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文档简介
第8章立体几何初步章末测试(提升)
考试时间:120分钟满分:150分
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案,每题5分,8题共40分)
1.(2022秋•四川)水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,轴,则
中BC边上的中线的长度为()
【答案】A
【解析】利用斜二测画法将直观图还原如图,易知此时3c=2B'C'=8,AC=AC'=3,
又由8'仁〃丫'轴得BC//y轴,故BCLAC,
不妨设。是BC的中点,则CZ)=g8C=4,
所以在RtZsACD中,AD=>jAC2+CD2=79+16=5>即一ABC中BC边上的中线的长度为5.
71
2.(2023吉林长春)在三棱锥P-ABC中,R4_L平面A5C,PA=6,BC=3,=7•,则三棱锥尸-ABC
6
的外接球半径为()
A.3B.2GC.3&D.6
【答案】C
*71*--------£
【解析】由正弦定理得,△ABC外接圆直径为.兀一,得-3.
sin—
6
设球心到平面ABC的距离为d,则〃=324=3.
三棱锥P-ABC的外接球半径为R=/储+户=旧+学=3夜.
故选:C
3.(2023上海浦东新•)用一个平面截正方体,截面图形可能是()
A.钝角三角形B.直角梯形
C.有两个内角相等的五边形D.正七边形
【答案】C
【解析】用一个平面截正方体,截面图形可能是三角形,四边形,五边形,六边形.
对于A:截面图形如果是三角形,只能是锐角三角形,不可能是直角三角形和钝角三角形.
如图所示的截面三角形ABC.
设DA=a,DB=b,DC=c,所以人。2=〃2+/,4笈二/+廿,吕^二从+自
2
4D।八02_DZ~»22.2
所以由余弦定理得:COSZCAB=————=I,/>0,所以,C4B为锐角.
2ABACZsjcr+b-+c
同理可求:1ACB为锐角,NCBA为锐角.
所以ABC为锐角三角形.故A错误;
对于B:截面图形如果是四边形,可能是正方形,可能是矩形,可能是菱形,可能是一般梯形,也可能是等
腰梯形,不可能是直角梯形.
故B错误;
对于C:如图示的截面图为五边形,并且有两个角相等.
对于D:因为正方体有六个面,所以一个平面截正方体,边数最多为6.所以D错误.
故选:C
4.(2023山东烟台)米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具,鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意,
现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗(忽略其厚度),其上、下底面正方形边长分别
为30cm、20cm,侧棱长为5vHem,若将该米斗盛满大米(沿着上底面刮平后不溢出),设每立方分米的
大米重0.8千克,则该米斗盛装大米约()
A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克
【答案】C
【解析】设该正棱台为ABC。-A耳£0,其中上底面为正方形A3CD,取截面A41GC,如下图所示:
易知四边形A41GC为等腰梯形,且AC=30后,AG=2O0,AA=C£=5而,
分别过点A、C在平面用GC内作4E_LAC,QF1AC,垂足分别为点E、F,
由等腰梯形的几何性质可得M=CC,,又因为4AE=ZQCF,/A吗=ZCFQ=90,
所以,RtAA^E^RtACCjF,所以,AE=CF,
因为AC//AC,易知NEA.G=NAEF=ZEFQ=Z^QF=90,
故四边形AG/E为矩形,则跖=AC=2O0,,AE=CF=---=5友,
所以,\E=-AE1=15,故该正四棱台的高为15cm,
所以,该米斗的体积为V=1x(202+302+A/202X302)X15=9500cm3,
所以,该米斗所盛大米的质量为9.5x0.8=7.6kg.
故选:C.
5.(2022秋•广西)在ABC中,AB=BC=1,ZABC=120°,现以AC为旋转轴,旋转360得到一个旋转
体,则该旋转体的体积为()
A.-B.-C.叵D.叵
842412
【答案】D
【解析】取AC中点为。,则;ABC可看作两个直角三角形RtAAOB和RtZiCOB,将二A5C以AC为旋转轴,
旋转360得到的旋转体相当于将Rt^AOB和Rt^CQB,分别以直角边AO和CO为轴旋转360,可得到两
个同底等高的圆锥构成的组合体.
A
VAB=BC=1,ZABC=120°,
:.ZBAC=ZBCA=30°,OB=-,OA^—,
22
圆锥ABD的底面圆面积S=7t,=—,而为h=OA=走~,
42
体积V=—sh=—x—x^-,
3342
故所求旋转体体积为2V=且nV=叵.
1224
故选:D.
6.(江西省吉安市2023届)已知PC是圆锥P。的一条母线,A3是底面圆。的一条直径,为正三角
形,ZABC=30,则PC与AB所成角的余弦值为()
A.—B.—C.7?D.一
4328
【答案】A
【解析】如图,延长co交圆。于。,连接PD,取尸D的中点E,连接OE,则OE〃PC,
则NEOB为PC与AB所成的角,
不妨设圆。的半径为1,则PC=PD=P3=2,OE=gpC=l,
因为。为AC、3。的中点,则四边形ACBD为平行四边形,
,NABC=30,ABAC=6Q,则!®=AC=1,
22+22-12_7
在△呐中,2然丁
2;2x2x28
73
由余弦定理可得BE2=PB2+PE2-2PB-PEcosZDPB=22+12-2x2xlx-=-,
82
所以,OB2+OE2-BE21.
cosZEOB=
2OBOE2x1x14
故选:A.
7.(2022秋•黑龙江大兴安岭地)如图,在正方体A3CD—481GA中,M,N,P分别是G2,BC,4。
的中点,有下列四个结论:
①AP与CM是异面直线;
②AP,CM,相交于一点;
③MNI/BD、;
④M7V//平面班QD.
其中所有正确结论的编号是()
A.①④B.②④C.①③④D.②③④
【答案】B
【解析】对于①,因为AG〃AC,MP/AG,所以MH/AC,又MPwAC,所以AP与CM是相交直线,则
①不正确;
对于②,设C"AP=Q,^AiADDl面ACMP=",面GC。,面ACMP=CM,所以Qe平面AAD',
Qe平面C1CDDl,又面AlADDl面CXCDDX=DD},
所以",CM,相交于一点,②正确;
对于③,令ACBD=O,连接2。、NO,
因为M,N分别是G2,8C的中点,
所以ONUD\M〃CD,ON=DtM=^CD,则MNOR为平行四边形,
所以MN//O。,而ORRB=R,所以③不正确;
对于④,因为MN<Z平面B。。,。2u平面8Z)[。,
所以MN〃平面④正确.
综上所述,②④正确,
故选:B.
(1
8.(2021秋•吉林长春)如图,在棱长为2的正方体ABC。-4SGS中,E,歹分别是。。/,的中点,
则下列选项中错误的是()
B.EF1BjC
C.跖与A0所成角为60。
D.EF与平面BBCC所成角的正弦值为且
3
【答案】C
【解析】对于A,连接86,在—DRB中,E、尸分别为。山、。8的中点,则EF〃。[8,
又「D/Bu平面ABC/。/,EFO平面ABC/。/,:.EF//^ABC1D1,故A正确;
对于B,/平面BCG4,81Cu平面BCC|B|,:.BiC±AB,
又BiCtBCi,ABu平面ABC/Q,ABCiDi,ABBCi=B,,B/C_L平面ABC/D/,
又•.•BO/u平面42。。/,而EF//BD1,:.EF±BiC,故B正确;
对于C,由班7/皿,得EF与AG所成角为/A。氏
在RtaBA2中,AB=2,AD,=272,所以tanZA^B=壶=孝w百,
所以所与4。/所成角不为60。,故C错误;
对于D,由Ef7/BR,且。G,平面2与GC,所以/R2G为与平面BSGC所成的角,
2A/3
在Rt^RGB中,D.q=2,BC[=2V2,BD=2A/3,所以sinNRBG故D正确.
[2百一3
故选:C.
二.多选题(每题至少有两个选项为正确答案,少选且正确得2分,每题5分。4题共20分)
9.(2022秋・云南)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也
寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如
图1甲),图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,
且NABC=120,则该圆台的()
A
B.体积为史农兀
A.IWJ为2正
3
C.表面积为14兀D.内切球的半径为夜
【答案】ACD
【解析】设圆台的上底面半径为",下底面半径为R,
则2兀厂=—x3,即厂=1;271H——x6,即H=2;
33
圆台的母线长/=6-3=3,所以圆台的高力=J/2—(R—r)2=20,故A正确;
圆台的体积V=%x2应(22+F+2xl)=当1兀,故B错误;
圆台的表面积S=J(27i+47i)x3+7ixl2+兀x2?=14兀,所以C正确;
由于圆台的母线长等于上下底面半径和,所以圆台的高即为内切球的直径,所以内切球的半径为血,即D
正确.
故选:ACD.
10.(2022•云南)如图,在三棱柱ABC-4耳。1中,已知点G,“分别在人与,AG上,且GH经过△A笈G
的重心,点E,尸分别是48,AC的中点,且2、C、G、X四点共面,则下列结论正确的是()
A.EF//GHB.G/7〃平面4所
八GH4
C.二一D.平面4所〃平面8CG耳
EF3
【答案】ABC
[解析】对于A,因为平面//平面ABC,平面ABCC平面BCHG=HG,平面ABCc平面BCHG=BC,
FF1
所以用〃BC,因为E,尸分别是AB,AC的中点,所以E尸〃8C,—所以EF〃GH,所以A正
BC2
确,
对于B,由选项A可知E/〃G”,因为GH<Z平面AEF,EFu平面4E/,所以G"〃平面片后产,所以
B正确,
GH2
对于C,因为用〃BC,Bg〃BC,所以龙〃4G,因为GH经过耳a的重心,所以三方=不,因为
Bg=BC,所以以=■,因为三=:,所以吗=;,所以C正确,
BC3BC2EF3
对于D,因为FC=;AC,AC=AG,所以尸c=gdG,因为尸C〃AG,所以四边形4歹CG为梯形,且人尸
与CG为腰,所以A尸与CG必相交,因为APu平面AEF,CGu平面JBCG瓦,所以平面AEF与平面
BCC再相交,所以D错误,
故选:ABC
11.(2022秋・江西宜春)长方体ABCD-44GR的长、宽、高分别为3,2,1,贝|()
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体的表面从A到G的最短距离为3啦
D.沿长方体的表面从A到G的最短距离为26
【答案】BC
【解析】长方体的表面积为2x(3x2+3xl+2xl)=22,A错误.长方体的体积为3x2xl=6,8正确.如图⑴
所示,长方体中,AB=3,BC=2,8与=1.求表面上最短(长)距离可把几何体展开成平
面图形,如图(2)所示,将侧面ABA4和侧面8CG耳展开,
则有即经过侧面山珥4和侧面8CG4时的最短距离是底;如图(3)所示,将侧
面ABB^和底面AAG,展开,则有AC|=V32+32=30,即经过侧面A网A和底面4旦G9时的最短距
离是3正;如图(4)所示,将侧面ADRA和底面A瓦GA展开,
则有AQ=V42+22=2^/5,即经过侧面ADDJA和底面4月。.时的最短距离是2«.因为3后<2君<庄,
所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是3亚,C正确,。不正确.
故选:BC.
12.(2022秋•江西抚州)如图,在长方体ABCD-ABC中,AA^=AB=4,BC=2,M,N分别为棱CQ,CG
A.M,N,A,8四点共面B.直线BN与平面ADM相交
C.直线BN和耳M所成的角为60。D.平面ADM和平面AJB|G2的夹角的正切值为2
【答案】BCD
【解析】A:连接A£>1,8C1,如下图AMu面ABG2,而Be面ABG2,N6面ABGR,
所以M,N,A,3四点不共面,错误;
B:若F为D、中点、,连接AF,N为棱CG的中点,
由长方体性质知:AF//BN,显然BNa面ADM,
若3N〃面ADM,而面ADM=A,显然有矛盾,
所以直线BN与平面ADM相交,正确;
C:若”,G分别是中点,连接HA,GA,
由长方体性质易知:HDyUAF,GD\//B\M,
而AF//BN,故HD'UBN,即直线BN和gM所成的角为,
由题设AG=A〃=A2=2,易用HD\=GD、=AG=2叵,即△小乂;为等边三角形,
所以NG2H为60。,正确;
D:若G分别是A4中点,显然MG〃A2〃AD,易知A,n,M,G共面,
所以平面ADM和平面481GA的夹角,即为面ADMG和面AMGR的夹角,
而面ADMG'面A4GQ="G,长方体中AA,±MG,
AA,
如下图,/4G4,为ADA/G和面481GA夹角的平面角,tan/4GA=GA^=2,正确.
三、填空题(每题5分,4题共20分)
13.(2022秋•上海黄浦)如图,在三棱柱ABC-4与G中,ZACB=90°,ZACC,=60°,ZBCQ=45°,
侧棱CG的长为1,则该三棱柱的高等于
【答案】|
【解析】过Ci作平面ACB、直线3C、AC的垂线,交点分别为O,D,E,连接O。、OC、OE,则G。即为
三棱柱的高,
由CQ_L平面ACS,ACu平面ACB,可得GO_LAC,
又AC_LC|E,Cfi。也=。1,6。(=平面6。£,。4<=平面6。£,
所以ACJ_平面CQE,又OEu平面GOE,
所以AC10E,同理可得OD_L3C,又NACB=90。,
所以四边形OECD为矩形,
在直角三角形ECG和。CG中,ZACQ=60°,ZBCC,=45°,侧棱CG的长为1,
则CE=gcC1=g,CD=GD=3,
所以。O=CE=1,
2
所以0G=JDC:_C>D2=g,
即三棱柱的高等于3.
故答案为:-
14.(2022秋•安徽六安)正三棱锥P-A5C的侧棱长为2,M为AB的中点,且尸加,尸。,则三梭锥尸-A5c
外接球的表面积为.
【答案】12兀
【解析】/为A3中点,PA=PB,CA^CB,:.CM±AB,PMLAB,
又CMPM=M,CM,PMu平面PCM,AB上平面PCM,
尸。<=平面「。屈,;.钻_1_尸。,又PM1PC,PMcAB=M,PMABu平面RW,
,尸CL平面上4B,又三棱锥P-ABC为正三棱锥,,侧面为全等的等腰直角三角形,
三棱锥P-ABC为如图所示的棱长为2的正方体的一角,
•••该正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,
正方体外接球半径R=/2-2=73,:.所求外接球表面积S=4欣2=12兀.
故答案为:12兀.
15.(2022・四川雅安)如图,在长方体ABCD-A与CQ中,底面ABC。为正方形,E,尸分别为用G,CD
的中点,点G是棱G2上靠近G的三等分点,直线BE与平面484A所成角为45。.给出以下4个结论:
①班〃平面叫DQ;②所"LAG;
③平面EFC,平面32E;@B,E,F,G四点共面.
其中,所有正确结论的序号为.
【答案】①②③
【解析】设ACBD=O,连接。尸,。用,则。P//BC,。尸=g8C,
又B[E//BC,BiE=;BC,
所以。尸//4瓦。尸=4E,
所以四边形。瓦EF为平行四边形,
所以OBJ/EF,又。B]U平面B8QD,EFU平面BBiRD,
所以EF〃平面38QD,故①正确;
连接44,8夕,因为底面ABCD为正方形,
所以A四=BC,
所以_LAC,又AC〃AG,OB,//EF,
所以E尸,4G,故②正确;
由题可知EB[1平面ABBlA{,
所以ZB.BE为直线BE与平面ABBX\所成角,即ZB.BE=45°,
则BB}=EB\=EC、=gB£,ZBtEB=ZQEC=45,
所以BE工EC,又PC_L平面BCCg,BEu平面BCC内,
所以BE_LPC,又FCCE=C,产Cu平面£FC,CEu平面EFC,
所以BE平面EFC,又驱u平面BjE,
所以平面跖CL平面BjE,故③正确;
连接交G2于/,连接所,则2,E,尸确定平面
罢=:,又点G是棱GA上靠近G的三等分点,
r/C2
所以Ge平面BHF,故④错误,
所以所有正确结论的序号为①②③.
故答案为:①②③.
16.(2022秋•辽宁)正方体ABCD-Aq的棱长为1,点P是内不包括边界的动点,若BDLAP,
则线段AP长度的最小值为.
【答案】竽
【解析】4G与耳已相交于。,连接A。,AC,BD,
AA^LBD,AC.LBD,MAC=A,故BDJ,平面A40C,BD±AP,
故APu平面。4C,P是AC。内不包括边界的动点,故尸在OC上,
当APLOC时,AP最小
AOC中,AC=>/2,AO=CO=
根据等面积法:AP=£1=拽.
OC3
故答案为:空
3
四、解答题(17题10分,其余每题12分,6题共70分)
17.(2022春•上海浦东新)已知在直角三角形A3C中,AC1BC,BC=2,tanZABC=2形(如图所示)
(1)若以AC为轴,直角三角形ABC旋转一周,求所得几何体的表面积.
(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点5,求蚂蚁爬行的最短距
离.
【答案】(1)16万(2)6石
【解析】(1)在直角三角形ABC中,由8c=2,tan/ABC=2A^
f—
即tan/A2C=M;=2忘,得AC=4&,若以AC为轴旋转一周,
形成的几何体为以BC=2为半径,高AC=40的圆锥,
则AB=百+(4后2=6,其表面积为S="x22+gx2;rx2x6=16;r.
(2)由问题(1)的圆锥,要使蚂蚁爬行的最短距离,
则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形,
O-TTVOO-TT
最短距离就是点8到点耳的距离,/&区=吟二=9,
o3
在AB四中,由余弦定理得Bq={6?+6?-2x6x6xcosg=66.
18.(2023•云南)如图所示,在四棱锥尸-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,M
为线段PD上一点,N为8c的中点.
(1)当Af为尸口的中点时,求证:〃平面
(2)当P3//平面AMN,求出点M的位置,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;
(2)存在点M,点M为PD上靠近尸点的三等分点,理由见解析.
【解析】(1)取AP中点为E,连接5M,历,
p.
在,上4。中,M为PD的中点,E为钎中点,
:.EM//AD,EM=-AD,
2
在平行四边形ABCD中,N为8C的中点,
:.BN//AD,BN^-AD,
2
:.BN//ME,BN=ME,
,四边形3MWE为平行四边形,
:.MN//BE,MNa面PAB,BEu面PAB,
MN//平面R4B;
(2)连接4V,即,相交于0,连接加,
PB“面AMN,面尸8。湎AAW=0A/,PBu面尸
PMOBBN1
:.PB//OM,
MD~OD~AD~2
即存在点M,M为尸。上靠近尸点的三等分点.
19.(2022秋广西玉林)如图,已知正三棱柱ABC-A4C的底面边长是2,。是侧棱CG的中点,直线4。
与侧面BB&C所成的角为45°.
(1)求此正三棱柱的侧棱长;
(2)求二面角A—2。一C的正切值;
⑶求点C到平面ABD的距离.
【答案】(D20
(2)3
⑶粤
【解析】(1)设正三棱柱ABC-的侧棱长为无,取中点E,连接AE,
:,ABC是正三角形,AELBC,
又底面ABC1侧面24clC,且两平面交线为8C,.•./正,侧面
连接ED,则ZADE为直线AD与侧面84cle所成的角,二/ADE=45°,
tan45。-出-
在用△AED中,ED“了,解得了=2及,,此正三棱柱的侧棱长为2拒・
(2)过E作EF_LBD于凡连接AF,
可知AF_L3D,.••/AFE为二面角A—2。一。的平面角.
CD72_A/3:
在及ABEF中,EF=BEsin/EBF,又BE=LsinZEBF=-.EF=^~
DU3
AP
又AE=,**•在Rt△AE7*1中,tanNAFE=----=3.
EF
(3)由(2)可知,3£)上平面AEF平面AEF_L平面A8D,且交线为AF.
过E作EG八A尸于G,则EGJ_平面ABD.:.EG的长为点E到平面ABD的距离.
在Rt△AEF中,
为8C中点,二点C到平面ABD的距离为2EG=-—
5
CD”
20.(2022天津)如图,在四棱锥尸—ABC。中,AD!IBC,AD1DC,BC=CDAD=2,E为棱AD的中
2
点,PA_L平面A3CD
(1)证明:AB〃平面尸CE
(2)求证:平面RIB_L平面PSD
(3)若二面角尸-CD-A的大小为45。,求直线AD与平面尸5。所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
⑶4
【解析】(1):3C〃AE且BC=AE,.•.四边形BCE4为平行四边形,
?.AB//EC,又ABO平面尸CE,ECu平面PCE,
所以A2〃平面PCE.
(2):24_L平面ABCD,叨匚平面4£口),,24_13。,
连接BE,,:BC"DE且BC=DE,四边形3CDE为平行四边形,
VDEJ.CD,BC=CD=2,,平行四边形BCDE为正方形,:.BD±EC,
又ABHEC,:.BDJ.AB,
又PAAB^A,PAABu面R4B,5D工面PAB,
BDu面PBD,:.平面PABJ_平面PBD.
(3):P4_L平面A3CD,CDu平面ABC。,Z.PALCD,
又CD_LAD,PAoAD^A,「AAOu平面pa。,CD_L平面PAT),
因为PDu平面PAD,CD_LPD,
—PDA为二面角尸-CD—A的平面角,从而/PCM=45。,所以上4=45=4,
作A"_LPB于〃,连接MD,
•••平面上4B_L平面尸砒>,AWu平面B4B,平面上4Bc平面尸3£)=尸3,
,A/上面PBD,所以/ADM为直线AD与平面PBD所成角,
+击工.I—/—,PA.,AZ?4x2A/24A/3
在直角„PAB中,A,B=CE=2A/2,-4,PB=2^6,»•AM-----------=-----尸-=-----,
PB2763
因为面PRD,DMu面PBD,所以AM_L£)M,
在直角中,AD=4,AM=—,DM=^AD2-AM2=—,
33
/.tanZADM=—,
2
则直线AD与平面沏所成角的正切值为变.
2
21.(2022春・新疆•高一兵团第一师高级中学校考期末)如图,在四棱锥P-AFCD中,底面48。。是菱形,
ZABC=60,AB=2,AC\BD=O,尸0人底面ABC。,尸0=2,点E在棱尸。上,且CELPD.
(1)证明:平面尸平面ACE;
(2)求二面角尸-AC-E的余弦值.
⑶求四面体A-CDE的体积.
【答案】⑴证明见解析;
⑵叵;
7
⑶空.
7
【解析】(1):尸。[平面ABC。,ACu平面ABC。,Z.PO1,AC,
:在菱形ABCD中,AC1BD,且BDPO=O,B。、POu平面PBD,
AC_L平面PSD,,;ACu平面ACE
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