第8章 立体几何初步 章末测试(提升)-2022-2023学年高一数学一隅三反系列(人教A版2019必修第二册)(解析版)_第1页
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文档简介

第8章立体几何初步章末测试(提升)

考试时间:120分钟满分:150分

一、单选题(每题只有一个选择为正确答案,每题5分,8题共40分)

1.(2022秋•四川)水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知B'C'=4,A'C'=3,轴,则

中BC边上的中线的长度为()

【答案】A

【解析】利用斜二测画法将直观图还原如图,易知此时3c=2B'C'=8,AC=AC'=3,

又由8'仁〃丫'轴得BC//y轴,故BCLAC,

不妨设。是BC的中点,则CZ)=g8C=4,

所以在RtZsACD中,AD=>jAC2+CD2=79+16=5>即一ABC中BC边上的中线的长度为5.

71

2.(2023吉林长春)在三棱锥P-ABC中,R4_L平面A5C,PA=6,BC=3,=7•,则三棱锥尸-ABC

6

的外接球半径为()

A.3B.2GC.3&D.6

【答案】C

*71*--------£

【解析】由正弦定理得,△ABC外接圆直径为.兀一,得-3.

sin—

6

设球心到平面ABC的距离为d,则〃=324=3.

三棱锥P-ABC的外接球半径为R=/储+户=旧+学=3夜.

故选:C

3.(2023上海浦东新•)用一个平面截正方体,截面图形可能是()

A.钝角三角形B.直角梯形

C.有两个内角相等的五边形D.正七边形

【答案】C

【解析】用一个平面截正方体,截面图形可能是三角形,四边形,五边形,六边形.

对于A:截面图形如果是三角形,只能是锐角三角形,不可能是直角三角形和钝角三角形.

如图所示的截面三角形ABC.

设DA=a,DB=b,DC=c,所以人。2=〃2+/,4笈二/+廿,吕^二从+自

2

4D।八02_DZ~»22.2

所以由余弦定理得:COSZCAB=————=I,/>0,所以,C4B为锐角.

2ABACZsjcr+b-+c

同理可求:1ACB为锐角,NCBA为锐角.

所以ABC为锐角三角形.故A错误;

对于B:截面图形如果是四边形,可能是正方形,可能是矩形,可能是菱形,可能是一般梯形,也可能是等

腰梯形,不可能是直角梯形.

故B错误;

对于C:如图示的截面图为五边形,并且有两个角相等.

对于D:因为正方体有六个面,所以一个平面截正方体,边数最多为6.所以D错误.

故选:C

4.(2023山东烟台)米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具,鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意,

现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗(忽略其厚度),其上、下底面正方形边长分别

为30cm、20cm,侧棱长为5vHem,若将该米斗盛满大米(沿着上底面刮平后不溢出),设每立方分米的

大米重0.8千克,则该米斗盛装大米约()

A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克

【答案】C

【解析】设该正棱台为ABC。-A耳£0,其中上底面为正方形A3CD,取截面A41GC,如下图所示:

易知四边形A41GC为等腰梯形,且AC=30后,AG=2O0,AA=C£=5而,

分别过点A、C在平面用GC内作4E_LAC,QF1AC,垂足分别为点E、F,

由等腰梯形的几何性质可得M=CC,,又因为4AE=ZQCF,/A吗=ZCFQ=90,

所以,RtAA^E^RtACCjF,所以,AE=CF,

因为AC//AC,易知NEA.G=NAEF=ZEFQ=Z^QF=90,

故四边形AG/E为矩形,则跖=AC=2O0,,AE=CF=---=5友,

所以,\E=-AE1=15,故该正四棱台的高为15cm,

所以,该米斗的体积为V=1x(202+302+A/202X302)X15=9500cm3,

所以,该米斗所盛大米的质量为9.5x0.8=7.6kg.

故选:C.

5.(2022秋•广西)在ABC中,AB=BC=1,ZABC=120°,现以AC为旋转轴,旋转360得到一个旋转

体,则该旋转体的体积为()

A.-B.-C.叵D.叵

842412

【答案】D

【解析】取AC中点为。,则;ABC可看作两个直角三角形RtAAOB和RtZiCOB,将二A5C以AC为旋转轴,

旋转360得到的旋转体相当于将Rt^AOB和Rt^CQB,分别以直角边AO和CO为轴旋转360,可得到两

个同底等高的圆锥构成的组合体.

A

VAB=BC=1,ZABC=120°,

:.ZBAC=ZBCA=30°,OB=-,OA^—,

22

圆锥ABD的底面圆面积S=7t,=—,而为h=OA=走~,

42

体积V=—sh=—x—x^-,

3342

故所求旋转体体积为2V=且nV=叵.

1224

故选:D.

6.(江西省吉安市2023届)已知PC是圆锥P。的一条母线,A3是底面圆。的一条直径,为正三角

形,ZABC=30,则PC与AB所成角的余弦值为()

A.—B.—C.7?D.一

4328

【答案】A

【解析】如图,延长co交圆。于。,连接PD,取尸D的中点E,连接OE,则OE〃PC,

则NEOB为PC与AB所成的角,

不妨设圆。的半径为1,则PC=PD=P3=2,OE=gpC=l,

因为。为AC、3。的中点,则四边形ACBD为平行四边形,

,NABC=30,ABAC=6Q,则!®=AC=1,

22+22-12_7

在△呐中,2然丁

2;2x2x28

73

由余弦定理可得BE2=PB2+PE2-2PB-PEcosZDPB=22+12-2x2xlx-=-,

82

所以,OB2+OE2-BE21.

cosZEOB=

2OBOE2x1x14

故选:A.

7.(2022秋•黑龙江大兴安岭地)如图,在正方体A3CD—481GA中,M,N,P分别是G2,BC,4。

的中点,有下列四个结论:

①AP与CM是异面直线;

②AP,CM,相交于一点;

③MNI/BD、;

④M7V//平面班QD.

其中所有正确结论的编号是()

A.①④B.②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】对于①,因为AG〃AC,MP/AG,所以MH/AC,又MPwAC,所以AP与CM是相交直线,则

①不正确;

对于②,设C"AP=Q,^AiADDl面ACMP=",面GC。,面ACMP=CM,所以Qe平面AAD',

Qe平面C1CDDl,又面AlADDl面CXCDDX=DD},

所以",CM,相交于一点,②正确;

对于③,令ACBD=O,连接2。、NO,

因为M,N分别是G2,8C的中点,

所以ONUD\M〃CD,ON=DtM=^CD,则MNOR为平行四边形,

所以MN//O。,而ORRB=R,所以③不正确;

对于④,因为MN<Z平面B。。,。2u平面8Z)[。,

所以MN〃平面④正确.

综上所述,②④正确,

故选:B.

(1

8.(2021秋•吉林长春)如图,在棱长为2的正方体ABC。-4SGS中,E,歹分别是。。/,的中点,

则下列选项中错误的是()

B.EF1BjC

C.跖与A0所成角为60。

D.EF与平面BBCC所成角的正弦值为且

3

【答案】C

【解析】对于A,连接86,在—DRB中,E、尸分别为。山、。8的中点,则EF〃。[8,

又「D/Bu平面ABC/。/,EFO平面ABC/。/,:.EF//^ABC1D1,故A正确;

对于B,/平面BCG4,81Cu平面BCC|B|,:.BiC±AB,

又BiCtBCi,ABu平面ABC/Q,ABCiDi,ABBCi=B,,B/C_L平面ABC/D/,

又•.•BO/u平面42。。/,而EF//BD1,:.EF±BiC,故B正确;

对于C,由班7/皿,得EF与AG所成角为/A。氏

在RtaBA2中,AB=2,AD,=272,所以tanZA^B=壶=孝w百,

所以所与4。/所成角不为60。,故C错误;

对于D,由Ef7/BR,且。G,平面2与GC,所以/R2G为与平面BSGC所成的角,

2A/3

在Rt^RGB中,D.q=2,BC[=2V2,BD=2A/3,所以sinNRBG故D正确.

[2百一3

故选:C.

二.多选题(每题至少有两个选项为正确答案,少选且正确得2分,每题5分。4题共20分)

9.(2022秋・云南)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也

寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如

图1甲),图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,

且NABC=120,则该圆台的()

A

B.体积为史农兀

A.IWJ为2正

3

C.表面积为14兀D.内切球的半径为夜

【答案】ACD

【解析】设圆台的上底面半径为",下底面半径为R,

则2兀厂=—x3,即厂=1;271H——x6,即H=2;

33

圆台的母线长/=6-3=3,所以圆台的高力=J/2—(R—r)2=20,故A正确;

圆台的体积V=%x2应(22+F+2xl)=当1兀,故B错误;

圆台的表面积S=J(27i+47i)x3+7ixl2+兀x2?=14兀,所以C正确;

由于圆台的母线长等于上下底面半径和,所以圆台的高即为内切球的直径,所以内切球的半径为血,即D

正确.

故选:ACD.

10.(2022•云南)如图,在三棱柱ABC-4耳。1中,已知点G,“分别在人与,AG上,且GH经过△A笈G

的重心,点E,尸分别是48,AC的中点,且2、C、G、X四点共面,则下列结论正确的是()

A.EF//GHB.G/7〃平面4所

八GH4

C.二一D.平面4所〃平面8CG耳

EF3

【答案】ABC

[解析】对于A,因为平面//平面ABC,平面ABCC平面BCHG=HG,平面ABCc平面BCHG=BC,

FF1

所以用〃BC,因为E,尸分别是AB,AC的中点,所以E尸〃8C,—所以EF〃GH,所以A正

BC2

确,

对于B,由选项A可知E/〃G”,因为GH<Z平面AEF,EFu平面4E/,所以G"〃平面片后产,所以

B正确,

GH2

对于C,因为用〃BC,Bg〃BC,所以龙〃4G,因为GH经过耳a的重心,所以三方=不,因为

Bg=BC,所以以=■,因为三=:,所以吗=;,所以C正确,

BC3BC2EF3

对于D,因为FC=;AC,AC=AG,所以尸c=gdG,因为尸C〃AG,所以四边形4歹CG为梯形,且人尸

与CG为腰,所以A尸与CG必相交,因为APu平面AEF,CGu平面JBCG瓦,所以平面AEF与平面

BCC再相交,所以D错误,

故选:ABC

11.(2022秋・江西宜春)长方体ABCD-44GR的长、宽、高分别为3,2,1,贝|()

A.长方体的表面积为20

B.长方体的体积为6

C.沿长方体的表面从A到G的最短距离为3啦

D.沿长方体的表面从A到G的最短距离为26

【答案】BC

【解析】长方体的表面积为2x(3x2+3xl+2xl)=22,A错误.长方体的体积为3x2xl=6,8正确.如图⑴

所示,长方体中,AB=3,BC=2,8与=1.求表面上最短(长)距离可把几何体展开成平

面图形,如图(2)所示,将侧面ABA4和侧面8CG耳展开,

则有即经过侧面山珥4和侧面8CG4时的最短距离是底;如图(3)所示,将侧

面ABB^和底面AAG,展开,则有AC|=V32+32=30,即经过侧面A网A和底面4旦G9时的最短距

离是3正;如图(4)所示,将侧面ADRA和底面A瓦GA展开,

则有AQ=V42+22=2^/5,即经过侧面ADDJA和底面4月。.时的最短距离是2«.因为3后<2君<庄,

所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是3亚,C正确,。不正确.

故选:BC.

12.(2022秋•江西抚州)如图,在长方体ABCD-ABC中,AA^=AB=4,BC=2,M,N分别为棱CQ,CG

A.M,N,A,8四点共面B.直线BN与平面ADM相交

C.直线BN和耳M所成的角为60。D.平面ADM和平面AJB|G2的夹角的正切值为2

【答案】BCD

【解析】A:连接A£>1,8C1,如下图AMu面ABG2,而Be面ABG2,N6面ABGR,

所以M,N,A,3四点不共面,错误;

B:若F为D、中点、,连接AF,N为棱CG的中点,

由长方体性质知:AF//BN,显然BNa面ADM,

若3N〃面ADM,而面ADM=A,显然有矛盾,

所以直线BN与平面ADM相交,正确;

C:若”,G分别是中点,连接HA,GA,

由长方体性质易知:HDyUAF,GD\//B\M,

而AF//BN,故HD'UBN,即直线BN和gM所成的角为,

由题设AG=A〃=A2=2,易用HD\=GD、=AG=2叵,即△小乂;为等边三角形,

所以NG2H为60。,正确;

D:若G分别是A4中点,显然MG〃A2〃AD,易知A,n,M,G共面,

所以平面ADM和平面481GA的夹角,即为面ADMG和面AMGR的夹角,

而面ADMG'面A4GQ="G,长方体中AA,±MG,

AA,

如下图,/4G4,为ADA/G和面481GA夹角的平面角,tan/4GA=GA^=2,正确.

三、填空题(每题5分,4题共20分)

13.(2022秋•上海黄浦)如图,在三棱柱ABC-4与G中,ZACB=90°,ZACC,=60°,ZBCQ=45°,

侧棱CG的长为1,则该三棱柱的高等于

【答案】|

【解析】过Ci作平面ACB、直线3C、AC的垂线,交点分别为O,D,E,连接O。、OC、OE,则G。即为

三棱柱的高,

由CQ_L平面ACS,ACu平面ACB,可得GO_LAC,

又AC_LC|E,Cfi。也=。1,6。(=平面6。£,。4<=平面6。£,

所以ACJ_平面CQE,又OEu平面GOE,

所以AC10E,同理可得OD_L3C,又NACB=90。,

所以四边形OECD为矩形,

在直角三角形ECG和。CG中,ZACQ=60°,ZBCC,=45°,侧棱CG的长为1,

则CE=gcC1=g,CD=GD=3,

所以。O=CE=1,

2

所以0G=JDC:_C>D2=g,

即三棱柱的高等于3.

故答案为:-

14.(2022秋•安徽六安)正三棱锥P-A5C的侧棱长为2,M为AB的中点,且尸加,尸。,则三梭锥尸-A5c

外接球的表面积为.

【答案】12兀

【解析】/为A3中点,PA=PB,CA^CB,:.CM±AB,PMLAB,

又CMPM=M,CM,PMu平面PCM,AB上平面PCM,

尸。<=平面「。屈,;.钻_1_尸。,又PM1PC,PMcAB=M,PMABu平面RW,

,尸CL平面上4B,又三棱锥P-ABC为正三棱锥,,侧面为全等的等腰直角三角形,

三棱锥P-ABC为如图所示的棱长为2的正方体的一角,

•••该正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,

正方体外接球半径R=/2-2=73,:.所求外接球表面积S=4欣2=12兀.

故答案为:12兀.

15.(2022・四川雅安)如图,在长方体ABCD-A与CQ中,底面ABC。为正方形,E,尸分别为用G,CD

的中点,点G是棱G2上靠近G的三等分点,直线BE与平面484A所成角为45。.给出以下4个结论:

①班〃平面叫DQ;②所"LAG;

③平面EFC,平面32E;@B,E,F,G四点共面.

其中,所有正确结论的序号为.

【答案】①②③

【解析】设ACBD=O,连接。尸,。用,则。P//BC,。尸=g8C,

又B[E//BC,BiE=;BC,

所以。尸//4瓦。尸=4E,

所以四边形。瓦EF为平行四边形,

所以OBJ/EF,又。B]U平面B8QD,EFU平面BBiRD,

所以EF〃平面38QD,故①正确;

连接44,8夕,因为底面ABCD为正方形,

所以A四=BC,

所以_LAC,又AC〃AG,OB,//EF,

所以E尸,4G,故②正确;

由题可知EB[1平面ABBlA{,

所以ZB.BE为直线BE与平面ABBX\所成角,即ZB.BE=45°,

则BB}=EB\=EC、=gB£,ZBtEB=ZQEC=45,

所以BE工EC,又PC_L平面BCCg,BEu平面BCC内,

所以BE_LPC,又FCCE=C,产Cu平面£FC,CEu平面EFC,

所以BE平面EFC,又驱u平面BjE,

所以平面跖CL平面BjE,故③正确;

连接交G2于/,连接所,则2,E,尸确定平面

罢=:,又点G是棱GA上靠近G的三等分点,

r/C2

所以Ge平面BHF,故④错误,

所以所有正确结论的序号为①②③.

故答案为:①②③.

16.(2022秋•辽宁)正方体ABCD-Aq的棱长为1,点P是内不包括边界的动点,若BDLAP,

则线段AP长度的最小值为.

【答案】竽

【解析】4G与耳已相交于。,连接A。,AC,BD,

AA^LBD,AC.LBD,MAC=A,故BDJ,平面A40C,BD±AP,

故APu平面。4C,P是AC。内不包括边界的动点,故尸在OC上,

当APLOC时,AP最小

AOC中,AC=>/2,AO=CO=

根据等面积法:AP=£1=拽.

OC3

故答案为:空

3

四、解答题(17题10分,其余每题12分,6题共70分)

17.(2022春•上海浦东新)已知在直角三角形A3C中,AC1BC,BC=2,tanZABC=2形(如图所示)

(1)若以AC为轴,直角三角形ABC旋转一周,求所得几何体的表面积.

(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点5,求蚂蚁爬行的最短距

离.

【答案】(1)16万(2)6石

【解析】(1)在直角三角形ABC中,由8c=2,tan/ABC=2A^

f—

即tan/A2C=M;=2忘,得AC=4&,若以AC为轴旋转一周,

形成的几何体为以BC=2为半径,高AC=40的圆锥,

则AB=百+(4后2=6,其表面积为S="x22+gx2;rx2x6=16;r.

(2)由问题(1)的圆锥,要使蚂蚁爬行的最短距离,

则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形,

O-TTVOO-TT

最短距离就是点8到点耳的距离,/&区=吟二=9,

o3

在AB四中,由余弦定理得Bq={6?+6?-2x6x6xcosg=66.

18.(2023•云南)如图所示,在四棱锥尸-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面PAD为正三角形,M

为线段PD上一点,N为8c的中点.

(1)当Af为尸口的中点时,求证:〃平面

(2)当P3//平面AMN,求出点M的位置,说明理由.

【答案】(1)证明见解析;

(2)存在点M,点M为PD上靠近尸点的三等分点,理由见解析.

【解析】(1)取AP中点为E,连接5M,历,

p.

在,上4。中,M为PD的中点,E为钎中点,

:.EM//AD,EM=-AD,

2

在平行四边形ABCD中,N为8C的中点,

:.BN//AD,BN^-AD,

2

:.BN//ME,BN=ME,

,四边形3MWE为平行四边形,

:.MN//BE,MNa面PAB,BEu面PAB,

MN//平面R4B;

(2)连接4V,即,相交于0,连接加,

PB“面AMN,面尸8。湎AAW=0A/,PBu面尸

PMOBBN1

:.PB//OM,

MD~OD~AD~2

即存在点M,M为尸。上靠近尸点的三等分点.

19.(2022秋广西玉林)如图,已知正三棱柱ABC-A4C的底面边长是2,。是侧棱CG的中点,直线4。

与侧面BB&C所成的角为45°.

(1)求此正三棱柱的侧棱长;

(2)求二面角A—2。一C的正切值;

⑶求点C到平面ABD的距离.

【答案】(D20

(2)3

⑶粤

【解析】(1)设正三棱柱ABC-的侧棱长为无,取中点E,连接AE,

:,ABC是正三角形,AELBC,

又底面ABC1侧面24clC,且两平面交线为8C,.•./正,侧面

连接ED,则ZADE为直线AD与侧面84cle所成的角,二/ADE=45°,

tan45。-出-

在用△AED中,ED“了,解得了=2及,,此正三棱柱的侧棱长为2拒・

(2)过E作EF_LBD于凡连接AF,

可知AF_L3D,.••/AFE为二面角A—2。一。的平面角.

CD72_A/3:

在及ABEF中,EF=BEsin/EBF,又BE=LsinZEBF=-.EF=^~

DU3

AP

又AE=,**•在Rt△AE7*1中,tanNAFE=----=3.

EF

(3)由(2)可知,3£)上平面AEF平面AEF_L平面A8D,且交线为AF.

过E作EG八A尸于G,则EGJ_平面ABD.:.EG的长为点E到平面ABD的距离.

在Rt△AEF中,

为8C中点,二点C到平面ABD的距离为2EG=-—

5

CD”

20.(2022天津)如图,在四棱锥尸—ABC。中,AD!IBC,AD1DC,BC=CDAD=2,E为棱AD的中

2

点,PA_L平面A3CD

(1)证明:AB〃平面尸CE

(2)求证:平面RIB_L平面PSD

(3)若二面角尸-CD-A的大小为45。,求直线AD与平面尸5。所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶4

【解析】(1):3C〃AE且BC=AE,.•.四边形BCE4为平行四边形,

?.AB//EC,又ABO平面尸CE,ECu平面PCE,

所以A2〃平面PCE.

(2):24_L平面ABCD,叨匚平面4£口),,24_13。,

连接BE,,:BC"DE且BC=DE,四边形3CDE为平行四边形,

VDEJ.CD,BC=CD=2,,平行四边形BCDE为正方形,:.BD±EC,

又ABHEC,:.BDJ.AB,

又PAAB^A,PAABu面R4B,5D工面PAB,

BDu面PBD,:.平面PABJ_平面PBD.

(3):P4_L平面A3CD,CDu平面ABC。,Z.PALCD,

又CD_LAD,PAoAD^A,「AAOu平面pa。,CD_L平面PAT),

因为PDu平面PAD,CD_LPD,

—PDA为二面角尸-CD—A的平面角,从而/PCM=45。,所以上4=45=4,

作A"_LPB于〃,连接MD,

•••平面上4B_L平面尸砒>,AWu平面B4B,平面上4Bc平面尸3£)=尸3,

,A/上面PBD,所以/ADM为直线AD与平面PBD所成角,

+击工.I—/—,PA.,AZ?4x2A/24A/3

在直角„PAB中,A,B=CE=2A/2,-4,PB=2^6,»•AM-----------=-----尸-=-----,

PB2763

因为面PRD,DMu面PBD,所以AM_L£)M,

在直角中,AD=4,AM=—,DM=^AD2-AM2=—,

33

/.tanZADM=—,

2

则直线AD与平面沏所成角的正切值为变.

2

21.(2022春・新疆•高一兵团第一师高级中学校考期末)如图,在四棱锥P-AFCD中,底面48。。是菱形,

ZABC=60,AB=2,AC\BD=O,尸0人底面ABC。,尸0=2,点E在棱尸。上,且CELPD.

(1)证明:平面尸平面ACE;

(2)求二面角尸-AC-E的余弦值.

⑶求四面体A-CDE的体积.

【答案】⑴证明见解析;

⑵叵;

7

⑶空.

7

【解析】(1):尸。[平面ABC。,ACu平面ABC。,Z.PO1,AC,

:在菱形ABCD中,AC1BD,且BDPO=O,B。、POu平面PBD,

AC_L平面PSD,,;ACu平面ACE

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