面板数据相关资料

面板数据I一一变截距模型

1.1PooledCrossSection数据

Pooledcrosssection数据是指不同时点(可能)不同截面的数据。而面板数据是指不同时

点相同截面的数据。在面板数据中，同一截面不同时点的观测值不会是独立的。因为，这些

数值可能受到共同因素的影响。Paneldata也叫做longitudinaldata。

混合数据增加了样本容量，因此提高了估计的精度和检验功效。同时，混合数据也被用

于考察变量分布随着时间的变化，或者变量之间的关系随着时间的变化规律。考察的方法是

加入时间虚拟变量。

例：NationalOpinionResearchCenter*sGeneralSocialSurvey搜集了1972~1984年妇女就业、

家庭等相关数据。利用数据分析家庭小孩个数的变化规律。控制变量包括：教育程度、年龄、

种族、地区、生活环境(农村、城镇、小城市等)。(数据文件：fertill.raw)

kids=<feo+至ieduc+2age+品3age2+<#b4race+ibsfarm+淤6town

+挺7D74+的8D76+第9D78+，为ioD80+911D82)的或D84+Ut

例：接受教育程度对工资的影响以及工资的性别差异(File：cps.wfl；datafile:cps78_85.raw)

模型设定：

log(wage)=(R>o+9i)/85+淤zeduc+品3y85/educ+至4exper+懿5union

+<«>6female+艇7y85female+ut

模型估计：

结论分析：

例：废物焚化厂对周边房屋价格的影响(File：kielmc.wfl；datafile:kielmc.raw)

KielandMcGain(1995)研究了废物焚化厂对周边(NorthAndover,Massachusetts)房屋价格的

影响。1978年有消息流传要在NorthAndover建立废物焚化厂，1981年正式动工(1985年正式

运营)。利用1978年、1981年的房屋价格数据检验：废物焚化厂周边的房屋价格低于远处的

房屋价格。房屋价格为实际价格(排除物价指数的影响)。

要分析废物焚化厂对周边房屋价格的影响，不能简单回归如下模型：

rprice=(^)o+<^inearinc+u,

比如利用1981年的数据进行回归，那么胡1体现了81年近处价格与远处价格的差异，但都1没

有体现焚化厂对近处房屋价格的影响。因此，要分析焚化厂对近处房屋价格的影响，应该观

察近处与远处的房屋价格在1981的差异年是否比1978年的差异有了明显的变化。方程设定如

下：

rprice=<%o+加+^inearinc+<«>3(y8/Inearinc)+u,

其中,为0-1虚拟变量。

y81=0,nearinc=0,rprice=(#feo+因此，蛇o体现了1978年远处的房屋平均价格。

y81=0,nearinc=\,rprice=<^o+<*>2+因此，(加o+品2)体现了1978年近处的房屋价格，

品2体现了1978年近处房屋价格与远处房屋价格的差异。

y81-\,nearinc=0,rprice=<«>o+<«；i+«o(<«>o+*体现了1981年远处的房屋价格，的i

体现了远处房屋价格在81年与78年的差异。

y81=l,nearinc=1,rprice=<#t>o+<#ti+<#b2+^3+(外o+懿1+的2+朋3)体现了1981年近

处的房屋价格，(死2+皿3)体现了1981年近处与远处的房屋价格差异。

这样可以清晰地看出，品3体现了近处与远处的房屋价格在1981的差异年是否比1978

年的差异。问题就归结于检验晶3的显著性。

练习题：

1.回归方程，进行检验并解释其含义。

Log(rprice)=晟。+9:ij8/+<$b2nearinc+<sk3(y^81Inearinc)+u

2.加入其它控制变量(房龄、距市中心距离、卧室数目等)重新回归方程进行检验。

1.2面板数据定义

时间序列数据或截面数据都是一维数据。例如时间序列数据是变量按时间得到的数据；

截面数据是变量在截面空间上的数据。面板数据是同时在时间和截面上取得的二维数据。所

以,面板数据(paneldata)也称时间序列截面数据(timeseriesandcrosssectiondata)或混

合数据(pooldata)。面板数据示意图见图1。面板数据从横截面(crosssection)上看，是由

若干个体(entity,unit,individual)在某一时期构成的截面观测值，从纵剖面.(longitudinal

section)上看每个个体都是一个时间序列。

面板数据用双下标变量表示。例如

yit,/=1,2,N;t=l,2,T

N表示面板数据中含有N个个体。7表示时间序列的最大长度。若固定t不变，/,.,(/=1,2，…,

M是横截面上的N个随机变量；若固定，不变，口,化=1,2，…,乃是纵剖面上的f时间序列

(个体)。

例如1990-2000年30个省份的农业总产值数据。固定在某一年份上，它是由30个农业

总产总值数字组成的截面数据；固定在某一省份上，它是由11年农业总产值数据组成的一

个时间序列。面板数据由30个个体组成。共有330个观测值。

对于面板数据yit,i=1,2，…,N;t=l,2,T,如果从横截面上看，每个变量都有观测值，

从纵剖面上看，每一期都有观测值，或者每个个体的观测值个数是相同的，则称此面板数据

为平衡面板数据(balancedpaneldata)。若在面板数据中缺失若干个观测值，则称此面板数

据为非平衡面板数据(unbalancedpaneldata)。

例1：1996-2002年中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费(不变价格)

和人均收入数据见表1和表2。数据是7年的，每一年都有15个数据，共105组观测值.

人均消费和收入两个面板数据都是平衡面板数据，各有15个个体。人均消费和收入的

面板数据从纵剖面观察分别见图2和图3。从横截面观察分别见图4和图5。横截面数据散

点图的表现与观测值顺序有关。图4和图5中人均消费和收入观测值顺序是按地区名的汉语

拼音字母顺序排序的。

表11999-2002年中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均消费数据（不变价格）

地区人均消费1996199719981999200020012002

CP-AH（安徽）3282.4663646.1503777.4103989.5814203.5554495.1744784.364

CP-BJ（北京）5133.9786203.0486807.4517453.7578206.2718654.43310473.12

CP-FJ（福建）4011.7754853.4415197.0415314.5215522.7626094.3366665.005

CP-HB（河北）3197.3393868.3193896.7784104.2814361.5554457.4635120.485

CP-HU（黑龙江）2904.6873077.9893289.9903596.8393890.5804159.0874493.535

CP-JL（吉林）2833.3213286.4323477.5603736.4084077.9614281.5604998.874

CP-JS（江苏）3712.2604457.7884918.9445076.9105317.8625488.8296091.331

CP-JX（江西）2714.1243136.8733234.4653531.7753612.7223914.0804544.775

CP-LN（辽宁）3237.2753608.0603918.1674046.5824360.4204654.4205402.063

CP-NMG（内蒙古）2572.3422901.7223127.6333475.9423877.3454170.5964850.180

CP-SD（山东）3440.6843930.5744168.9744546.8785011.9765159.5385635.770

CP-SH（上海）6193.3336634.1836866.4108125.8038651.8939336.10010411.94

CP-SX（山西）2813.3363131.6293314.0973507.0083793.9084131.2734787.561

CP-TJ（天津）4293.2205047.6725498.5035916.6136145.6226904.3687220.843

CP-ZJ（浙江）5342.2346002.0826236.6406600.7496950.7137968.3278792.210

资料来源：《中国统计年鉴》1997-2003.,

表21999-2002年中国东北、华北、华东15个省级地区的居民家庭人均收入数据（不变价格）

地区人均收入1996199719981999200020012002

IP-AH（安徽）4106.2514540.2474770.4705178.5285256.7535640.5976093.333

IP-BJ（北京）6569.9017419.9058273.4189127.9929999.70011229.6612692.38

IP-FJ（福建）4884.7316040.9446505.1456922.1097279.3938422.5739235.538

IP-HB（河北）4148.2824790.9865167.3175468.9405678.1955955.0456747.152

IP-HU（黑龙江）3518.49739183144251.4944747.0454997.8435382.8086143.565

IP-JL（吉林）3549.9354041.0614240.5654571.4394878.2965271.9256291.618

IP-JS（江苏）4744.5475668.8306054.1756624.3166793.4377316.5678243.589

IP-JX（江西）3487.2693991.4904209.3274787.6065088.3155533.6886329.311

IP-LN（辽宁）3899.1944382.2504649.7894968.1645363.1535797.0106597.088

IP-NMG（内蒙古）3189.4143774.8044383.7064780.0905063.2285502.8736038.922

IP-SD（山东）4461.9345049.4075412.5555849.9096477.0166975.5217668.036

IP-SH（上海）7489.4518209.0378773.10010770.0911432.2012883.4613183.88

IP-SX（山西）3431.5943869.9524156.9274360.0504546.7855401.8546335.732

IP-TJ（天津）5474.9636409.6907146.2717734.9148173.1938852.4709375.060

IP-ZJ（浙江）6446.5157158.2887860.3418530.3149187.28710485.6411822.00

资料来源：《中国统计年鉴》1997-2003o

。CPAH—CPJLCPSD。IPAH—IPJL一一IPSD

CPBJ—CPJSCPSHIPBJ-IPJS—9—IPSH

—CPFJ—CPJX—一CPSX・IPFJ—o—IPJX-O--IPSX

CPHB—CPLN―一CPTJ—IPHB—IPLN——IPTJ

-M—CPHLJCPNMG—CPZJ—H-IPHLJ—IPNMG——IPZJ

图215个省级地区的人均消费序列（纵剖面）图315个省级地区的人均收入序列

——CP1996—CP1999—CP2002——IP1996*-IP1999IP2002

CP1997——CP2000—IP1997—IP2000

——CP1998---CP2001IP1998--——IP2001

图415个地区的人均消费散点图（7个时期）图515个地区的人均收入散点图（7个时期）

（每条连线表示同一年度15个地区的消费值）（每条连线表示同一年度15个地区的收入值）

用CP表示消费，IP表示收入。AH,BJ,FJ,HB,HU,JL,JS,JX,LN,NMG,SD,SH,SX,TJ,ZJ分别

表示安徽省、北京市、福建省、河北省、黑龙江省、吉林省、江苏省、江西省、辽宁省、内

蒙古自治区、山东省、上海市、山西省、天津市、浙江省。

15个地区7年人均消费对收入的面板数据散点图见图6和图7o图6中每一种符号代表

一个省级地区的7个观测点组成的时间序列，相当于观察15个截面上两个变量的时间序列

数据的散点图。图7中每一种符号代表一个年度的截面散点图（共7个时期），相当于观察7

个时期上两个变量的截面数据的散点图。

oCPAH

•CP0J

®CPFJ

*CPHB

xCPHLJ

+CPJL

■CPJS

□CPJX

▲CPLN

色CPNMG

,CPSD

VCPSH

oCPSX

•CPTJ

©CPZJ

图6人均消费对收入的面板数据（15个时间序列叠加）

图7人均消费对收入的面板数据（7个时期叠加）

为了观察得更清楚一些，图8给出北京和内蒙古1996-2002年消费对收入散点图。从图

中可以看出，无论是从收入还是从消费看内蒙古的水平都低于北京市。内蒙古2002年的收

入与消费规模还不如北京市1996年的大。图9给出该15个省级地区1996和2002年的消费

对收入散点图。可见6年之后15个地区的消费和收入都有了相应的提高。

11000

10000

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

0400080001200016000

图91996和2002年15个地区的消费对收入散点图

EViews文件说明（dataeviews->panel_cons.wfl）

income_*：名义收入：consume/：名义消费：ip_*：实际收入；cp_*：实际消费；p_*：价格指数。

操作方法：

建立工作文件（File）

建立面板（Object）

">定义截面标示符（Define）

好定义变量名称（Sheet）

3拷贝数据（或通过Import导入数据）

练习题：

1.利用Consume.xls建立Eviews工作文件

2.观察不同截面的cp（ip）的时间趋势图；

（如果是建立pool,需要将Stacked文件按照时间将原文件拆分，即新文件的结构是截面数据）

3.观察不同截面的cp和ip的散点图：

（需要建立stack文件，将不同时期的横轴变量罗列成一个变量：将不同时期的纵轴变量拆分成T个变量,

然后用scatter观察：即第一个变量对所有其他变量的散点图）

4.观察不同时期上cp（ip）的截面图；

（如果是建立pool,需要将Stacked文件按照截面将原文件拆分，即新文件的结构是时间序列数据）

5.观察不同时期上cp和ip的散点图：

（需要建立stack文件，将不同截面的横轴变量罗列成一个变量；将不同截面的纵轴变量拆分成N个变量,

然后用scatter观察：即第一个变量对所有其他变量的散点图）

PanelData的EViews操作

1.建立Panel的方法

（1）直接在File->Newworkfile中完成

（2）如果数据是以叠加的形式存放的，如下表所示

注意：数据文件中必须存有截面变量和时间变量。

可以采用第二种方法。

Stepl：建立undated的工作文件

Step2：导入数据

Step3：Proc/Structurecurrentpage

1.3混合估计模型

用面板数据建立的模型通常有三种，即混合估计模型、固定效应模型和随机效应模型。

所谓混合估计模型是指斜率和截距双固定的模型。如果从时间上看，不同个体之间不存

在显著性差异。从截面上看，不同截面之间也不存在显著性差异，那么就可以直接把面板数

据混合在一起用普通最小二乘法（OLS）估计参数。比如，在例1中，在每一年，不同省份

的消费与消费的关系均相同；对每一个省份来说，每年的消费与收入的关系也相同。在这种

情况下，就可以使用混合估计模型。

如果从时间和截面看模型截距都不为零，且是一个相同的常数，以二变量模型为例，则

建立如下模型，

%=必+Xz/P+uit,/=1,2,N;t=l,2,T

，和B不随。t变化。称模型⑴为混合估计模型。

对混合估计模型可以通过三种。LS方法进行估计。

（1）组内估计量

个体的均值为

及=〃+3.P+可.，i=1,2,N1

IT_|T।T

其中，见=亍2为"先•=亍工为"为"亍"j2,…,N）。

J=1J=1J=1

模型的离差形式为：

yit~%.-（X"-Xj.）0+（uit-M/.）2

OLS估计量为：

即=健「.）

S黑=IX1（X〃—3.）（X"-%.）'，=Z=1（X"-无）

8卬称为组内估计量（Withingroupestimator）。

（2）组间估计量

变量的总均值为

兀=〃+*-0+吃

个体的均值离差形式为：

%-亢=（为.-1那+（瓯-石）

OLS估计量为：

即=传）阳）

S鼠=Z3（先.--）%—1）'，Siy=“i（焉.-肛）（%-兀）

6B称为组内估计量（Withingroupestimator）。又被称为LSDV估计量（Leastsquares

dummyvariables）或协方差估计量（covarianceestimator）o

（3）OLS估计量

个体的均值离差形式为：

W-%=（X"-丸）0+（叼-匕）

OLS估计量为：

6*=（sj（s：J

SI=ZL（X"一工）（X„-X..）1,=Z：（X"—X.）（y,.,-文）

可以证明，=S^.+st,s'=SX+st,«因此，OLS估计量又可以写作

%s=（S；,+S：J（S：+S\）

=（s：+S疗s;（s;fs;+（s二+s3Ts\然「s*

=WwS；；+WQ\

因此，OLS估计量为组内估计量与组间估计量的加权和。截距项的估计量为:

«,=yf-x,P

以例1中15个地区1996和2002年数据建立关于消费的混合估计模型，得结果如下:

A

CPit=129.6313+0.7587仅

2

(2.0)(79.7)R=0.98,SSEr=4824588,to.os(io3)=1.99

15个省(市)的平均边际消费倾向为0.76。

1.4固定效应模型

1.4.1个体固定效应模型

在面板数据中，如果不同的截面或不同的时期对应的截距项不同，那么称之为变截距模

型。变截距模型可以分为固定效应和随机效应模型两种。首先来看固定效应模型。

1.个体固定效应模型的设定

模型设定为：

/=1,2,N;t=l,2,T

=〃+aj+X“0+%

其中，一为不随时间变化的不可观测的随机变量，用于反映个体之间的差异。如果一与X

相关，则称为固定效应模型(entityfixedeffectsregressionmodel)«即:

y\t=//+«i+xkp+wk

=A+«2+X2zP+»2z,「下

1,f=1,2,…，T

JM=M+&N+XMD+uNt

将（2）式中每个方程写成矩阵形式,

yi=e(〃+a[)+Xzp+u；4

其中，

xKi\'

"力-■fxhlx2il一*ui\

1XU2x2i2xKiTPlui2

%=，e=，Xj=»P=>u,=i=l,2,...N

_yiT_1_XUTx2iTxKiT__PK._uiT_

5

将（4）式进一步表示为:

yio«i

丫2o的

=lNT/J+

y=(IN0e7)(//+a)+xp+u

2.个体固定效应模型组内估计

2

假定：E(u,)=O,E(uiui')=alllT,E(uzuy')=O

由于一与X相关，因此不能直接用LS方法估计，LS估计量不具有一致性。由于一不随

着时间而变化，因此可以通过离差的形式将其消除。

模型两边取均值，可得：

%.=4+%.P+g+用.

其离差形式为：

yu-yi.-(x〃一X/,)p+Ujt-Uj,

离差形式将一消除掉了，不存在误差项与X相关导致的不一致问题。

组内估计的一大优点是，不论一与X是否相关，由于一不随时间变化，因此组内离差

会将“消除掉。因此，组内估计量是无偏的、一致的。但组内估计的一大缺点是，凡是不随

时间变化的变量，比如性别、种族、地理位置等，都会在组内离差转换时被消除掉。因此，

组内估计无法估计这种变量的影响。

组内估计的矩阵表述

y,=e//+X,F+(eaj+%)两端乘以矩阵Q,

Qf-Lee

注意，Q为对称塞等矩阵，且Qe=O。可以得到：

Qy,=Qe%+QX,p+Qu,=QX,p+Qu,

应用OLS方法得到0的OLS估计量：

B=gx/QXi

6是无偏的，当N随能或7■密电时，6是一致的。其协方差矩阵为:

V"(B)=%£x「QXi

3.个体固定效应模型LSDV估计

在固定效应中，传统的观点将一视作与0一样的未知参数，用于反映不同方程的不同截

距项。这可以通过加入截面虚拟变量的方式进行估计。这可以通过重新表述如下矩阵来体现。

yie00%Xi叫

0e0X

Y2+2«2

=+・•・♦♦•••.p+

00eaNXNUN

对于N个截面，需要加入N-1个截面虚拟变量。因此其估计量称为LSDV(LeastSquares

DummyVariables)估计量。当N较大时，这种估计方法损失了大量的自由度。因此，这种方

法适用于当N较小的情况。对于B来讲，LSDV估计量与组内估计量完全相同。LSDV还可以估计

出一。而且采用LSDV估计可以更直观地计算估计量的自由度。

6是无偏的，当N密第或7■密而时，6是一致的。。•也是无偏的，但仅当了豳磅时，由才

具有一致性。当「固定，而N羯口时，一的LSDV估计量不具有一致性。因为，每增加一个

截面，一也增加一个未知参数。

4.个体固定效应模型的设定检验

LSDV的另一个好处是可以通过「统计量对个体效应的显著性进行检验。

原假设Ho：不同个体的模型截距项相同(建立混合估计模型)。

备择假设%：不同个体的模型截距项不同(建立个体固定效应模型)。

F统计量定义为：

F_(SSE,-SSE/代NT—-NT-N-k)J_(SSE.-SSE“)/(N-1)

SSEU/(NT-N-k)SSEU/(NT-N-k)

其中k表示解释变量的个数(不包括常数项)，SSEr,SSE”分别表示约束模型(混合估计模型)

和非约束模型(个体固定效应模型)的残差平方和。非约束模型比约束模型多了N-1个被估

参数。(混合估计模型给出公共截距项。)

用上例计算，已知SS&=4824588,5SE==2270386,

F=(SS-—SSEa)/(N-1)=(4824588—2270386)/(15-1)=182443=7”

-SSEU/(NT-N-k)~-2270386/(105-15-1)--25510-,

fo.O5(14,89)=1-81

因为F=7.15>Fo.o5(i4,89)=L81,所以，拒绝原假设。结论是应该建立个体固定效应模型。

1.4.2时期固定效应模型

模型设定为:

yit=Yt++u

it,/=1,2,...,N;t=l,2,...J

其中，Vt为不随个体变化的不可观测的随机变量，用于反映不同时期的差异。如果也与X相

关，则称为时期固定效应模型(timefixedeffectsregressionmodel)(>

即：

Hi=〃+%++

为2=4++X/2P+ui2

12

”7=//++X/70+10T

将上式中每个方程写成矩阵形式,

y,^p+X+X/p+u,13

或者表示为力=eN(〃+4)+X#+u,

其中，

15

即:

y=@N位lT)M+Xp+(eNOI/'A+u16

1.时期固定效应模型的组内估计

由于V，与X相关，因此不能直接用LS方法估计，LS估计量不具有一致性。由于也不随

着个体而变化，因此可以通过离差的形式将其消除。

模型两边取均值，可得：

叉f=M+、“P+%+0

其离差形式为：

yu-y.t-（x〃-X”）p+u.t

离差形式将"消除掉了，不存在误差项与X相关导致的不一致问题。

与个体固定效应相类似，时期固定效应模型的组内估计优点是，不论"与X是否相关，

由于"不随个体变化，因此组内离差会将"消除掉。因此，组内估计量是无偏的、一致的。

但组内估计的一大缺点是，凡是不随个体变化的变量，比如政策、气候等，都会在组内离差

转换时被消除掉。因此，组内估计无法估计这种变量的影响。

2.组内转换的矩阵表述

利用相似的方法定义矩阵Q，

、=1广旷%即17

注意,Q为对称基等矩阵，且QeM=0。y,=eN4+X/+叫两边同时乘以Q可以得到：

Qy,=QeNAj+QX,p+Qu,=QX,p+Qu,18

应用OLS方法得到fJ的OLS估计量：

蚱fX,'QX,£x'Qy,

z19

_r=l」U=\

6是无偏的，当N噩磅或T豳由时，8是一致的；其协方差矩阵为:

T

2

V«r(p)=<TuZX/QX,20

%也是无偏的，但仅当N豳备时，区才具有一致性。

3.时期固定效应的LSDV估计

如果将"视作与B一样的未知参数，用于反映不同方程的不同截距项。这可以通过加入

时期虚拟变量的方式进行估计。这可以通过重新表述如下矩阵来体现。

为了避免多重共线性，对于7•个截面，需要加入厂1个截面虚拟变量。因此其估计量称为

LSDV(LeastSquaresDummyVariables)估计量。当了较大时，这种估计方法损失了大量的自由

度。因此，这种方法适用于当檄小的情况。对于B来讲，LSDV估计量与组内估计量完全相同。

LSDV还可以估计出Y，。而且采用LSDV估计可以更直观地计算估计量的自由度。

6是无偏的，当Nm面或「随面时，8都是一■致的。£也是无偏的，但仅当N旗鲍时，、

才具有一致性。当N固定，而下1口时，片的LSDV估计量不具有一一致性。因为，每增加一个

时期，Vt也增加一个未知参数。

4.时期固定效应的LSDV估计

如果采用LSDV估计，可以通过F统计量对时期固定效应的显著性进行检验。

对于不同横截面模型截距项相同(建立混合估计模型)。

H0：

出：对于不同横截面模型的截距项不同(建立时期固定效应模型)。

F统计量定义为：

(SSE-SSEGMNT-1-&)-(NT-T-k)](SSE-SSE)/(T-1)

F-rrU21

SSEu/(NT-T-k)SSEu/(NT-T-k)

其中SS&,SSE”分别表示约束模型(混合估计模型的)和非约束模型(时期固定效应模型的)

的残差平方和。非约束模型比约束模型多了丁-k个被估参数。

用上例计算，已知产

SSE4824588,SSEU=4028843,

尸=(SSEr-SSE“)/(T-D_(4824588-4028843)/(7-1)=132624=319

-SSE„/(AT-T-1)~~4028843/(105-7-1)~~41534--

FO.O5(6,87)=2.2

因为F=3.19>[0.05(14,89)=2.2,拒绝原假设，结论是应该建立时期固定效应模型。

1.4.3双因素固定效应模型

模型设定为:

yit=ai+rt+^+uit,鹏2…ME,2…7

y"=M+aj+%+X〃p+"〃

其中，一为不随时间变化的不可观测的随机变量，用于反映个体之间的差异；"为不随个体

变化的不可观测的随机变量，用于反映不同时期的差异。如果一、"与X相关，则称为时期

个体固定效应模型(timeandentityfixedeffectsregressionmodel)。

矩阵表示为

yi

丫2

=(I^y0e?)a+(e^③I7)A.+

y=(I^r®e?)a+(e^@ly)九+X0+u

1.双因素固定效应的组内估计

由于一、"与X相关，因此不能直接用LS方法估计，LS估计量不具有一致性。但可以

通过离差的形式将其消除。

对模型)方=〃+X“0+aj+"〃在不同时期和不同个体上分别求均值，

yi.=〃+%+《+7+%.

y.t=ju+\tp+a+yt+u.t

又.=〃+*邛+"+7+三

得到离差形式，

(%-%-%+%)=(X”-X,.-X,+X.)P+(囹一酝-u,t+uj

组内转换后的方程已经不包含八、Vt，可以直接利用OLS方法进行估计。

2.组内估计的矩阵表述

仍然采用WallaceandHussain(1969)的组内转换方法。令

Q=I_0e?.e7.'--^eiVe.v'0I7.+急J

其中，I表示单位矩阵，e表示所有元素为1的列向量，J表示所有元素为1的(NTxNT)矩阵,

1昕=】N®17，J=e3®CpCyo

注意观察矩阵Q的特点，Q为幕等对称矩阵。

Qy=([NT_%N®ereT'~^eNeN'⑥+七“y

=丫一%于“-%%.+工

y=(IN®er)a+(eyv®Ir)X+Xp+u两边同时乘以Q,可得：

Qy=QX0+Qu

B=XQX「Qy

3.双因素固定效应的LSDV估计

可以采用加入虚拟变量的方法来估计-但是对于个体效应和时期效应必须加入

[(N-1)+(T-1)]个虚拟变量。这会丧失大量自由度，并容易引起多重共线性问题。。的LSDV估计

量与组内估计量完全相同。▼、+的估计量分别为：

自=(%一比)-6(焉.一文・)

A=(y./-y.)-P(x.,-xj

如果满足上述模型假定条件，对模型(12)进行OLS估计，全部参数估计量都是无偏的

和一致的。

4.双因素固定效应的设定检验

如果将▼、+视作未知参数，可以通过F统计量对时期、个体固定效应的显著性进行检

验。

Ho：%=%==%M=。，4=&==4-i=0。即对于不同横截面，不同序列，模

型截距项都相同(建立混合估计模型)。

H1：%存在明显差异或4.存在明显差异，即不同横截面，不同序列，模型截距项不相同

(建立时期个体固定效应模型)。

F统计量定义为：

「一(SSE,-SSE”)/l(NT--(NT-N-T-&+1)]_(SSE,-SSE“)/(N+T-2)

'SSEu/(NT-N-T-k+1)-SSEJ(NT-N-T-k+1)

其中SSEr，S5E”分别表示约束模型(混合估计模型的)和非约束模型(时期个体固定效应模

型的)的残差平方和。非约束模型比约束模型多了N+r-2个被估参数。

用上例计算，已知ISSE产4824588,SSEU=2045670,

F_(SSEr-SSEJ/iN+T-2)_(4824588-2045670)/(15+7-2)_138946_

-SSE“/(NT—N-T-k+l)~2045670/(105-15-7)-24647-'

5).05(20,81)=1.64

因为F=5.6>FO.O5(14,89)=1.64,拒绝原假设，结论是应该建立时期个体固定效应模型。

给定时间效应，可以检验个体效应的显著性。

Ho：at=a2==aN_y=0,给定4K0,t=1,2,,7-1。

此时无约束模型仍然为混合估计模型，而受约束模型则为仅带有时间虚拟变量的模型。

构建F统计量

(SSE,-SSE“)/(N-1)%

SSEu/[(TV-1)(7-1)-AT](N-WN-W-M-K°

类似地，给定个体效应，可以检验时间效应的显著性。

Ho：4=4==%_]=0，给定a产0,i=l,2,,N—1。

此时无约束模型仍然为混合估计模型，而受约束模型则为仅带有个体虚拟变量的模型。

构建F统计量

r(SSEr-SSEu)/(T-l)

-SSE„/[(^-l)(T-l)-7C](T-IMW-IKT-D-K

1.4.4组间估计

实践中另外一种被经常引用的估计量是组间估计量。与组内估计不同，组间估计是利用

均值方程进行估计。不论把4.和乙视作随机变量还是待估参数，个体固定效应或时期固定效

应的组间估计方程都是一样的。在个体固定效应模型中，组间估计是估计如下方程：

%=4+帮+卬+瓯

在时期固定效应模型中，组间估计是估计如下方程：

y.t=^+X.,p+//+i7.r

在双因素固定效应模型中，组间估计可以通过两种方式进行。如果把火和4视作随机变

量，估计方程为：

%.=〃+XZ.P+%+>+丽

y.t=M+&.fP+"+%+".r

如果把弓和2,视作待估参数，则估计方程为：

%.=〃+%平+田+用.

%=〃+x.,p+%+心

显然，如果和乙与X相关，那么组间估计量是不一致的。

1.5随机效应模型

在模型

)'”=〃+生+4+X"0+Ujt,i=1,2,...,N;t=l,2,T

如果©和乙为随机变量，则称为随机效应模型。其中，称为个体随机效应，儿称为时间

随机效应。

基本假定：

£(«,)=)=E(M;,)=0,E(a内)=)=E(AjU,r)=O

如果

£(卬勺)=i=j

0如果iwj

如果r=s

E(W=A

0如果f/s

2

如果i=j,t=s

其它

E(X"")=E(X〃4)=E(X;7=0

令%=4.+4+坳，则根据上述假定，var(%)三cr；=cr]+cr，+6\因此，随机效应

模型又被称作误差成份模型(errorcomponent)或方差成分模型(variancecomponent)..

1.5.1单因素随机效应模型

当模型中仅存在个体随机效应，

%=〃+OCj+X„p+M(Z,i=1,2,...,N;t=l,2,T

则称为个体随机效应模型。将其写作

切+

%=〃+X,7P+%・+%=X„P+vit,i=1,2,...,N;t=l,2,T

I，..222

其中'

%=%+,(Ty=Oa+(7^

每个个体所对应方程的矩阵表达式为：

yz.=er//+era;.+X/p+v,.=er//+Xzp+v,,\=1,2,N

其中，vz=e^-+uzo

所有N个方程的矩阵表达式为：

y=eAT//+(IN0e7.)a+xp+u=eAT/7+Xp+v

其中，¥=(1^0er)a+uo其中,

。=(的,。2,x=(X]；X2；・,XN,u=(U|',U2*,,u^yo

”的协方差矩阵为：

v=E(V,Y')=£[(e.;a,.+u,.)(ey.a,.+u,.)']=片1+cr：ee'

其逆矩阵为：

在上述假定下，v的协方差矩阵为：

'V00、

0V0

E(vv')==Ir0V

、00V,

1.组内估计(协方差估计)

在随机效应模型中，仍然可以采用Q矩阵，

Qy,=Qe”+QX#+Q(era/+u,)=QX,p+Qu,

TN

Wxx=X,QX,=Z(x”—X,)(X(7-X,,)',Wxx=X

t=\1=11

OLS估计可以得到B的协方差估计量

N

6wW"”=WxxTWxy=ZXJQXjZX('Qyz

\_i=\7=1

在随机效应模型中，不论A/玲8或7■玲8,8均是无偏和一致的，但不再是有效的。因为

同一个个体在不同时期上的观测值存在相关。这时，需要利用GLS估计方法。

2.组间估计

Pyz=+PXzp+P(er^=Per//+PX,p+Pv,

^Between~0X^Xy

NN

Byy=XjPXi=>XjX-Bxx=£BX,X

XjXjii一人，♦

t=\i=l

NN

；,