高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题四 第一讲 直线与圆 理

专题四解析几何第一讲直线与圆一、选择题1．已知直线l1的方向向量a＝(1,3)，直线l2的方向向量b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为()A．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋15＝0解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0.∴－1＋3k＝0，∴k＝eq\f(1,3)，∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))).∴l2方程为y＝－eq\f(1,3)x＋5，即x＋3y－15＝0.答案：B2．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1通过点M(cosα，sinα)，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≤1D.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1解析：直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1通过点M(cosα，sinα)，我们知道点M在单位圆上，此问题可转化为直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有eq\f(|－1|,\r(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))≤1⇒eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1，故选D.答案：D3．(·福建)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0解析：∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0，故选D.答案：D4．(·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪[0，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))解析：圆心(3,2)到直线的距离d＝eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))，则|MN|＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))))2)＝2eq\r(\f(－5k2－6k＋3,k2＋1))≥2eq\r(3)，解得－eq\f(3,4)≤k≤0，故选A.答案：A5．(·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2)有公共点，则b的取值范围是()A．[1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2)]B．[1－eq\r(2)，3]C．[－1,1＋2eq\r(2)]D．[1－2eq\r(2)，3]解析：y＝3－eq\r(4x－x2)变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－eq\r(4x－x2)有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1－2eq\r(2)或b＝1＋2eq\r(2)(舍去)，∴b的取值范围为1－2eq\r(2)≤b≤3.故选D.答案：D二、填空题6．(·全国Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r(2)，则m的倾斜角可以是：①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)．解析：两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，又动直线l1与l2所截的线段长为2eq\r(2)，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：①⑤7．(·四川理)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：如图所示，在Rt△OAO1中，OA＝eq\r(5)，O1A＝2eq\r(5)，∴OO1＝5，∴AC＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2，∴AB＝4.答案：48．(·课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________．解析：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝eq\r(4－32＋1－02)＝eq\r(2)，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝29．(·山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2eq\r(2)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为______________________________________________________________________．解析：设圆心A(x0,0)，x0>0，r＝|AC|＝x0－1，|BC|＝eq\r(2)，由直线l方程可知∠BCA＝45°，所以r＝2，x0＝3，∵l⊥AB，∴kAB＝－1，AB方程为y＝－1(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题10．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为y＝eq\f(m,m2＋1)x－eq\f(4m,m2＋1)，直线l的斜率k＝eq\f(m,m2＋1)，因为|m|≤eq\f(1,2)(m2＋1)，所以|k|＝eq\f(|m|,m2＋1)≤eq\f(1,2)，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤eq\f(1,2).圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝eq\f(2,\r(1＋k2)).由|k|≤eq\f(1,2)，得d≥eq\f(4,\r(5))>1，即d>eq\f(r,2).从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于eq\f(2π,3).所以l不能将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧．11．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：设直线l的方程为y＝x＋b，代入圆的方程x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0.即2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.(*)以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.由(*)式得x1＋x2＝－b－1，x1x2＝eq\f(b2＋4b－4,2)∴b2＋4b－4＋b·(－b－1)＋b2＝0.即b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1.将b＝－4或b＝1代入*方程，对应的Δ>0.故存在直线l：x－y－4＝0或x－y＋1＝0.12．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25.(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．(1)证明：设圆心C到直线l的距离为d，则有d＝eq\f(|6m＋6－8m－3|,\r(4m2＋1))整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0为使上面关于m的方程有实数解，∴Δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤eq\r(10).可得d<5，故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交