北师大版选择性必修第一册第一章2 . 4 圆与圆的位置关系

2.4圆与圆的位置关系

核心知识目标核心素养目标

能根据圆与圆的方程判断圆通过探索圆与圆的位置关系，提高数学抽象、逻辑

与圆的位置关系.推理、数学运算等核心素养.

一.<知识探究•素养培育

《探究点一圆与圆的位置关系的判断

［问题1］根据平面几何知识,平面内两个不相等的圆有五种不同的位置关系.如

果把两圆的圆心之间的距离叫做圆心距(两圆同心时可以认为圆心距为0),记为

d,两圆的半径分别为rbn,你能据此得出两圆五种位置关系满足的充要条件吗？

如果从两圆的方程出发,你能得出两圆位置关系的何种结论？

提示:两圆外离?d>n+r2；两圆外切?d=n+r2；两圆相交？|r「r2|〈(Kn+n;两圆内

切?d=Ir.-n|;两圆内含?d<|r-r2|.从两圆的方程出发,如果两圆的方程组成的方

程组无解,两圆没有公共点,此时两圆外离或内含;如果方程组只有一组实数解，

两圆有唯一公共点，此时两圆内切或外切；如果方程组有两组不同的实数解，两

圆有两个公共点，此时两圆相交.

知识点1：两圆的位置关系

22=rr

在平面直角坐标系中，圆G：(%-%1)2+(厂%)2=号，圆c2：(x-x2)+(y-y2)2(i

点Ci,C2不重合)，则两个圆的圆心分别为C)(xi,yi),C2(x2,y2),半径分别为

2

n,r2,圆心距d=|C1C2|=J(x1-x2)+(九一%)2,贝I

两个圆外离?d2n+n;

两个圆外切?d三n+n;

两个圆相交？|r「r』〈dGi+n;

两个圆内切?(1=也工』;

两个圆内含?cKlrrnl.

[思考1]如果两圆相等,则两圆的位置关系有几种，各种位置关系的充要条件是

什么？如果两圆同心,则两圆的位置关系有几种,各种位置关系的充要条件是什

么？

提示:半径为r的相等两圆有外离、外切、相交、重合四种不同的位置关系，把

两圆的圆心距记为d,则两圆外离?d>2r,两圆外切?d=2r,两圆相交?0<d〈2r,两圆

重合?d=0.同心两圆只有重合和内含两种位置关系,重合的充要条件是其半径相

等，内含的充要条件是半径不等.

M1-U(2020・四川成都高新实验中学高二期中)已知圆3:x2+y2-4x-4y-2=0,

22

圆C2:x+y+2x+8y-8=0,则圆3与圆C?的位置关系是()

(A)内切(B)外切

(C)相交(D)相离

解析：圆3:x2+y2-4x-4y-2=0,

BP(x-2)2+(y-2)2=10,其圆心为C.(2,2),半径为r.=VTo.

2222

圆C2:x+y+2x+8y-8=0,BP(x+l)+(y+4)=25,其圆心为Cz(-1,-4),半径为0=5,则

2

ri+^5+710,r^.=5-710,|C,C21=J[2-(-1)]+[2-(-4)产=3遍,5-国〈3函<5

+VIU,所以两圆相交.故选C.

2

[例1-2](2020•泉州科技中学高二期中)若圆C1:(x-l)+(y-l)M与圆

C2：x2+y2-8xT0y+m+6=0夕卜切，贝！Jm=()

(A)22(B)18(C)26(D)-24

02/28

解析：由(x-1)2+(y-1)2=4得圆心为G(1,1),半径为n=2,

22

由x+y-8x-10y+m+6=0,得(x-4¥+(y-5尸=35-m,则圆心为C2(4,5),半径为

r2=435-血.因为两圆相外切，所以ICCUn+n,即J(4-1)?+(5-l)2=2+V35-m,

可得“35-m=3,解得m=26.故选C.

[例1-3](2020・福建龙岩高二期中)已知点A(1-m,0),B(l+m,0)(m>0),若圆

C:x2+y2-8x-8y+28=0上存在一点P,使得PA_LPB,则实数m的取值范围是()

(A)[3,+8)(B)[3,7]

(0(-2,7](D)[4,6]

解析：圆C:x2+y2-8x-8y+28=0,即(x-4)2+(y-4)M,其圆心为C(4,4),半径为r=2,

设AB的中点为M,则M(l,0),|AB|=2m,以AB为直径的圆的方程为(xTO+yZ^.

若圆C:x2+y2-8x-8y+28=0上存在一点P,使得PA_LPB,则圆C与圆M有公共点.

由IMC|=J(1-4)24-(0-4)2=5,得|m-2|W5且|m+2125,所以3WmW7.故选B.

令方法总结

⑴判断两圆外离、外切或相交时,不需考虑半径是否相等.

(2)半径不等的两圆相切时有外切和内切之分,半径相等的两圆只能是外切.

变式训练1-1:(2020•北京昌平一中高二期中)圆x2+y2-2y=0和圆

(x-2)2+(y-l)2=l的位置关系是()

(A)相交(B)内切

(C)外切(D)相离

解析：圆x2+y2-2y=0,即x2+(y-l)2=l,其圆心为(X(0,1),半径为n=l,圆

(x-2)2+(y-l)2=l的圆心为()2(2,1),半径为0=1,|0Q2|=2=n+r2,所以两圆外切.

故选C.

变式训练1-2:(2020・辽宁大连高二期中)圆x?+y2-2x=0与圆(x-l¥+(y+2)2=9的

位置关系为()

(A)相离(B)相交

(C)外切(D)内切

解析:x?+y2-2x=0?(xT)'+yJl,圆心为A(l,0),半径为r)=l;圆(x-l)2+(y+2)2=9的

22

圆心为B(1,-2),半径为n=3.|AB|=J(1-1)+(0+2)=2=r2-r„所以两圆内切.

故选D.

变式训练1-3:(2020•安徽蚌埠第三中学高二月考)已知圆&-力+6力=8上总

存在两个点到原点的距离为VI则实数a的取值范围为()

(A)(-1,1](B)[-3,3)

(C)[-3,-l]U[l,3](D)(-3,-1)U(1,3)

解析：由圆的方程知，圆心坐标为(a,a),半径为r=2V2,则圆心到原点的距离为

d=V21a|.

因为圆上总存在两个点到原点的距离为四，

所以圆(x-a)2+(y-a)M与圆x2+y2=2相交，

所以2V2-V2<V2jaI<2V2+V2,即四|a|<3^2,解得一3<a〈T或l<a<3.故选D.

/探究点二相交两圆的公共弦

22

[问题2]如果圆G,G的方程分别为XV+D.X+E^+FFO,x+y+D2x+E2y+F2=0,在两

圆相交于点A,B的情况下，只要把两圆的方程组成方程组，以方程组的解为坐标

04/28

的点即为两圆的交点A,B,你能从解方程组的过程中，体会到经过点A,B的直线

(即两圆的公共弦所在的直线)方程吗？

提示:解方程组的过程为首先把两个方程相减,消掉x2+y2,得到

(D-D2)x+(E-E2)y+(F-F2)=0,根据方程的同解原理,两圆的方程组成的方程组，

与方程组?

?22

(x+y+。逐4-E1y+=0,

((D1~D2)X+(E1-E2)7+(&-F2)=0

前方和如f/+y2+4%+Ey+F2=0,

-，2

-王一.i(D「D2)x+(E1£2)y+(0一P2)=0

同解.

由于两圆相交,故方程组

?-0有两组不同的实数解区，山)，⑶％)(即点

I”2)工十(匕1匕2)y十1r2)—u

A,B的坐标)，故(xi,yi),(x2,y2)均满足方程(D「D2)x+(E「E2)y+(F「F2)=0,由于两

圆相交,故D,^D25E1WE2至少有一个成立，即D-D2,E1-E2不全为零,方程

(D-D2)X+(E1-E2)y+(F1-F2)=0为直线的方程，点A(X1,yi),B(X2,y2)的坐标满足该方

程,说明直线(D-D2)X+(E-E2)y+(F,-F2)=0经过点A,B,两点确定唯一一条直线,所

以直线(D,-D2)X+(E-E2)y+(F,-F2)-0即为两圆的公共弦所在的直线方程.

知识点2:相交两圆的公共弦

22

已知相交两圆G,C2的方程分别为xV+Dix+E.y+FFO,x+y+D2x+E2y+F2=0,则其公

共弦所在直线的方程为(D,-D2)X+(E-E2)y+(F-F2)=0.

［思考2］如果两圆相切,把两圆方程相减,消掉x?+y2得到的关于x,y的二元一次

方程表示的直线是什么？

提示:根据两圆公共弦所在直线方程的分析可知，如果两圆相切，把两圆方程相

减,消掉x?+y2得到的关于X,y的二元一次方程表示的直线是“过两圆切点的两圆

的公切线”.

[例2-1](2020・重庆巴蜀中学高二期中)过两圆x2+yM(x-2)2+(y+l)2=l交

点的直线方程为.?

解析:设两圆x2+y2=4和(x-2)2+(y+l)2=l的交点分别为A,B,则线段AB是两个圆

的公共弦.由x2+y2=4和(x-2)2+(y+l)2=l两式相减,得4x-2y-8=0,即2x-y-4=0,

故线段AB所在直线的方程为2x-y-4=0.

答案：2x-y-4=0

[例2-2](2020•大石桥第三高级中学高二期中)已知圆C.:x2+y2+2x-4y-4=0.

(1)在下列两个条件中任选一个作答：

①已知不过原点的直线1与圆G相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线1

的方程；

②从圆外一点P(2,1)向圆引切线,求切线方程；

2

⑵若圆C2:x+yM与圆G相交于D,E两点,求线段DE的长.

解：(1)①圆C的方程变形为(x+1)2+(y-2)2=9,圆心C,的坐标为(-1,2),半径为3.

因为直线1在两坐标轴上的截距相等且不为零,故直线1的斜率为-L设直线1

的方程为y=-x+b,

又直线1与圆G相切，

故与尹=3,解得b=l±3V2.

V2

所以所求直线1的方程为y=-x+l±3V2.

②圆G的方程变形为(x+1)2+(y-2)2=9,圆心C.的坐标为(-1,2),半径为3.

06/28

当过点P的切线斜率不存在时，切线方程为x=2,此时圆心G到直线的距离为3,

所以直线x=2是圆G的切线；

当过点P的切线斜率存在时,设切线方程为y-l=k(x-2),即kx-y+l-2k=0,则

士工呼;3,解得k=±所以切线方程为：x-y+b2><90,即4x-3y-5=0.综上所述,

所求切线方程为4x-3y-5=0或x=2.

(2)法-联立方程组产+y；+2=4y；4=0,

所以|DEI=J（%「%2）2+（%-、2）2

法二两圆方程相减,得X-2y=0,即为两圆的公共弦DE所在的直线方程，圆C2的

圆心(0,0)到直线x-2y=0的距离d=0,即DE为圆x2+y2=4的直径,所以|DE|=4.

3方法总结

相交两圆的公共弦所在直线的方程即为两圆方程中消掉x?+y2后得到关于x,y的

二元一次方程,求相交两圆的公共弦长时,可以先求出公共弦所在的直线方程,

该直线被其中一个圆所截得的线段的长度即为公共弦长.

22

变式训练2-1:(2020•吉安第二中学高二期中)若圆G与圆C2:x+y+2x-4y-36=0

关于点P(2,-2)对称,则圆3与圆C2的公共弦长为()

(A)6(B)5V2(C)8(D)8V2

解析：由题意，圆C2的标准方程为(x+l)2+(y-2)2=41,圆心为C2(-1,2),半径厂

因为圆C与圆C2关于点P(2,-2)对称,则由圆的对称性可得点P⑵-2)即为两圆

公共弦的中点,则圆G与圆C2的公共弦长为

2卜一K2P『=2141T(2++(-2-2)2］=8.故选g

变式训练2-2:(2020•天津南开中学高二期中)已知圆(x-a)2+y2=a?平分圆

(x+l)2+(y-2)2=l的周长,则a的值是()

O5

-

52

解析:因为圆(x-a)2+y2=a2平分圆(x+lF+Q-2)2=1的周长，所以两圆的公共弦所

在的直线过圆(x+l)2+(y-2)2=l的圆心(-1,2),两圆方程相减,可得两圆的公共弦

所在直线的方程为(1+a)x-2y+2=0,将(-1,2)代入可得-(1+a)-4+2=0,解得a=~3.

故选B.

变式训练2-3:(2020•山东泰安高二期中)圆x2+y2-6x=0和圆x2+y2-4x+6y=0交于

A,B两点，则两圆公共弦的弦长|AB|为()

⑷誓⑻察

空5察10

510

解析：由题意,x2+y2-6x=0和x2+y2-4x+6y=0两式相减,可得x+3y=0,即两圆公共弦

所在直线的方程为x+3y=0.

又由圆x?+y2-6x=0可化为(x-3)2+y2=9,可得圆心坐标为⑶0),半径为r=3,则圆心

到直线的距离为€1=悬/冬，所以|AB|=2尸m=2回-岛)?2=噜即两圆公

V1Z+3ZV1O7V10z5

共弦的弦长IAB|为竽.故选A.

《探究点三两圆的公切线

［问题3］同时与两圆相切的直线称为两圆的公切线.你能从两圆的位置关系,判

断出两圆的公切线的条数吗?你能从两圆公切线的条数判断两圆的位置关系吗？

08/28

提示:两圆内含无公切线、两圆内切只有一条公切线、两圆相交有两条公切线、

两圆外切有三条公切线、两圆外离有四条公切线.反之也成立.

知识点3:两圆(不重合)的公切线条数

两圆内含?无公切线;两圆内切?有二条公切线;两圆相交?有两条公切线;两圆外

切?有三条公切线;两圆外离?有四条公切线.

［思考3］如果两圆均在切线的同一侧，该切线称为两圆的外公切线;如果两圆在

切线的两侧，该切线称为两圆的内公切线.两圆的外公切线与内公切线有什么几

何特征？

提示：以相离两圆为例，如图所示，当两圆均在切线的同一侧时，四边形CQP2Pl为

直角梯形(nWm);当两圆在切线的两侧时,△CRP与AC2P2P为相似的直角三角

形(nWn).其他各种情况以及时类似处理.

［例3-1］(2020•山西吕梁高二期中)在平面直角坐标系内，与点A(l,a)的距离

为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有4条,则实数a的取值范围

是.?

解析：以点A为圆心，1为半径的圆和以点B为圆心,2为半径的圆相离时,两圆恰

有4条公切线.

由|AB|>1+2=3,可得J(1-3)2+(a-l)2>3,

解得a>遥+1或水1-遥，

即实数a的取值范围是(-8,1—遥)u(l+V5,+oo).

答案：(-8,1-遥)U(1+而,+8)

［例3-2］已知圆0i：x2+y2+2x+6y+9=0,圆(kx'+y'-Gx+Zy+kO,求两圆的公切线方

程.

解：圆。的圆心为0,(-1,-3),半径r,=l,圆。2的圆心为02(3,-1),半径0=3,则

3

|0。|=](3+1/+(-1+3)=2V5>r1+r2=4,所以两圆外离,所以两圆有四条公

切线.

当公切线的斜率存在时,可设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=O.

f\-k+3+b_

IVi+fc2-1,

则

I\3k+l+b_

IVT+fc2一3,

当斜率不存在时,两圆均与y轴相切，即直线x=0是两圆的公切线.

所以两圆的公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0.

3方法总结

根据公切线的条数与两圆位置关系的等价性，可以把公切线条数问题转化为两

圆位置关系问题;求两圆的公切线方程一般是设出公切线方程(注意分直线的斜

率存在与不存在)，利用直线与两圆均相切,得出直线方程中关于系数的方程组,

解方程组得出直线方程中的系数即得公切线方辞

22

变式训练3-1:(2020•福建平和第一中学高二期中)已知圆O1：x+(y-l)=l与圆

22

02:(x-a)+(y-2)=9有且仅有3条公切线,则a的取值集合为()

(A)(-oo,-V15)U(5,+8)

(B)(-A415,-V3)U(V3,V15)

10/28

(0{-A415,715)

(D){-V3,V3}

解析：由题意得圆0,的圆心为(0,1),半径为r,=l,圆。2的圆心为02(a,2),半径

2222

为r2=3.因为圆01:x+(y-l)=l与圆O2：(x-a)+(y-2)=9有且仅有3条公切线,所

以两圆外切，

所以J(a-0)2+(2-1)2=1+3,解得a=5或a=-V15,所以a的取值集合为

{-V15,代}.故选C.

22

变式训练3-2:(2020•福建师大附中高二期中)已知圆C1：(x+2a)+y=4与圆

22

C2:x+(y-b)=l有且仅有1条公切线,若a£R,b£R,abWO,则白+去的最小值为

()

(A)6(B)7(C)8(D)9

解析：圆C,:(x+2a)2+y2=4的圆心为C,(-2a,0),半径为n=2,

22

圆C2:x+(y-b)=l的圆心为C2(0,b),半径为r2=l,

由于两圆有且仅有1条公切线,则圆C2内切于圆C„

所以|CC|=V4cz2+b2=r1-r9=1,可得4a2+b2=l,

所以函+*=5+与+*5+2件・\=9,

a2b2a2b2a2b2ya2b2

当且仅当b2=2a2,即a24,b?弓时,等号成立，

63

因此，2+劫勺最小值为9.故选D.

a2b2

变式训练3-3:(多选题)(2020•河北承德第一中学高二月考)圆G：(x-2cos

0)2+(y-2sin0)2=1与圆Cz：x2+y2=l,下列说法正确的是()

(A)对于任意的0,圆G与圆C2始终相切

(B)对于任意的0,圆G与圆C2始终有四条公切线

(C)当eq时，圆G被直线l:gx-y-l=O截得的弦长为百

(D)P,Q分别为圆G与圆C2上的动点,则|PQ|的最大值为4

22

解析：由已知得G(2cos6,2sin9),C2(0,0),|CiC21(2cos0)+(2sin0)=2

等于两圆半径之和,两圆始终相切,A正确,B错误；

9个时,3(6,1),点C,到直线1的距离为d=产遍+1=；,则弦长为

6222

J(V3)+(-I)

2J12-(1)?2=V3,C正确;

由于|CC|=2,所以|PQ|皿=ICC|+1+1=4,当P,Ci,C2,Q共线时取得最大值,D正确.

故选ACD.

•拓展探索素养培优

一圆的切点弦

［问题1］过圆C外一点P可以作圆的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,我们把

圆C的弦AB称为圆C关于点P的切点弦.你能结合平面几何中圆的切线的性质,

使用代数方法求出AB所在的直线方程吗？

提示：

如图,根据圆的切线的性质,CA±PA,CB1PB,说明点A,B均在以PC为直径的圆M

上，点A,B是圆C与圆M的交点,直线AB即为上述两圆的公共弦所在的直线,只

要求出圆M的方程,与圆C的方程联立,消掉x?+y2,得到的关于x,y的二元一次方

程即为直线AB的方程.

12/28

结论1:过圆C外一点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,线段AB即为以PC为

直径的圆与圆C的公共弦.

222

［思考1］如果圆O:x+y=r,P(xo,y。)为圆0外一点,那么圆0关于点P的切点弦

方程是什么？

+y2

提示：以P0为直径的圆的方程为(X-苧2+6告)2=(矢口2,即x2+y2_x°x»y=0,

222

与方程x2+y2=N联立,消掉x+y,得Xox+yoy=r,即圆0关于点P的切点弦方程为

2

xox+yoy=r.

［例IT］(2020•成都第十八中学校高二月考)过原点0作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0

的两条切线,设切点分别为A,B,则直线AB的方程为()

(A)2x+2y-5=0(B)4x+4y-5=0

(C)2x+2y+5=0(D)4x+4y+5=0

解析：圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的圆心为C(-2,-2),

以0C为直径的圆的方程为x(x+2)+y(y+2)=0,与已知圆的方程相减,得直线AB的

方程为2x+2y+5=0,

故选C.

$方法总结

以点(x“yj,(X2,yj为直径两端点的圆的方程为

(x-xi)(x-X2)+(y-y)(y-y2)=0(直径式方程).

［例1-2］(2020•浙江高一期末)已知点M为直线x+y-3=0上的动点,过点M引圆

x2+y2=l的两条切线,切点分别为A,B,则点P(0,T)到直线AB的距离的最大值

为.？

22

解析:设M(x。,y0),过点M引圆x+y=l的两条切线,切点分别为A,B,则切点在以

:竺”,则圆的方程是

0M为直径的圆上,圆心坐标为仔,葭)，半径r=-

(X旁¥+(y告产警1,

2?22

整理得x+y-xox-yoy=O.又点A,B在圆x+y=l上,两圆方程相减得xox+yoy=l,即

直线AB的方程是xox+yoy=l.因为Xo+yo=3,则yo=3-Xo,代入xox+yoy=l得

Xox+(3-xo)y=l?x0(x-y)+3yT=0,则直线AB恒过定点N0,，，所以点P(0,~1)到直

线AB的距离dW|PN|=JG)?2+G+1)?2=?,所以点P(0,-1)到直线AB的距离

的最大值为

答案考

W1-3](2020•山东聊城高二期中)圆x?+y2=4,点P为直线l:x+y-8=0上一动

点,过点P引圆0的两条切线,切点分别为A,B.

(1)若点P的坐标为⑵6),求两条切线所在的直线方程；

(2)求证:直线AB恒过定点Q,并求出该定点Q的坐标.

(1)解：由题意，当切线的斜率存在时,设切线方程为y-6=k(x-2),即

kx-y-2k+6=0.

6~2k.

由:=2,

Vl+k2

解得则切线方程为4x-3y+10=0;

当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2,满足题意.

综上所述,所求的切线的方程为4x-3y+10=0,x=2.

(2)证明：根据题意，点P为直线x+y-8=0上一动点,

设P(8-m,m),因为直线PA,PB是圆0的切线,

所以OALPA,0B±PB.

14/28

所以AB是圆0与以P0为直径的圆的公共弦.

由于以P0为直径的圆的方程为

0(4卷)]2+(y卷)2=(4卷)2+碎)2,

即x2-(8~m)x+y2-my=0,①

又圆。的方程为x?+y2=4,②

①-②,得直线AB的方程为(8-m)x+my-4=0,即m(y-x)+8x-4=0,则直线AB恒过定

点Qg3,

7方法总结

如果满足一定条件的动点M是圆C外的点,则圆C关于点M的切点弦是动直线,

据此建立直线系方程，可以确定直线系过定点或者其他的性质.

[应用1-1](2020•湖北南漳高二期中)已知圆C的方程为x?+y2=2,点P是直线

x-2y-5=0上的一个动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,则四边形

PACB的面积的最小值为;直线AB过定点.?

解析：由圆x2+y2=2得圆心为C(0,0),半径为r=V2,

由题意可得PA=PB,PA±CA,PB±CB,

在RtAPAC中，|PA12=|PC12-？=|PC|-2,

=V2XJ|PC|2-2=J2|PC|2-4,

又当PC垂直于直线x-2y-5=0时，|PC|=^==V5,

minv5

所以四边形PACB的面积的最小值为伤.

由题意可得P,A,C,B四点在以PC为直径的圆上,且AB是该圆与圆C的公共弦.

设P(2a+5,a),则圆心坐标为(等,―

半径为J(等)?2+(I??,

则该圆方程为(X-等)2+(y-^)2=(等)2+(1)2,

整理得x2+y--(2a+5)x-ay=O,

两圆方程相减可得直线AB的方程为(2a+5)x+ay-2=0,即a(2x+y)+5x-2=0,

故直线AB过定点(|,-，

答案:遍(|，T)

［应用1-2］(2020•福建宁德高二期中)从圆外一点P(-4,4)作圆0:x2+y2=l的两

条切线，切点分别为A,B.

⑴求以0P为直径的圆的方程；

(2)求线段AB的长度.

解：⑴因为所求圆的圆心为线段0P的中点(-2,2),半径为

1|0P|=|J(-4-0)2+(4-0)2=2近,所以以0P为直径的圆的方程为

(x+2)2+(y-2)2=8.

⑵因为PA,PB是圆0:x?+y2=l的两条切线，

所以OALPA,0B1PB,

所以A,B两点都在以0P为直径的圆上.

由卜+2)2+(y-2)2=8,得直线AB的方程为4x-4y+l=0,所以点0到直线AB

(x2+y2=l,

的距离为d卷,则线段AB的长度为|AB|=2.陪?2岑.

二阿波罗尼斯圆

［问题2］古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262〜公元前190年)的着作《圆

锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，着作中有这样一个命题:平面内与两定

16/28

点A,B距离的比为常数入(人>0且入W1)的动点M的轨迹是圆，后人将这个圆称

为阿波罗尼斯圆.你能利用学过的解析几何知识证明这个结论吗？

提示:在平面直角坐标系中，设两定点为A(a,0),B(0,0)示W0),动点M(x,y),由

黑二人，得=X,即(x-a)2+y2=入2x2+X2y；配方得(-^)2y2=(g)2,

„丁22x2+Z

\MB\yjx-\-y1-A1~A

该方程表示以(卷,0)为圆心、|丹|为半径的圆，即平面内与两定点A,B距离的

比为常数入(人>0且入W1)的动点M的轨迹是圆.

结论2:平面内与两定点A,B距离的比为常数入(入>0且入#1)的动点M的轨迹

是圆.

［思考2］在上述结论中，如果入=1,则点M的轨迹是什么？

提示:线段AB的垂直平分线.

［例2-1］(多选题)(2020•重庆万州沙河中学高二月考)古希腊数学家阿波罗尼

奥斯(约公元前262〜公元前190年)的着作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科

学成果,着作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且kWl)

的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0(0,0),A(3,0),圆

C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|P0］,则r的取值可以为

()

(A)l(B)2(C)3(D)5

解析:设P(x,y),由|PA|=21P01,得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理得(x+l)2+yM.

又点P是圆C:(x-2)2+y2=d(r>0)上有且仅有的一点,所以圆C与圆(x+1)2+y2=4相

切.

圆(x+l)2+y2=4的圆心坐标为(T,0),半径为2,

圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,

当两圆外切时,r+2=3,得r=l;

当两圆内切时，|r-2|=3,得r=5.故选AD.

$方法总结

由于0A为定点，|PA|=21P01,可知点P的轨迹为圆，问题即转化为两圆仅有一个

公共点问题,解题时要善于化归「

［例2-2］(多选题)(2020•湖北南漳高二期中)在平面上有相异两点A,B,设点P

在同一平面上,且满足IPA|=入|PB|(其中人＞0,且入W1),则点P的轨迹是一个圆,

这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,下列说法正确的是

()

(A)当人=2时,此阿波罗尼斯圆的半径为r=£

(B)当入三时，以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切

(C)当0〈人＜1时，点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧

⑻当人＞1时，点A在阿波罗尼斯圆外，点B在圆内

解析:设P(x,y),所以|PA|=J(%+a)?+y2,|pB|=J(x-a)2+y2,因为PA|=、

|PB|,

所以J(%+a)2+y2=A(x~a)2+y2,

(A2+l)a4；12a2

整理得［x-

A2-l(42-1)2

A.当人=2时,此阿波罗尼斯圆的半径厂|瞪|寺,故正确;

3

B.当入弓时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a；阿波罗尼斯圆的方程为

(x+/)2+y2」字,两圆圆心距为，,两圆半径之和为为,两圆半径之差的绝对值为

3933

京，所以两圆不相切，故错误；

18/28

C.当0〈人〈1时，阿波罗尼斯圆的圆心的横坐标为空乎=(1+六)a〈a,所以点B

Az-lAz-1

在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误；

D.当人>1时，点A与阿波罗尼斯圆圆心的距离为|富蛆+a|喏>含=一所以点

Az-1A2-lAz-l

A在阿波罗尼斯圆外,点B与圆心的距离为|察蛆-a|4"瞪=r,所以点B在圆

Az-1A2-lAz-1

内，故正确.故选AD.

3方法总结

阿波罗尼斯圆中两定点在坐标系中的位置不同，其方程也不相同解该类题目时

要根据给出的定点坐标求出圆的方程,再分析其他问题.

[应用2-1](2020・安徽六安一中高二月考)已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=9,0为坐标

原点，点A(3,0),若圆C上存在点M使得|MA|=2|M01,则实数a的取值范围为

()

(A)[-4,-1]U[0,3](B)[-5,-2]U[-1,2]

(C)[-3,0]U[l,4](D)[0,3]

解析：由圆C:(x-a)2+(y-a)2=9,得圆心为C(a,a),半径为3.

设M(x,y),因为|MA|=2|M0|,

所以(x-3)2+y2=4x?+4y2,得x2+y2+2x-3=0,

化简得(x+l)2+y2=4,

所以点M的轨迹为以D(-l,0)为圆心，以2为半径的圆，

则圆C与圆D有公共点,满足1W|CD|<5,

即lW(a+l)2+a2<25,解得一4WaWT或0WaW3.故选A.

[应用2-2](2020•山东泰安高二期中)已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),

直线1:y=2x-4.圆C的半径为1,圆心C在直线1上.

(1)若直线3x+4y-12=0与圆C相切,求圆C的标准方程；

(2)已知动点M(x,y),满足|MA|=2|MO|,说明点M的轨迹是什么？若点M同时在圆

C上,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解：(1)因为圆心C在直线1上，

所以圆心C的坐标可设为(a,2a-4).

由题意可得3a+：(ja：)-i2.11128_

V32+425

即111a-28|=5,所以11a-28=±5,

解得a=3或a言，

11

所以圆心C的坐标为⑶2)或(||,帝，

所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=1或(x-||)2+(yg)2=i.

22

⑵由|MA|=21M01,得卜+(厂3)2=2g+y2,化简得x+y+2y-3=0,即

x2+(y+l)2=4,

所以动点M的轨迹是以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆.

若点M同时在圆C上,则圆C与圆D有公共点，

贝!J2—lW|CD|W2+1,即iwja2+(2Q-3)2^3.

整理得产,一产：+*0,解得0.忘昔，

所以圆心C的横坐标a的取值范围为［0,引.

三曲线系方程及其应用

［问题3T］如果曲线(这里指直线、圆)G：f(x,y)=0,C2：g(x,y)=0,则方程

f(x,y)+入g(x,y)=0(人为任意实数)也表示曲线(直线或圆)，入取不同的值,方

程f(x,y)+入g(x,y)=0表示不同的曲线,我们把这样的方程表示的所有曲线称为

20/28

“曲线系”.特别当人=0时,就是曲线3,由于不能取得人的一个特殊值,把方程

化为g(x,y)=0,方程f(x,y)+入g(x,y)=0表示的曲线中不含曲线C2.根据上述曲

线系的论述，你能得出曲线系过定点的条件吗？

提示：曲线系过定点,必然使得对任意入，方程f(x,y)+入g(x,y)=0都成立，即

=0,如果该方程组有解，以该方程组的解为坐标的点即为曲线系

f(x,y)+入g(x,y)=0所过的定点，如果方程组')、=?无解,则曲线系不过

任何定点.

［问题3-2］如果已知曲线Ci：f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0存在交点,那么方程

f(x,y)+入g(x,y)=0(人为任意实数)表示的曲线系具有怎样的性质？

提示:设P(x(),y0)为两曲线的交点,则f(xo,y())=0,g(x0,y0)=0,此时对任意实数人，

一定有f(xo,y0)+入g(xo,y0)=0,即曲线系f(x,y)+入g(x,y)=0一定过定点P;反之,

如果曲线系f(x,y)+入g(x,y)=0过定点P(x0,y0),根据问题3-1可知，一定有

f(x0,y0)=0,g(x0,y0)=0,即曲线G：f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0有交点P(x0,y0).

结论3:如果已知曲线G：f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0存在交点P,那么方程f(x,y)+

入g(x,y)=0(人为任意实数)表示过点P的曲线系方程，但不含曲线C2.

［思考3］如果C.,C2有交点,就G,C2为直线与圆的情况，讨论方程f(x,y)+X

g(x,y)=0表示的曲线的形状.

提示:若3,C2为直线,方程f(x,y)+入g(x,y)=0表示过两直线交点的直线系(不

含C2);

若C为直线,C2为圆,方程f(x,y)+入g(x,y)=0表示直线Cl,或者过3,C2交点的圆

系(不含C2);

若C为圆,C2为直线,方程f(x,y)+入g(x,y)=0表示过Cl,C2交点的圆系(不含C?);

若Cl,C2均为圆,方程f(x,y)+入g(x,y)=0表示两圆的公共弦(入=-1、两圆相交)、

或者两圆的一条公切线(入=-1、两圆相切)、或者表示过两圆公共点的圆系(不

含C2).

[例3-1](多选题)(2020•河北巨鹿中学高二月考)已知圆0:x2+y2=9和圆

M:x2+y'+6x-4y+9=0交于P,Q两点，下列说法正确的是()

(A)两圆有两条公切线

(B)直线PQ的方程为3x-2y+9=0

©线段PQ的长为甯

(D)所有过点P,Q的圆的方程可以记为x?+y2-9+入(x2+y2+6x-4y+9)=0(XGR,入W

-1)

解:A.因为圆0:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0相交于P,Q两点,所以两圆有两

条公切线,故正确；

B.圆0:x2+yM和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0的方程相减得3x-2y+9=0,所以直线PQ的

方程为3x-2y+9=0,故正确；

C.圆心0到直线PQ的距离为d-摩,所以线段PQ的长为

V9+413

|PQ|=2尸溟=2或近百亘，故错误；

V1313

x2+y2=9,

D.因为入eR,XWT,所以可知,该圆方程恒过P,Q两

X2+y2+6x-4y+9

点,

方程可化为x”+需普普0,

-9A--9=-16-"-+326-、>C0

1+A(1+A)

22/28

所以方程x?+y2-9+人(x2+y2+6x-4y+9)=0(A,eR,XWT)表示圆，但不包括圆M,故

不正确.故选AB.

重方法总结

曲线系f(x,y)+入g(x,y)=0不含曲线g(x,y)=0,此外还要根据具体情况分析曲

线系的形状.

[例3-2](2020・南昌外国语学校高二期中)已知圆G过点(遥,1),(1,-1),且圆

心在直线y=l上，圆C2：x?+y?-4x+2y=0.

(1)求圆G的标准方程；

⑵求圆G与圆C2的公共弦长；

⑶求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=l上的圆的方程.

解：(1)设贝！|(巾-遥)+(l—l)2=(m—l)2+(l+l)2,解得m=0,所以

(x-0)2+(y-l)2=(0-V5)+(『1)2,即圆3的标准方程为x2+(yT)2=5.

⑵圆G的一般方程为x2+y2-2y-4=0,将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦

所在的直线方程，即(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-l=0.又圆心G到直线

x-y-l=0的距离为*-=&,所以所求公共弦长为2用=2倔

V2

(3)设所求圆的方程为x?+y2-2y-4+入(x-y-1)=0,整理得x2+y2+入x-(2+入)厂4-入

=0,该圆圆心坐标为(-**).

因为该圆心在直线2x+4y=l,故2X(勺+4义—=1,解得人=-3,故所求圆的方程

为x2+y2-3x+y-l=0.

3方法总结

使用曲线系方程求过两曲线交点的曲线方程很方便,根据已知设出曲线系方程：

再根据已知条件得出曲线系方程中的人即可.

[应用3-1](2020•四川南充阖中中学高二月考)已知点A(-4,0),B⑵0),动点P

满足|PA|=2|PB|.

⑴求点P的轨迹C的方程；

⑵求经过点M(2,-2)以及曲线C与圆x2+y2=4交点的圆的方程.

解：(1)设P(x,y),因为A(-4,0),B(2,0),[PA|=2|PB|,所以

J(x+4)2+y2=2j(x-2)2+y2,整理得x2+y2-8x=0,所以曲线C的方程为

x2+y2-8x=0.

(2)设所求方程为x?+y2—4+入(x?+y2-8x)=0,即(1+入)x?+(l+入)y?—8人x—4=0,将

虹2,-2)代入上式得(1+入)-22+(l+X)・(-2户8入-2-4=0,解得入三，所以所求

圆的方程为x2+y2-1x-1=0.

[应用3-2](2020•福建厦门一中高二开学考试)已知圆G:x?+y2-4x+2y=0与圆

22

C2:x+y-2y-4=0.

(1)求两圆公共弦所在直线的方程；

⑵求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=l上的圆的方程.

解：(1)过圆G与圆C2交点的直线，即为两圆公共弦所在的直线.所以过A,B两点

的直线方程为x-y-l=0.

⑵设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+X(x2+y2-2y-4)=0,

则圆心坐标为(三,盘).

1+A1+A

因为圆心在直线2x+4y=l上,所以将圆心坐标代入直线方程,得

2C,-2-+,4,,-A-17=1,,

1+A1+A

解得人=*

所以所求圆的方程为x2+y2-3x+y-l=0.

24/28

@备川例题

[例1](多选题)(2020•辽宁高二期中)古希腊着名数学家阿波罗尼奥斯与欧几

里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值入(入

<0,入W1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗

尼斯圆，简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足黑毛

PB2

设点P的轨迹为C,下列结论正确的是()

(A)C的方程为(x+4)+y2=9

(B)在x轴上存在异于A.B的两定点D,E,使得黑三

(C)当A,B,P三点不共线时,射线P0是NAPB的平分线

(D)在C上存在点M,使得|M01=2|MA|

解析:在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足黑

rD2

设p(X,y),则

J(x-4)2+y2

化简可得(x+4)2+y2=16,故A错误；

假设在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,

可设D(m,0),E(n,0),

则J(%-九)24-y2=2J(%-zn)24-y2,

化简可得3x2+3y2-(8m-2n)x+4m2-n2=0,

由点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,

可得8m-2n=-24,4m--n2=0,

解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4(舍去),

即存在D(-6,0),E(-12,0),使得HW，故B正确；

PE2

当A,B,P三点不共线时，由器寺警，

可得射线P0是NAPB的平分线,故C正确；

若在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|,

可设M(x,y),即有+y2=zj(%+2)2+y2,

化简可得x2+y2+yx+y=0,与x2+y2+8x=0联立,该方程组无解,故不存在点M,使得

|MO|二2|MA|,故D错误.故选BC.

[例2](多选题)(2020•泉州科技中学高二期中)下列命题正确的有()

(A)若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆，则m的取值范围是(…,一企)u(V2,+°°)

(B)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆

的标准方程是(x-2)2+(yT)2=l

(C)已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上,贝壮的最大值为1

X

222

(D)已知圆Ci：x+