有限元法及其应用 课件 FEM 1 绪论、FEM 2 杆系结构的有限元法

有限元法及应用本次培训主要内容第一部分有限元法基础1杆系有限元法2平面问题有限元法第二部分

ANSYS有限元软件简介3有限元软件ANSYS简介（UtilityMenu平台及MainMenu命令）4典型的ANSYS分析过程（前处理、求解、后处理）5静力学分析和动力学分析实例1绪论有限元法的发展简史1943年，Courant从数学上明确提出有限元思想。1960年，美国的Clough教授在—篇论文中首次使用了“有限元法”这个名词。20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速地发展起来。现在，有限元法已被应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。FEM应用现状有限元方法（FEM）现已成为工程设计和分析最常用的数值计算工具。广泛应用于：机械、航空航天、土木工程、轨道车辆结构分析（静态/动态、线性/非线性）热/流体电磁学地质力学生物力学……..FEM应用实例电力机车车轮有限元模型CRH5动力转向架轮对疲劳失效机理研究CHR380B轴箱体强度分析FEM应用实例CRH380A车体疲劳寿命研究FEM应用实例机架有限元分析风电叶片FEM应用实例FEM应用实例塔吊、龙门架有限元分析FEM应用实例汽车气动布局FEM应用实例自行车结构有限元模型位移等值线图变形图FEM应用实例应力等值线图FEM应用实例FEM应用实例平板车几何模型FEM应用实例平板车应力等值线图平板车位移等值线图平板车有限元模型FEM应用实例FEM应用实例应力等值线图应力等值线图局部放大FEM应用实例滚筒洗衣机动力学分析有限元模型FEM应用实例有限元模型

真实结构有限元法（FEM，FiniteElementMethod）是把物理结构分割成有限个区域，这些区域称为单元。每个单元中有有限个节点，单元间通过节点相连。对每一个单元建立作用力方程，组集成整个结构的系统方程，求解该方程得到结构的近似解。节点单元XZY有限元法的概念有限元法的基本思想有限元方法力学原理(弹性力学、材料力学等)数学方法(微分方程理论、变分原理)计算机程序结构离散化虚功原理、最小势能原理单元平衡方程公共结点位移相同组集整体平衡方程引入边界条件求解节点位移得到单元应变和应力节点和单元有限元模型由节点和单元组成。节点(Nodes):

空间中的坐标位置，具有一定自由度，存在相互物理作用，是单元之间的连接点。单元(Elements):一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述。满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。

载荷约束单元之间只能通过节点来传递内力。通过节点来传递的内力称为节点力，作用在节点上的荷载称为节点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个节点要产生不同程度的位移，这种位移称为节点位移。节点和单元信息是通过单元之间的公共节点传递的。.....AB...2nodes分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB...1node节点和单元自由度（DOFs）自由度(DOFs)

用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ分析类型自由度类型结构位移热温度电电位流体压力磁磁位节点自由度随连接该节点的

单元类型变化。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ自由度（DOFs）真实结构有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。节点单元有限元模型有限元分析的基本步骤连续体离散化单元特性分析选择位移模式分析单元的力学性质计算等效节点力单元组集求解未知节点位移连续体离散化根据连续体的形态选择最能描述连续体形状的单元；进行网格划分，将连续的结构划分为有限个单元组成的离散体(网格越小计算精度越高)；对单元和节点按顺序编号。

123456789101112①②③④⑤⑥有限元分析的基本步骤3维实体的4面体单元划分平面的三角形单元划分3维实体的6面体单元划分有限元分析的基本步骤有限元分析的基本步骤确定单元的位移模式设定一个简单的函数作为单元位移的近似函数，该函数称为位移函数，位移函数一般取为多项式形式。对于三角形平面单元:节点位移列向量节点力列向量单元位移函数可表示为:式中：

[N]为形函数矩阵，其元素是位置坐标的函数。有限元分析的基本步骤单元力学特性分析

(1)单元应变矩阵对于平面问题，将弹性力学中的几何方程代入位移函数，单元应变场可用节点位移表示为：式中：[B]称为单元应变矩阵或几何矩阵。即：(2)单元应力矩阵根据本构方程可将单元应力场用节点位移表示为：其中，[D]是与单元材料有关的弹性矩阵。根据虚功原理（内虚功等于外虚功）：定义刚度矩阵单元平衡方程有限元分析的基本步骤（3）单元刚度矩阵单元力学特性分析

几何方程本构方程虚功原理平衡方程刚度矩阵位移场应变场应力场有限元分析的基本步骤单元力学特性分析

连续弹性体有限元模型单元是通过节点来传递力的，因而作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效到节点上，即用等效的节点力来代替作用在单元上的力。计算等效节点力有限元分析的基本步骤有限元分析的基本步骤整体分析将节点等效力按照整体节点顺序组集成整体节点载荷向量{R}集成整体刚度方程[K]，建立整个结构的平衡方程式中：[K]——整体刚度矩阵；

{q}——全部节点位移组成的列阵；

{R}——全部节点载荷组成的列阵。引进边界约束条件，解总体刚度方程求出节点位移分量根据节点位移与应变、应力的关系（几何方程、物理方程）计算出单元应变、应力等派生解。有限元法的特点有限元法的主要优点（与无网格法、边界元法相比）（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同水平上建立对该法的理解；（2）有很强的适用性，应用范围广；（3）该方法用矩阵形式表达，便于充分发挥计算机运算优势；（4）精度高，速度快，可以建立更符合实际结构的计算模型。有限元法的分类（1）位移法：以节点位移为基本未知数；（2）力法：以节点力为基本未知数；（3）混合法：以节点位移和节点力为基本未知数。2杆系结构的有限元法工程背景（钢架、桁架的应用）2.1基本概念杆系结构的单元类型分为杆单元和梁单元，二者均为线单元。杆单元的节点仅传递力而不传递力矩，其节点位移只有沿坐标系各个轴向的线位移；梁单元的节点不仅传递力，而且传递力矩，其节点位移有沿坐标系各个轴向的线位移和绕坐标系各轴旋转的角位移。节点编号原则：编号不能重复且不能遗漏，相邻节点编号差尽量小。单元编号原则：编号不能重复且不能遗漏，相邻单元编号差尽量小。商业有限元软件可自动完成。节点和单元编号方法2.1基本概念2.1基本概念边界条件：模型部分节点上的约束和荷载的总称。整体坐标系：标识模型空间位置关系的坐标系。节点坐标：表示节点在整体坐标系下的空间位置。单元节点信息：每个单元所包含的节点数量。单元局部坐标系：选取单元的一个节点i为原点，x轴方向由节点i指向节点j，按右手定则确定y轴和z轴。单元材料特性是指每个单元的材料特性参数。对于线弹性结构有限元分析，单元的材料特性参数主要包括弹性模量、泊松比和密度。杆单元的截面参数包含截面面积和截面形心位置。梁单元的截面形状参数包含横截面面积、截面形心位置、截面惯性矩和极惯性矩等。

2.1基本概念2.2平面桁架平面桁架有限元模型确定单元类型：平面杆单元单元编号、节点编号2.2平面桁架2.2.1局部坐标系下的单元刚度矩阵单元局部坐标系下的节点位移和节点力2.2平面桁架水平方向，杆件处于静态平衡状态，垂直方向，杆件载荷恒等于0，因此单元节点力与节点位移的关系为矩阵形式即：单元节点位移与节点力的关系2.2平面桁架其中，2.2平面桁架单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度矩阵是单元上由节点位移向量求节点力向量的转换矩阵。2.2平面桁架（2）刚度矩阵中各元素的力学意义矩阵中的元素均是单位节点位移所引起的节点力的数值，所以称它们为刚度系数。每行或每列元素的力学意义：同一行的4个元素是4个节点位移对同一个节点力的影响系数；同一列的4个元素是同一个节点位移对4个节点力的影响系数。2.2平面桁架（3）对称性根据力学中力的互等定理和单元刚度系数的力学意义，有可知单元刚度短阵为对称矩阵。

第一组力在使di

=1，其他节点位移均为0第二组力在使dj

=1，其他节点位移均为02.2平面桁架（4）奇异性单元刚度矩阵是奇异矩阵，即单元刚度矩阵的行列式为零。反映了矩阵中还没有考虑到单元两端与整个结构的联系，所以可以产生任意的刚体位移。2.2平面桁架

（5）分块性单元刚度矩阵的分块形式单元节点位移向量的分块形式单元节点力向量的分块形式单元平衡方程2.2平面桁架2.2.2坐标变换整体坐标系下的节点位移和节点力局部坐标系与整体坐标系

2.2平面桁架

其中T为正交矩阵同理两边同时左乘TT，得到T为正交矩阵，2.2.3整体坐标系下的单元刚度矩阵2.2平面桁架单元平衡方程整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下平衡方程的分块形式2.2.4整体分析（1）等效节点荷载计算

2.2平面桁架集中力均布载荷非节点载荷，必须通过等效处理，转化为节点载荷，应按照静力等效原则进行，由此转化而引起的单元内力和应力差异，只是局部的，不会影响整个结构的应力分布。2.2.4整体分析（2）整体节点位移和整体节点力2.2平面桁架对于单元①对于单元②对于单元③对于单元④2.2平面桁架2.2.4整体分析（3）求整体刚度矩阵对于单元⑤对于单元⑥对于单元⑦对于单元①：

对于单元③：

对于单元④：2.2平面桁架以节点2为例，根据节点力与节点载荷平衡：2.2平面桁架整体刚度矩阵“刚度集成法”2.2平面桁架整体平衡方程

整体刚度矩阵的性质节点位移向量与节点载荷向量之间的转换矩阵。矩阵中的元素均为刚度系数，其力学意义是：同一行所有元素是所有节点位移对同一个节点力的影响系数；同一列的所有元素是同一个节点位移对所有节点力的影响系数。对称性分块性：处于主对角线上的子块称为主子块，其余子块称为副子块。主子块反映同一节点处的力与位移的关系，为正非零子块。副子块反映结构上不同节点间的力与位移的相互关系。对于副子块，如果节点与节点在一个单元上，则是非零子块；如果节点与节点不在一个单元上，则是零子块。2.2平面桁架2.2平面桁架稀疏性：非零元素集中在主对角线的周围，在其余位置上存在大量的零元素。非零子块数量很少，如果节点个数越多，稀疏性越突出。利用刚度矩阵的稀疏性，可设法只存储非零元素，从而大大节省内存。奇异性：刚度矩阵的行列式为零。2.2.5约束条件的引入由于整体刚度矩阵的奇异性，必须引入约束条件后才能将其转变为非奇异矩阵，进而求解整体平衡方程；必须限制结构刚体运动的线位移和角位移，即消除结构刚体运动的自由度。对于平面结构至少应合理布置3个方向的约束；对于空间结构至少应有6个方向的约束。在实际结构中，应按结构约束的实际情况，合理地限制选择某些节点的某些自由度为零或为某个定值。2.2平面桁架2.2平面桁架划行划列法引入约束条件，原理简单，可降低系数矩阵的规模：但是划行划列之后需将节点编号重新编排，编程不大方便；不能用于非零位移的约束条件。当δ5=0时，可划去刚度矩阵第5行和第5列，以及右端荷载项的第5行。2.2.5约束条件的引入（1）划行划列法——把整体刚度矩阵中位移为零的自由度所对应的行、列和相应的荷载项划去。其原因是：若节点位移已知可不必再解，该方程可以划去。同时该位移对其他方程的影响也为零。（2）主对角线元素置“1”法2.2平面桁架如果第i个自由度δi=0，那么将刚度矩阵K中对应的i行和i列全部元素都置“0”，而将对角线元素kii置“1”，同时将右端荷载项中相应的元素置为“0”。可精确地引入约束条件，可保持原方程的阶数与对称性，是处理固定约束条件的常用方法，但是不能用于非零位移约束。（3）主元赋大值法2.2平面桁架如果第i个位移自由度δi=δi*

，那么将刚度矩阵K中对应的主元赋一个大值A（如A=1020），右端荷载项中的对应行用此大值与已知位移的乘积Aδi*代替。引入的位移约束条件是近似的。方便程序处理，保持了原方程的阶数与对称性。既能用于零位移约束，也可以用于非零位移约束约束条件两端同时除以A，略去小项2.2.6求单元内力2.2平面桁架整体平衡方程引入约束条件，求解坐标变换局部坐标系下的单元节点位移局部坐标系下的单元节点力向量单元内力和应力整体坐标系下的全部节点位移2.2平面桁架有限元法求解桁架结构的步骤为：合理简化结构，将结构离散化（划分单元），选取局部和整体坐标系，对单元和节点编号；给出原始参数（各杆件的几何参数、材料特性参数、节点坐标等）；计算节点荷载列阵（节点荷载和等效节点荷载）；计算局部坐标系下的单元刚度矩阵，确定每个单元的坐标转换矩阵T，求得整体坐标系下的单元刚度矩阵K；用刚度集成法形成整体刚度矩阵；引入约束条件；用线性方程组的求解方法（高斯消元法等）解整体平衡方程，求得节点位移；计算各杆件内力与应力，并可进行强度校核。例题2-1计算下图所示平面桁架的节点位移和杆件的内力。设各杆件的截面尺寸和制造材料均相同，其面积为，弹性模量。2.2平面桁架例题2-11.结构离散化

（a）平面桁架（b）单元、节点编号与整体、局部坐标系2.2平面桁架对于单元①和②对于单元③2.2平面桁架2.计算单元在局部坐标系下的刚度矩阵2.2平面桁架①单元与x正方向夹角90°②单元与x正方向夹角0°③单元与x正方向夹角135°3.计算单元在整体坐标系下的刚度矩阵单元①2.2平面桁架2.2平面桁架单元②

单元③

注意单元③的ij节点2.2平面桁架4.有限元方程的建立2.2平面桁架节点载荷向量节点位移向量5.引入边件条件6.求线性解方程组2.2平面桁架7.计算节点位移引起的节点载荷2.2平面桁架

对于单元①2.2平面桁架

对于单元②2.2平面桁架

对于单元③Step1.结构的离散化与编号节点xy10024000340030040300单元编号及对应节点单元节点1节点2①12②32③13④43各单元的长度及轴线方向余弦单元lcossin①40010②3000-1③5000.80.6④40010节点及坐标（对该结构进行自然离散）2.2平面桁架2.2平面桁架Step2.单元描述各个单元刚度矩阵/节点载荷按节点编号进行组装。

2.2平面桁架Step2.组装整体刚度方程节点位移：节点载荷：20000N2.2平面桁架整体刚度方程为：

边界条件BC(u):代入整体方程并化简得：2.2平面桁架Step2.处理边界条件求解

所有节点位移：

按平剖面假设，梁受荷载发生弯曲变形时，各截面的位移应包括：轴向拉压变形u，截面中性轴处的挠度v，以及截面转角θ。节点力列向量：2.3平面钢架节点位移列向量：钢架结构单元与节点

是轴向力，

是横向力，

是弯矩单元节点位移：单元节点力：2.3平面钢架节点位移：2.3.1单元位移与载荷简记为其中为e单元的刚度矩阵，单元刚度矩阵任一元素kij

应等于：当

第j个位移分量为1，且其他位移分量皆为0时，对应的第i个节点力分量

2.3平面钢架在弹性范围内，小变形情况下，与的关系为：2.3.2局部坐标系下单元刚度矩阵e单元长为l，弹性模量为E，截面惯性矩为Iz。当且其余位移为0时，轴向位移2.3平面钢架轴向力由平衡条件：2.3平面钢架垂向挠度：转角：用同样的方法，可解出此单元刚度矩阵的其余元素。梁单元的刚度矩阵为：2.3平面钢架分块形式可写为：单元平衡方程，即单元节点力与节点位移的关