＝0或x=−1当x＝0时，x=2当x=−12时，解得：m＝0．综上，m的值为0或4．故选：D．【点评】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式7-3】（2022秋•岱岳区期末）关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1无解，则m【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，根据方程无解即可判断．【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，整理，得6x＝m+2，解得x=m+2∵方程无解，则x＝1，m+26解得m＝4．故答案为：m＝4．【点评】本题考查了分式方程，正确记忆无解的条件是分母等于0是解题关键．【变式7-4】（2023春•灌云县期末）已知关于x的分式方程x−ax−2（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程无解，求a的值．【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分两种情况分别求解即可；（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得，（a+3）x＝10，由分式有增根，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，综上可知，a＝2；（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，当a+3＝0时，方程无解，即a＝﹣3，当a+3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知a＝2，综上可知，a＝﹣3或a＝2．【点评】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．【变式7-5】（2023秋•冷水滩区期中）已知关于x的方程3x（1）当a＝6，b＝1时求分式方程的解；（2）当a＝6时，求b为何值时，分式方程3x【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，最后不要忘了检验；（2）整理得，（9﹣b）x＝3+b，分两种情形：当整式方程无解时，9﹣b＝0，b＝9，当分式方程产生增根时，增根为x＝0或x＝1，分别求解．【解答】解：（1）当a＝6，b＝1时，分式方程为3x去分母得：3（x﹣1）+6x＝x+1，解得：x=1经经验x=1（2）当a＝6时，分式方程为3x去分母得：3（x﹣1）+6x＝bx+b，整理得，（9﹣b）x＝3+b，（1）当整式方程无解时，9﹣b＝0，b＝9，（2）当分式方程产生增根时，增根为x＝0或x＝1，①当x＝0时，（9﹣b）×0＝3+b，b＝﹣3，②当x＝1时，（9﹣b）×1＝3+b，b＝3，综上所述，当b＝﹣3或3或9时原方程无解．【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．题型八分式方程的应用题型八分式方程的应用一是分式方程转化为整式方程无解；二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0.【例题8】（2022秋•巧家县期末）某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的劳动课，计划九（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名同学调往其他劳动区域，这样剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的43倍，设九（1）班学生的人数为xA．100x−10×43C．100x−10=100【分析】根据剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的43【解答】解：设九（1）班学生的人数为x名，则实际采摘人数为（x﹣10）名同学，根据题意有100x−10故选：C．【点评】本题考查了列分式方程，读懂题意理解其中的等量关系是解题的关键．解题技巧提炼1、列分式方程解应用题的一般步骤：审题、找等量关系、设未知数、列分式方程、解答、检验、作答．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝速度×时间；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价=单价×销量．【变式8-1】（2022秋•大洼区期末）某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为（）A．1000x−50−800xC．1000x=800【分析】根据两种型号的机器人工作效率间的关系，可得出乙型机器人每小时分拣（x﹣50）件快递，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：1000x故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式8-2】（2023春•余杭区月考）某班同学假日活动去博物馆参观，博物馆距离学校10千米．一部分同学骑自行车先出发，其余同学20分钟后乘汽车出发，两批同学同时到达．已知乘车速度是骑车速度的2倍，设骑车速度为xkm/h，则可列方程．【分析】关键描述语：“过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，两批同学同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间﹣乘车同学所用时间=20【解答】解：设骑车速度为xkm/h，则乘车速度为2xkm/h，根据题意，列方程得10x故答案为：10x【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【变式8-3】【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，列出分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1+25%）x中即可求出结论．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，依题意得：2000x解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴（1+25%）x＝125，即实际每天植树125棵，故答案为：125．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式8-4】（2023•曹县二模）在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距离30千米的B地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的1.2倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？【分析】设乙骑行的平均速度是每分钟x千米，则甲骑行的平均速度是每分钟1.2x千米，根据时间＝路程÷速度，结合乙先骑行20分钟，甲、乙恰好同时到达B地，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设乙骑行的平均速度是每分钟x千米，则甲骑行的平均速度是每分钟1.2x千米，由题意得：30x解得：x＝0.25，经检验，x＝0.25是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝1.2×0.25＝0.3，答：甲骑行的平均速度是每分钟0.3千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式8-5】（2023秋•海阳市期中）科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时问）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题：信息一：乙科研机构送检车的平均速度是甲科研机构送检车的1.2倍．信息二：甲、乙两科研机构送检车行驶的总时间为2小时．（1）求甲科研机构送检车的平均速度；（2）若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？【分析】（1）根据乙科研机构送检车的平均速度是甲科研机构送检车的1.2倍，设甲科研机构送检车的平均速度为x千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为1.2x千米/小时，根据甲、乙两科研机构送检车行驶的总时间为2小时，由此列方程即可得出答案；（2）根据路程与速度关系算出时间，由此即可求解．【解答】解：（1）设甲科研机构送检车的平均速度为x千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为1.2x千米/小时，根据题意，得30x解得x＝30，经检验，x＝30是所列方程的解，所以，甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时；（2）∵3.2+1＞4，∴它采集的样本会失数．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式8-6】（2023秋•娄底期中）2020年11月20日，娄底市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？【分析】此题等