高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 1 集合 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题01集合真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2020•北京•高三校考强基计划）设A,B,C是集合｛1,2,,2020｝的子集，且满足

AcGBcC,这样的有序组（A,SC）的总数是（）

A.32020B.42020C.521*20D.62020

2.（2021•全国•高一专题练习）已知非空集合4，4是集合A的子集，若同时满足两个条

件：（1）若aeA，则。/人;（2）若则“仁心则称（A，A?）是集合A的“互斥

子集“，并规定（A，①）与（4,4）为不同的“互斥子集组“，则集合A=｛123,4｝的不同“互

斥子集组''的个数是（）

A.11B.28C.32D.50

3.（2021•北京•高三强基计划）现有7把钥匙和7把锁.用这些钥匙随机开锁,则%D血

这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是（）

A.y-B.-C.jD.以上答案都不

对

4.（2021•全国•高一专题练习）设集合S,T,S,7中至少有2个元素，且S,T满足：

①对于任意的x,yeS,若x#y,则x+yeT；②对于任意的若x＜y,贝iJy-xeS.

若S有3个元素，则T可能有（）

A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素

5.（2021•北京•高三强基计划）设正整数如〃均不大于2021,且*-＜&＜丝里，则

〃+1n

这样的数组（犯〃）的个数为（）

A.2021B.1428

C.3449D.以上答案都不对

二、填空题

6.（2022•新疆・高二竞赛）设集合］\+&1＜。4人＜4|•中的最大元素与最小元素分别为

M,N,则M-N=.

7.（2022•浙江•高二竞赛）已知集合A=kKx-H（x-〃，“）M0，"wN"},若集合A中恰

有9个正整数，则片.

8.（2020•江苏•高三竞赛）设“wN",欧拉函数9（〃）表示在正整数1,2,3,〃中

与“互质的数的个数，例如1,3都与4互质,2,4与4不互质，所以以4）=2,则夕（2020）=

9.（2022•广西•高二统考竞赛）设A、8是集合{1,2,-,20）的两个子集，AB=0,且“eA

时2〃+2e8.记M（A）为A的元素之和，则M（A）的最大值是.

10.（2022•福建•高二统考竞赛）已知^A,,A“是集合A={1,2,3,,10}的〃个非

空子集，如果对于任意的i,J6{1,2,3,，小，均有A,4*A,则〃的最大值为

11.（2022・浙江金华•高三浙江金华第一中学校考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队

赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环

比赛，则友好组个数的最大值为.

12.（2021•全国•高三竞赛）已知非空集合X=M={1,2,,2019,2020）,用“X）表示集

合X中最大数和最小数的和，则所有这样的/（X）的和为.

13.（2020•浙江•高三专题练习）记网为集合S的元素个数，b（S）为集合S的子集个数，

若集合A,B,C满足：①闾=忸|=2020；②b（A）+b（8）+b（C）=b（AuBuC）,则

的最大值是.

14.（2022•全国•高三专题练习）已知“eN*,集合此=乜Q，，当4,集合此的

[2482.J

所有非空子集的最小元素之和为，，则使得，＞80的最小正整数n的值为.

15.（2022•浙江•高二竞赛）给定正整数小kgk）,记X={1,2,…,〃}从XfX的一一

映射/称为是可％-划分的：若x可划分为八个非空子集A,A2,4,且〃A）=A

（i=i,2,k）（即X=A4J…A，且A，A,4两两的交集为空集，

/（4）={/（X）|XG4}）.已知/是一个X的％-划分的映射,％,生,…，。”是1,

2,…，〃的一个排列，则的最小值为.

16.（2022•北京•高一统考竞赛）对实数司,孙…不超过

/（占，%…09）=ZZ2上内+&々++匕90-”的最小值的最大整数为

41=0句=0*19=0

17.（2022•北京•高一统考竞赛）有个不超过2020的正整数火,满足对任意

2

(kn)l

的正整数〃,均有3（J）的

n\

三、解答题

18.（2021•浙江•高二竞赛）设数集「={4%,,am},它的平均数C.=%士&.+2%

m

现将S={1,2,，川分成两个非空且不相交子集A,B,求IG-C/的最大值，并讨论取

到最大值时不同的有序数对（AB）的数目.

19.（2022•福建•高二统考竞赛）某校数学兴趣小组有14位同学，他们组成了〃个不同

的课题组.每个课题组有6位同学，每位同学至少参加2个课题组，且任意两个课题组

至多有2位共同的同学，求〃的最大值.

2（）.（2022春•浙江•高一校联考竞赛）己知iMi勺M2022（iJeN"）,求最大的实数C,

使得对任意大于2022的正整数〃及实数大小，存在集合{1,2,•••,»）的一个子集5满

足,Hsc{t,t+l,-,r+2022}|<j对所有f=l,2,…，〃一2022恒成立且

|meS|〃i=l

21.（2021•全国•高三竞赛）设集合S是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集

合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面

分成若干区域，若一组直线对于点集S满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：

（1）这些直线不经过该点集S中的任何一个点；

（2）每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.

求女的最小值，使得对于任意的点集S,均存在由左条直线构成的“好直线组

22.（2021•全国•高三竞赛）已知X是一个有限集.X=AuL=A°,X=guL=耳。是满

足如下性质的两个分划：若Ac%=0,&4j410,则口闻N10.求因的最小值.

23.（2021•全国•高三竞赛）设"={1,2,3,,2叫〃}（加,“€此）是连续2%〃个正整数组成

的集合，求最小的正整数鼠使得M的任何女元子集中都存在，”+1个数4,4，满

足4b”1(，=1,2,.,相).

24.(2021•全国•高三竞赛)设〃是正整数，我们说集合{1,2,,2〃}的一个排列

(%,々，，电“)具有性质P,是指在{1,2,,2"-1}当中至少有一个i,使得氏-七+|卜”.

求证：对于任何"，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.

25.(2023•全国•高三专题练习)设数列A:%,%,q,(„>3)的各项均为正整数，且

a,<a2<与。”.若对任意及€{3,4,,〃},存在正整数。(1J<&)使得q=q+%,则称

数列A具有性质T.

(1)判断数列A：L2,4,7与数列4：1,2,3,6是否具有性质T；(只需写出结论)

(2)若数列A具有性质T,且4=1,』=2,4=200,求”的最小值；

(3)若集合S={123,,2019,2020)=5,凡一邑541s$S一且S,号=。(任意

i,/e{l,2,,6},.求证：存在S,,使得从S,中可以选取若干元素(可重复选取)

组成一个具有性质T的数列.

26.(2019•浙江•高三校联考竞赛)设X是有限集，r为正整数，尸是包含r个子集的子集

族:F={A，4，,4}.如果F中的部分子集构成的集族s满足：对s中任意两个不相等

的集合A、B,均不成立，则称S为反链.设S/为包含集合最多的反链，为

是任意反链.证明：存在S2到S/的单射/,满足WAe邑J(A)uA或Au/(A)成立.

27.(2022•全国•高三专题练习)对给定的正整数〃，令Q,,={〃=(4，出，…，4)l4VO,

1),1=1,2,3,对任意的x=(x»/，…，%，)，丫=(%，%，…，%)wC“,

定义X与y的距离d(x,y)=k-y|+|々-%|+…+|x“-y,|.设A是。”的含有至少两个元

素的子集，集合D=m(x,y)|x=y,X,yeA}中的最小值称为A的特征，记作力(A).

(I)当〃=3时，直接写出下述集合的特征：A={(0,0,0),(1,1,1)},8={(0,

0,0),(0,1,1),(1,0,I),(1,1,0)},C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),

(1,1,1)}.

(II)当〃=2020时，设Au。2.且力(A)=2,求A中元素个数的最大值；

92020

(III)当“=2020时，设Au。,。,。且力(A)=3,求证：A中的元素个数小于^—.

2021

28.(2022•全国•高三专题练习)班级里共有"(〃23)名学生，其中有A,8,C.已知A,

B,C中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友.若对

于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”.

(1)求班级里朋友圈个数的最大值尸(〃).

(2)求班级里朋友圈个数的最小值G(〃).

29.(2022•浙江杭州•高三学军中学校考竞赛)我们称X为“花式集合”，如果它满足如下

三个条件：

(a)因=2022：

(b)X的每个元素都是包含于［0』中的闭区间(元素可重复)；

(c)对于任意实数r«0』,X中包含r的元素个数不超过1011.

对于“花式集合”43和区间/eAJeB,用〃(A,B)表示使得/cJw0的对(/,J)的数量.

求〃(A3)的最大值.

30.(2020•江苏南通•统考模拟预测)整数”..2,集合P={x|啜k〃,xeN},A,B,C是

集合P的3个非空子集，记a„,为所有满足AB,A<JB<JC=P的有序集合对(AB,C)

的个数.

(1)求“2；

(2)求).

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题01集合真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2020•北京•高三校考强基计划）设A,B,C是集合｛1,2,,2020｝的子集，且满足

AcGBcC,这样的有序组（A,SC）的总数是（）

A.32020B.42020C.521*20D.62020

【答案】C

【分析】利用分步计数法可求有序组的总数.

【详解】考虑A,B,C把集合尸=｛1,2,,2020｝划分为5个集合：

=P-C,P2=C-（A+B）,P.=A-B,P4=B-A,P5=AB,

接下来将集合p中的元素逐一安排到集合6,2,A，E，4中即可得所求总数为5.。.

故选：C.

2.（2021•全国•高一专题练习）己知非空集合A，4是集合A的子集，若同时满足两个条

件：⑴若昨4,则⑵若则则称（AH）是集合A的“互斥

子集“，并规定（A，4）与（&，4）为不同的“互斥子集组”，则集合4=亿2,3,4｝的不同“互

斥子集组'’的个数是（）

A.11B.28C.32D.50

【答案】D

【解析】按A、4所含元素的个数分为“1+1型”、"1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分别

求出相应的“互斥子集组”数.

【详解】①若A、4中各含一个元素时，“互斥子弟组”数：C；x2=12个

②若A含一个、4含两个元素时，“互斥子集组”数:C：xC；x2=24个

③若A含一个、4含三个元素时，“互斥子集组''数:C：x2=8个

④若4、4中各含两个元素时，“互斥子集组”数：第=6个.

综上共有“互斥子集组”数50个.

故选:D

【点睛】此题关键在于恰当分类，属于中档题.

3.(2021•北京•高三强基计划)现有7把钥匙和7把锁.用这些钥匙随机开锁,则

这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是()

A.指B.C.；D.以上答案都不

对

【答案】B

【分析】利用对立事件可求已，2，03这三把钥匙不能打开对应的锁的概率.

【详解】设。打开对应的锁的事件为X；,其中i=l,2,,7,

则凶=6!(i=l,2,7),\x,fX.|=5!(/Je(l,2,..,7),i<j),

且区X.(Xk\=4l,i,j,ke{\,2,,l},i<j<k,

…”「广—戏-—“7!-3X6!+3X5!-4!67

因此所求概率为---------------=—.

故选：B.

4.(2021•全国•高一专题练习)设集合S,T,S,T中至少有2个元素，且S,7满足：

①对于任意的x，yeS,若"九则x+yeT；②对于任意的x,yeT,若则y-xsS.

若S有3个元素，则T可能有()

A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素

【答案】B

t分析】S有3个元素，不妨设5=他力,。},其中a<b<c,根据性质①②可得出7中有

且只有3个元素.

【详解】若5有3个元素，不妨设5={〃力©,其中a<b<c,

由①知，则必有xl=a+b,x2=a+c,x3=b+ceT

由②知，x2-x1=c-beS,xJ-x2=b-aeS,x3-xt=c-aeS,

显然有c-a>b—a>O,c—a>c—b>0,

(1)若C-Q=J则Q=0,此时丁中有元素》c,则c—b=b,c=2b符合，

此时丁中有3个元素；

(2)若c-a=b,则有。-b=b-a=a,即c=3a,h=2a,

此时T={3a,4a,5力中有3个元素，

综上T中有3个元素.

故选：B

【点睛】本题主要考查了集合中新定义，考查了推理分析问题的能力，属于中档题.

5.（2021•北京•高三强基计划）设正整数如〃均不大于2021,且则

n+1n

这样的数组（九〃）的个数为（）

A.2021B.1428

C.3449D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】原不等式等价于近〃-1<机<应〃+应，考虑诸区间D„=（0〃-1,+应）及

诸区间£„=（历?+0-1,正〃+0）后可求数组（九〃）的个数.

【详解】题中不等式即夜〃-1<〃?<缶+应，

记D,,=（夜〃-1,72/1+72）,注意到区间的长度为&+1,

而相邻区间的间距为应，满足应〈应+1<20,

因此任何两个相邻的区间都有交集E,,=（亚〃+夜-1,亚〃+亚）.

20212071

记一D.二D,1E“=E,则当帆eD\E时，"?对应唯一的〃；

〃=1〃=1

当/weE时，对应两个〃.

而0*1430-1>2021>四*1429-1，

因此有1428个W客在E中，剩下的2021-1428=593个"?落在。\E中，所求数组（利,”）

的个数为1428*2+593=3449.

故选：C.

二、填空题

6.（2022•新疆•高二竞赛）设集合中的最大元素与最小元素分别为

M,N,则M—N=.

【答案】7-2^

【详解】由知，-+&<7+4=7,

a1

当。=1/=4时，得最大元素河=7,

+b>--¥a>2\[3,当〃=Z?=G时，得最小兀素N=2G，

aa

因此，M—N=1—26

故答案为：7-25

7.(2022•浙江•高二竞赛)已知集合4=卜卜-司卜-/+〃)40,〃£2},若集合A中恰

有9个正整数，则片.

【答案】4

【详解】〃=1时，4=[0川，不合题意，舍去，

〃=2时，A={2},不合题意，舍去，

"W3时，n1-n>n,:.A=[n,n2-n],

..«2-n-(/j-l)=n2-2n+l=(n-l)2=9>

故答案为：4.

8.(2020•江苏•高三竞赛)设欧拉函数。(〃)表示在正整数1,2,3,…，”中

与〃互质的数的个数，例如1,3都与4互质,2,4与4不互质,所以姒4)=2,则『(2020)=

【答案】800

【详解】解析：法一：因为2020=22x5x101，

故能被2整除的数有1010个，能被5整除的数有404个，

能被101整除的数有20个，

既能被2整除又能被5整除的数有202个，

既能被2整除乂能被101整除的数有10个，

既能被5整除又能被101整除的数有4个，

既能被2整除又能被5和101整除的数有2个.

故与2020不互质的有1010+404+20-202-10—4+2=1220,则。(2020)=800.

故答案为：800.

法二：以2020)=夕C2卜夕(5)x9001)=800.

故答案为：80().

9.(2022•广西•高二统考竞赛)设A、B是集合{12…久}的两个子集，AB=0,且

时2〃+2e8.记M(A)为A的元素之和，则M(A)的最大值是.

【答案】39

【详解】由2〃+2420求得〃49,

根据抽屉原理，A至多有6个元素,

当A=｛9,8,7,6,5,4｝时，得到M（A）的最大值为39.

故答案为：39.

10.（2022•福建•高二统考竞赛）已知小A,A,,是集合A=｛1,2,3,』0｝的〃个非

空子集，如果对于任意的i,je｛l,2,3,，小，均有AA产A,则”的最大值为

【答案】511

【详解】将集合A=｛1,2,3,,10｝的211=1023个非空子集分成512组：

第1组为集合A：

第2组到第512组，每组2个子集，且这2个子集的并集为集合A（易知这种分组是存

在的，事实上只需将A的非空子集3与5在A中的补集分在同一组即可），

当〃，512时，若A，A,中含有集合A,则显然不符合要求；

若A，&,…，4中不含有集合A,则根据上述分组和抽屉原理，4，4,…，A,,必

有两个集合在同一组，它们的并集为集合A，也不符合要求，所以“W511,

另一方面，集合｛1,2,3,,9｝有511个非空子集，对于其中任意两个子集X和匕均有

XY^A,可见〃=511符合要求，

所以"的最大值为511,

故答案为：511.

11.（2022•浙江金华•高三浙江金华第一中学校考竞赛）定义：如果甲队赢了乙队，乙队

赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组如果20支球队参加单循环

比赛，则友好组个数的最大值为.

【答案】330

【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.

【详解】当小为偶数时，令机=2〃，则总共有场比赛.

不妨设有x个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和

内队，此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择

两队构成非友好组.

因此，若队A（i=L2,,2"）在比赛中赢了匕场，则£>,=《“，旦以&为组长的非友好

组有cj个(补充定义：或=c；=o),于是所有非友好组的个数为

»=1

下求去C最小值.

1=1

若在匕#2,，"2"中，有勺一匕42.

则令后=勺+L芍=%—1,其余号=X(14/W2〃且/xi,j),

c；；+c；；YfY田+Cj_Y,-c”k-k^\<-\,

2n

故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.

/=1

不妨设有y个〃,2〃-y个a+1,则有ya+(2〃—y)(a+l)=C；〃=〃(2〃—l),

整理有Q-小-1)-!.

2n2

由于14”2〃-1,故方e(O,l).由等式两边对应相等可知，a=n-1,y=n,

即调整后有"个〃一1,〃个〃.此时的值£Cj为〃(〃-1产，

/=1

则人以-"(〃-1)2=〃("一?(田),

故友好组个数的最大值为式”以伫I),即皿"L2)(,”+2)

324

下面为取到最大值的例子:设在A，4,,4”共2〃支球队中，当14”〃时,队4胜

AM，A+2,A+n；当"+K2〃时,队4胜小,4+2,，4“一1，下标均是在模2"的意义

下.

综上所述，当m为偶数时，友好组个数的最大值为"('"2乂”+2)故如果20支球队参

24

加单循环比赛，友好组个数的最大值为330.

故答案为；330

12.(2021•全国•高三竞赛)已知非空集合={1,2,,2019,2020),用/(X)表示集

合X中最大数和最小数的和，则所有这样的/(X)的和为.

【答案】ZOZbQM-l)

【详解】将M中的非空子集两两进行配对，对每个非空子集XuM,令

X'={2021—HxeX},

对M的任意两个子集Xj和X2,若X产XZ时，X产X2.

则所有非空集合X可以分成X，WX和X'=X两类.

当X，=X时，必有/（X）=2021,

当X'WX时，必有〃X）+〃X，）=2021x2=4042.

又用的非空子集共有外侬t个，故所有这样的〃x）的和为zcm-Q?020-。.

故答案为：2021.（22020-1）.

13.（2020•浙江•高三专题练习）记网为集合S的元素个数，b（S）为集合S的子集个数，

若集合A,B,C满足：①冷恸=2020；②。（A）+b（B）+b（C）=<r（AuBuC）,则

|AcBc。的最大值是.

【答案】2019

【解析】设|C|=x，|ABC|=y,根据元素个数得到子集个数，根据

22020+22020+2v=2v=2202l+2l->分析出x=2021,y=2022,即可求解.

【详解】设|C|=x，|ABC|=y,

则22020+22020+2X=2y=2202'+2X.

即得2y=2汕+2'，所以'〉》，y>2021

（1）若x<2021,2'-X=2202,-'-+1，所以左边是偶数，右边是奇数不合，

（2）若x>2021,2'-202'=2'-2021+1.所以左边是偶数，右边是奇数不合，

故x=2021,y=2022,

而|Ac3cC|4|AcB|,①若4=8,则

|Ac8cC|=|AcC|=M+|Cj—|AuCl=2020+2021—2022=2019,

②若A*8,则IA8区2019,

所以|AcBcq的最大值为2019,

A=3={1,2,3,,2020},C={2,3,4,,2020,2021,2022}时取最大值.

【点睛】本题考查交集与并集的混合运算，考查了集合的元素个数与集合子集间的关系,

考查逻辑思维能力与推理论证能力，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大.

14.（2022•全国•高三专题练习）已知〃eN*,集合,写］,集合M,,的

所有非空子集的最小元素之和为7.，则使得（>80的最小正整数n的值为.

【答案】13

【解析】求出的所有非空子集中的最小元素的和7,利用<>80,即可求出最小正

整数〃的值.

【详解】当〃=2时，M”的所有非空子集为：｛]1｝,｛：3｝，《1，3?，所以S=]1+15+3；=j7

135

当〃=3时，S=-x4+-+-x2=4.

248

〃一

当般24时，当最小值为2与」1时;每个元素都有或无两种情况，共有n-l个元素，共

有2”「1个非空子集，5=等.

〃一〃一

当最小值为黄2时3，不含与9M—」1，含2,3，共有〃-2个元素，

有2>2T个非空子集，与=与.

2

TcCc2"-12«-37.531(2"-1+7)("-3)n2-1

所以Z,=Ec+S?+5,+...+s„=------++-+2+-+-=-x-i------------------i+4=------.

22244222

2

因为7；>80,n>161,即"413.

所以使得北>80的最小正整数”的值为13.

故答案为：13.

【点睛】结论点睛：数列求和的常用方法：

(I)公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.

(2)错位相减法：若｛4｝是等差数列，包｝是等比数列，求a也+砧”…生鼠

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有

1-1111)11______

n(n+1)nn+1'〃(〃+2)n+2)'(2n-l)(2n+l)2(2〃-l2n+\)1

(4)分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.

(5)倒序相加法.

15.(2022•浙江•高二竞赛)给定正整数〃，k(n>k),记X=｛1,2,…㈤从XfX的一一

映射/称为是可人-划分的：若x可划分为上个非空子集A,4,…，4,且〃A)=A

(z=i,2,…，2)(即X=A4…&,且4,A,4两两的交集为空集，

/(a)=｛/(x)|xea｝).已知/是一个X的”划分的映射,q,a2,凡是1,

2,…，〃的一个排列，则的最小值为.

【答案】2k-2

【详解】令4=〃-k+l，若一Z+l,%=iT,

n-k+2<i<n,则q=i,

定义映射如下：

n-k+2<i<n>则/（《）=6，

若啜1n-k,则/（4）=4+1,f（n-k）=n-k+\,

a

集合A={〃],〃2―n-k+\},4={%+〃.〃}，2期k,

此时ZW+i-/（q）l=i+i++i+k-i=2k-2.

i=l

故答案为：2k-2.

16.（2022•北京•高一统考竞赛）对实数％,82,…，0,不超过

1I1

k+kX+

〃X1,X2”..,X|9）=ZZX\^22+占/9T|的最小值的最大整数为

年=0%=0Ar19=0

【答案】92378

【详解】我们把集合A={0,l}"划分为：A=4AA，

其中&=/=（《,&…湛,）GA%]+&++kn=k},k=O,l,...,n.

其中4的元素个数为=记X=«，…,X„）,

则/（X）=XW-X-II=£ZW-X-I|2£X（夕X-l）,

/feAk=0k=0限

考虑反加+..+幻（卜仁胆+…+幻网.

由于，।।，我们有《一纥+i=,-,,h,-,,>

—k+\—\J（4—ykJ（〃+l—左JykJ（左—1,

即应|+|纥…|z（4-1/j.（记纥“=（））,

所以/（x）*z闻2^（1纭|+B…-〃卜〃.

KK

Jt=0k=0k=0\J\~~

（_，_J

当〃=2机或〃=2加一1时，我们取玉=W=…=%=’可使上式取等号，（此时纥,=。）：

m

n-mfn\

f（X）=B°+Bi+—Bg—B2-B*--B“=£（B「Bq=,

M\n-m）

（n、

综上，/（不巧,…,x"）的最小值是［山2」.

故答案为：92378.

17.（2022•北京•高一统考竞赛）有个不超过2020的正整数A,满足对任意

【答案】7

【详解】（1）Legendre公式:

匕（〃!）="S（〃）其中s（“））表示〃的P-进制的数字和.

P-1

（2）回到原题，我们知道：

=(%-1)"+1>匕

=5-1)•(匕((加)!)一匕,(〃)!)

(kn-S(kn)〃一S(〃))

二(p-l),--------------—

kp-1P-1)

=(k-1)〃+5(H)-S(切)

<=>1>S(n)-S(kri)<=>0>S(〃)-S(kn)

oS(kn)>S(〃)，

问题转化：

(△)设。为素数，求所有的正整数k,满足条件：对任意的正整数，均有S(协)ZS(“).

其中5(*)表示(*)的。-进制的数字和.

(i)先考虑55)的性质:

2

不妨设”的P-进制表示为：n=a0+a}-p+a2-p++atp,,

其中a；e{0,l,,p-l),/e0,l,J且qwO,

因此S(")=q,+4+%++a,<n,

特别对VaNl,我们有炉・〃=%・p0+q•/“+4•pM++a,-pa+,,

因止匕=++a,=S(n).

(ii)回到(A)：

(I)如果/=p",其中aeZ±。，那么对任意的正整数小

均有S(kn)=S(p",〃)=S(«)>S(n),

从而Z=P“符合题意，V«>0.

(II)如果人不是P的哥，那么人不符合条件.

想证：存在正整数N,使得S(kN)<S(N).

由于A不是〃的暴，不妨设％=P“w，其中p瓯4>l,aN0,

我们知道：S(kN)=S1p[.q.N)=S(qN),

只需证：存在正整数N,使得S(〃V)<S(N),

由于那么(p,g)=l,因此存在正整数“>1,使得p"三l(modq),

理由如下：考虑以下的4+1个数pip,,/,,p5,

利用抽屉原理，存在iWic/Wq+l,使得p，=p'(modq),

因此,pH=l(modq),

从而，p2'Hy=l(mod^).令〃=2(j-i)>l,则2"三l(modq),即

nu,-1

下面构造正整数M令N=a0+p•'~其中正整数旬，f待定.

q

要求r适当大，

1,若q>P；

a°[1+1,若gvp]

不妨设P=[(}q+r,则14r<q,从而％=:+1<用w+r=p,

我们知道：qN=%<7+p-(p"'-l)=(%q-p)+p"'+i,

因此，S(qN)=S(aoq-p)+\<aoq-p+\<pq-p+\<pq,

另一方面：

N=a0+p.左二=4+p.2H(p"g>+p"<-2)++p"+[)

Q4'

=4+Zzl.(p+p“M++p“<I>M)(*),

观察14左工空Lp",

q2

nM-1

不妨设--的P-进制展开为：

q

—~-=b0+btp++bt-p',其中04/4〃一l,

q

代入(*),有

N=aQ+^bn+bip++b「p»(p+p"”++p"">")

=a0+b()p+blp-++b「p"'

u+,+2ufwu{,}+M

+瓦p"+i+++b,p++bQp'~+卜/，<1>+2++b,p-',

因此，S(N)=%+(〃++幼・d％+d1+八取f>P4,则S(N)>S(qN).

故答案为：7.

三、解答题

18.(2021•浙江•高二竞赛)设数集「={&,%,a„},它的平均数C.=妇&上士j

m

现将S={1,2,,〃}分成两个非空且不相交子集A,B,求|g-C/的最大值，并讨论取

到最大值时不同的有序数对(AB)的数目.

【答案】最大值数目为2〃-2.

【分析】不妨设64>以，记A={q,/，*}，T=al+a2++ap,可以得至“6―C/

=意("-三)，考虑T最大的情况是取最大的。个数，此时可以发现|C-的结

果正好是与P无关的定值,从而也就得到了\CA-C3的最大值，然后考察P的可能的值，

得至|JCA>CB时(A,8)的组数，并利用对称性得到G<CB时(A,B)具有与之相等的组数,

从而得到所有可能的(A,3)的组数.

【详解】不妨设CA>CB，

记4={4,%,,ap],T=at+a2++ap,

所以10,-Cj=C.-g=工一—2---------

Pn-p

[+]]7?(n4-l)_n(T〃+]、

\Pn-PJ2(〃-p)n-p\p2)

乂有TV(〃-p+l)+(〃-p+2)++n=

2

所以|C「C上q(史尹一字n

n-p\222

当且仅当7=PQ〃三"0时，取到等号,

所以心-CJ的最大值

此时A={〃-p+l,,n],

由A，8非空，可知。=1,2,...,n-1,有n-1种情况,

利用对称性得到时(A8)具有与之相等的组数，

由于|G-GJ的最大值;不可能有C=g的情况，

所以有序数对(A5)的数目为2〃-2.

19.(2022•福建•高二统考竞赛)某校数学兴趣小组有14位同学，他们组成了〃个不同

的课题组.每个课题组有6位同学，每位同学至少参加2个课题组，且任意两个课题组

至多有2位共同的同学，求〃的最大值.

【答案】7

【详解】将14位同学记为S，$2,…，%，课题组集合记为G1,G2.........G„,

则|G,|=6,i=l,2,....〃，且|G,q|W2,\<i<j<n,

设4(氏=1,2，…，14)属于G，G2,。中的〃个集合，

则〃》2,口/+4++k=6〃，

考虑三元数组包,@,4)的个数5,其中&wG,G,,

一方面，对于固定的G,,G,(1Wi<jW〃)，由题意至多有2个网属于三元数组即G,,Gj,

所以SW2C；=〃("-1),

另一方面，对于固定的内，由于与属于G-G2)G,中的4个集合，

所以三元数组七,G，Gj的个数为。，因此：

S比G式鸣6=#+，；++或-*+，2+F)

hiA=1z/乙

》芍++小)~一^4+4++{4)=；，七,(6")--；，(6")=g/-3〃，

所以亍”--3〃W—1),解得"47,

又14位同学按照下列方式组成的7个课题组符合要求:

G=｛再，％，\⑦，》?，叫｝,

G[=｛匹应双，％，“，%｝，

G={^2»^3^7^9^10^14)'

G4={^,,^3,54,58,510,,

=153,55,56,510,y12,513j,

G7={^4^6^7^11^13,

综上所述，〃的最大值为7.

20.（2022春•浙江•高一校联考竞赛）已知14区/W2022（iJeN"）,求最大的实数C,

使得对任意大于2022的正整数〃及实数4",…人，存在集合｛1,2，…，科的一个子集S满

足i邓c｛"+l,・・/+2022｝|vj对所有曰,2,…，〃-2022恒成立且应卜。力小

|mwS|m=l

【答案】温

【详解】我们来证明—念

首先，记2=2022,

一方面，取〃=2（女+1）,rm=\,\<m<k+\；

rm=-\,A:+2<m<2（^+1）,

此时£g=2仕+1）,

M=1

由区国｛f,f+l,…,什州41/,及f=l,4+2知，

在1至无+1中，S至少有i个元素，至多有，个元素，

在4+2至2小+1）中，S至少有i个元素，至多有j个元素,

于是区卜/",因此C4呈4忐I，

阳=1

另一方面,当。二扁时,

设A”={34三”(1n0<12+1)4£{1,2「・,〃}},/n=l,2,-^+1,

S，”=Z9,北=Z（F）,

n*+lk+\&+I

则Zkl=Z（S,"+TG，不妨设N%，

rn=lm=\m=lm=l

在｛1,2,•••4+1｝中任取i个互不相同的元％…心，再在剩下的元素中任取j-i的互不相

同的元W，%…，，T，

取5=同。三“„,(modk+l),ae{l,2,…,〃},\<m<i,

或者5>0,a=vm(rnodk+\),ae{[,2,---,n\,\<m<j-i,

这样的S总能满足i<\S{t,t+l,-,t+k}\<j,

且园名(4—Q)+鼠,(1)

|meS|m=lw=l

将所有⑴求和，其中一共有c3y:L种x/

每个s,„及7；在的求和中出现C>•c/；_,次，

/=1

每个S"在%,的求和中出现q</■：;-'次，

1=1

结合抽屉原理得，必存在一种情况使得：

「『I「j-i1+10i「j-i-l1+1

/3'Z（黑一北）+JJIX

|we5|L&+I*LR+I6=]•C&+1Tm=l

:一+1•_•£+1•_•-+1

=Q£（鼠-4）+和£s,“2和£s,“

、十1m=lK-r1W=1«,十1m=l

"2（1+1）并"+，"）=2%+1）。丁

综上所述，。皿=^^

4U46

21.（2021•全国•高三竞赛）设集合S是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集

合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面

分成若干区域，若一组直线对于点集S满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：

（1）这些直线不经过该点集S中的任何一个点；

（2）每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.

求左的最小值，使得对于任意的点集S,均存在由2条直线构成的“好直线组”.

【答案】2019.

【详解】先证明左22019：

在一个圆周上顺次交替标记2019个红点和2019个蓝点，在平面上另外任取一点染为蓝

色，这个圆周就被分成了4038段弧，则每一段的两个端点均染了不同的颜色；

若要满