对数的运算课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3.2对数的运算第四章指数函数与对数函数人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.理解对数运算性质,并能运用运算性质化简、求值.(数学运算)2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.(数学运算)3.能运用运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点一:对数的运算性质

条件a>0,且a≠1,M>0,N>0性质(1)loga(MN)=logaM+logaN(2)loga=logaM-logaN(3)logaMn=nlogaM(n∈R)名师点睛1.逆向应用对数的运算性质,可以将几个对数式化为一个对数式,有利于化简.2.对于每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)与log2(-3)均不存在,不能写成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).3.性质(1)可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.其中Nk>0,k∈N*.微思考如何证明对数运算的基本性质?提示

利用指对转化及对数的定义.例:证明loga(MN)=logaM+logaN.证明:设logaMN=t,则at=MN.设logaM=m,所以am=M.设logaN=n,则an=N,所以MN=aman=am+n=at,即m+n=t,即loga(MN)=logaM+logaN.知识点二:对数换底公式(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).名师点睛1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.2.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.微思考如何证明对数换底公式?重难探究·能力素养速提升问题1通过指数与对数的互化,思考如何通过指数的运算性质证明对数的运算性质?探究点一对数运算性质的应用问题2如何利用对数的运算性质化简以下各式?【例1】

计算下列各式的值:解原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.规律方法

对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg

2+lg

5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.探究点二换底公式的应用问题3对数运算中底数不同时,如何处理?【例2】

计算下列各式的值:(1)log89×log2732;(2)(log43+log83)×规律方法

1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:探究点三有附加条件的对数求值问题问题4能否利用指对数之间的互逆关系,求解等式中的参数?解设ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正数,∴lg

ax=lg

k,lg

by=lg

k,lg

cz=lg

k.∴x=logak,y=logbk,z=logck.∴logka+logkb+logkc=0,即logk(abc)=0.∴abc=1.延伸探究

证明

设3x=4y=6z=m(m>0),则x=log3m,y=log4m,z=log6m.规律方法

条件求值问题的求解方法带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化进行解题.学以致用·随堂检测促达标123456789A级必备知识基础练1.2log510+log50.25=(

)A.0 B.1 C.2 D.4C解析

原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.1234567892.已知alog32=1,则2a=(

)A. B.1 C.2 D.3D解析

alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.123456789A.1 B.4 C.5 D.7C1234567894.(多选题)若x>0,x≠1,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(

)BCD1234567895.若2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),则

的值为(

)D解析

∵2lg(x-2y)=lg

x+lg

y(x>2y>0),∴lg(x-2y)2=lg

xy,∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,∴x≠y,则x=4y,1234567896.计算:+lg4+2lg5-eln3=

.

21234567897.log35log46log57log68log79=

.

31234567898.计算:123456789123456789B级关键能力提升练9.解下列对数方程.(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.123456789(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得