专题11 圆的最值问题（隐圆模型）（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题11圆的最值问题（隐圆模型）【知识点梳理】隐圆模型汇总固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径例．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(

)A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值．【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，所以BD＝DC因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，因为∠FDC＋∠BDF＝60°，所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4，所以AP＝2当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2故选D．【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．【变式训练1】．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为．【答案】/【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，在中，，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．【变式训练2】．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴点E在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的长度最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．【答案】/【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．【变式训练4】．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为．【答案】【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，，，，，，，，，，，四边形为等腰梯形，，，，，，点在以点为圆心，2为半径的圆上，，，，，，，，，，，，当三点共线时，有最小值，面积的最小值为．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键．课后训练1．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．【答案】3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴．由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上长．∵，，BC＝2，∴C到BA中点的距离即，又∵，∴CE的最大值即．故答案为3．【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，∴，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为．∵AB＝2，点E为AB中点，∴，∵矩形ABCD，∴，∵，，，∴，∴．∵将沿EF折叠，∴，∴，∵，∴．故选：A．3．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，∵∠ACB=90°，即在中，，∵E是斜边AB上的中点，∴，∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴，∴在中，，即；当C、M、E三点共线时有或者；即，∴CM最小值为5，故选：C．4．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值．【答案】【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值．【详解】解：∵B、G关于对称，∴，且∵E为中点，则为的中位线，∴，∴，∵，即，∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧）设圆心为，连接，，，，，过点作，则，∵，∴，则为等腰直角三角形，∴，又∵为中点，∴，，又∵四边形是矩形，∴，，∴四边形是正方形，∴，，∴，由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键．5．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是【答案】/【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，∵AB=2，AC=，∠ABC=60°，∴BH=AB=1，∴AH=，CH=，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，∵∠ADB=30°，∴点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，最小值为4-（+1）=3-．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．6．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【答案】【分析】连接OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=2，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．【详解】解：连接OA、OB，如图1，∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠A