对数函数的图象和性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2对数函数的图象和性质基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象.(直观想象)2.探索并了解对数函数图象的性质.(数学抽象)基础落实·必备知识一遍过知识点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质

项目a>10<a<1图象

项目a>10<a<1定义域(0,+∞)值域R

性质(1)过定点(1,0),即x=1时,y=0(2)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0(2)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0(3)在(0,+∞)上是增函数.当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大(3)在(0,+∞)上是减函数.当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大名师点睛1.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.2.当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0<a<1时,图象在第四象限内越接近x轴,a越小.3.分析对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,需找三个关键点:(a,1),(1,0),(,-1).微思考对数函数的性质有哪些?提示

性质是函数变化中的不变性及规律性.主要有定义域(0,+∞);单调性:a>1单调递增,0<a<1单调递减,过定点(1,0)等.重难探究·能力素养速提升问题1类比指数函数的增减性与底数a有关,对数函数的增减性与底数有什么关系.问题2类比指数型函数图象中定点的求法,对数型函数如何求定点?探究点一对数函数的图象问题3如何画出对数函数的图象?思考如何画出对数型函数的图象?【例1】

作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出该函数的定义域、值域以及单调区间.解

先画出函数y=lg

x的图象(如图1).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).图1图2图3最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).规律方法

求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.探究点二利用对数函数的性质比较大小问题4利用对数函数的性质,如何比较数的大小?【例2】

比较下列各组中两个值的大小:(1)ln0.3,ln2;解

因为函数y=ln

x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);解

当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故当a>1时,loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,loga3.1>loga5.2.(3)log30.2,log40.2;解(方法1)因为0>log0.23>log0.24,(方法2)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2>log30.2.(4)log3π,logπ3.解因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.规律方法

比较两个对数式大小的常用方法(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.(2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较,常数形结合.(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引入第三个数(常用“0”或“1”)分别与之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.问题5单调性是对数函数的重要性质.单调性主要能用来解决什么问题?探究点三解对数不等式问题6利用对数函数的单调性,如何解对数不等式?【例3】

(1)满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合为

.

(2)若loga<1(a>0,且a≠1),则a的取值范围为

.

规律方法

对数不等式的三种考查类型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.探究点四与对数函数有关的值域与最值问题问题7如何破解对数型函数求值域的有关问题?方法中体现了什么数学思想?【例4】

已知函数g(x)=log2(3x-1),f(x)=log2(x+1).(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)在(1)的条件下求函数y=g(x)+f(x)的值域.(2)y=g(x)+f(x)=log2(3x-1)+log2(x+1)=log2[(3x-1)(x+1)]=log2(3x2+2x-1),令t=3x2+2x-1,则y=log2t,由(1)可得{x|x≥1},函数t=3x2+2x-1的对称轴为直线x=-∉[1,+∞),故当x=1时,tmin=4,即t≥4.又y=log2t在t∈[4,+∞)上单调递增,∴当x≥1时,y≥log24=2.即所求函数的值域为[2,+∞).规律方法

与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.探究点五对数型复合函数的单调性问题问题8指数函数可与其他函数复合成指数型函数,同样,对数函数也可与其他函数复合构成对数型函数.类比指数型复合函数单调性的求法,如何求对数型复合函数的单调区间?【例5】

(1)求函数

的单调区间.(2)若函数f(x)=lg(x2+ax+1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.规律方法

对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练1.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数,则f(10)=(

)A.1 B.2

C.10

D.1010A解析

函数y=10x的反函数为f(x)=lg

x,f(10)=lg

10=1,故选A.1234567891011121314152.函数y=log2(x+1)的图象大致是(

)C解析

函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度得到的,定义域为(-1,+∞),过定点(0,0)且在(-1,+∞)上是增函数,故选C.1234567891011121314151234567891011121314153.函数

的定义域是(

)A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞)D1234567891011121314154.若函数f(x)=ln(x2+2mx)在区间(1,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围为(

)C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)A123456789101112131415A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<aD1234567891011121314156.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上(

)A.是增函数 B.是减函数C.先增后减 D.先减后增A解析

令t=(a-1)x+1.当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数,所以f(x)是增函数;当0<a<1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是减函数,所以f(x)是增函数.1234567891011121314157.(多选题)已知a=log32,b=30.1,c=30.2,则(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.a<c<bAC1234567891011121314158.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是

.

(2,2)解析

令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).1234567891011121314159.设0<a<1,函数f(x)=loga(2ax-2),则使得f(x)<0的x的取值范围为

.

12345678910111213141510.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(log4x)<0的解集是

.

12345678910111213141511.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)求不等式f(x)>1的解集.123456789101112131415解

(1)要使函数f(x)有意义,故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).(2)f(x)为奇函数.证明

如下:由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为f(x)在定义域(-2,2)上是增函数,12345678910111213141512.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.解

(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<