北师版八上数学7.5 三角形内角和定理（第二课时）（课件）

第七章平行线的证明5三角形内角和定理（第二课时）数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学八年级上册BS版01课前预习

1.

三角形外角.如图1，三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的

角，称为三角形的外角.图1图2注：如图2，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶

角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.2.

三角形内角和定理的推论.（1）推论1：三角形的一个外角等于和它

的

⁠

的和；（2）推论2：三角形的一个外角大于任何一个和

⁠

的内角.3.

由一个

或

直接推出的定理，叫做这个

基本事实或定理的推论.推论可以当作定理使用.不相邻

两个

内角

它不相邻

基本事实

定理

数学八年级上册BS版02典例讲练

（1）若将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数

是

⁠.105°

【思路导航】根据题意求出∠2，利用三角形的外角的性质得

∠1＝60°＋∠2，从而得到结果.【解析】∵∠2＝90°－45°＝45°，∠1＝60°＋∠2，∴∠1

＝60°＋45°＝105°.故答案为105°.【点拨】利用三角形的外角定理求角的度数时，关键是要找准

要求的角是哪个三角形的外角.（2）如图，直线

AB

，

CD

被直线

BC

所截.若

AB

∥

CD

，∠

B

＝

45°，∠

D

＝35°，则∠1＝

⁠.【思路导航】根据平行线的性质以及三角形外角的性质计算

即可.80°

【解析】∵

AB

∥

CD

，∠

B

＝45°，∴∠

C

＝∠

B

＝45°.又

∵∠

D

＝35°，∴∠1＝∠

C

＋∠

D

＝45°＋35°＝80°.故答

案为80°.【点拨】在三角形中，求一个角时，不仅要用三角形内角、外

角的关系，还常结合角平分线、补（余）角、对顶角及平行线

的“三线八角”的关系来计算.

1.

如图，下列判断不正确的有

（填序号）.①③

①∠

EFD

是△

BFC

的一个外角；②∠

DFC

是△

BFC

的一个外角；③∠

DCF

是△

BFC

的一个外角；④∠

EFD

＋∠

FBC

＋∠

FCB

＝180°；⑤∠

CDF

＝∠

A

＋∠

ABD

.

2.

如图，把一副三角板按此方法叠放在一起，则∠α的度数

是

⁠.165°

（1）如图，已知∠

BDC

＝100°，∠

C

＝35°，∠

A

＝28°，

则∠

B

的度数是

⁠.【思路导航】延长

BD

或

CD

，根据三角形外角的性质计算即可.37°

【解析】如图，延长

BD

交

AC

于点

E

.

∵∠

BDC

＝∠

C

＋∠

BEC

，∠

BEC

＝∠

A

＋∠

B

，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

BDC

＝100°，∠

A

＝28°，∠

C

＝35°，∴∠

B

＝100°

－28°－35°＝37°.故答案为37°.【点拨】此题还可以连接

BC

，由三角形内角和定理求解.解决

不规则四边形中的角度问题时，一般作辅助线，构造三角形，

利用三角形内角和定理与外角性质解决问题.（2）如图，在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝90°，

AD

⊥

BC

于点

D

，点

E

在线段

AD

上.求证：∠

BED

＞∠

C

.

【思路导航】根据直角三角形的性质得到∠

BAD

＝∠

C

，再

根据三角形外角的性质得到∠

BED

＞∠

BAD

，等量代换后

即可得证.证明：∵∠

BAC

＝90°，∴∠

BAD

＋∠

DAC

＝90°.∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADC

＝90°.∴∠

C

＋∠

DAC

＝90°.∴∠

BAD

＝∠

C

.

∵∠

BED

是△

ABE

的外角，∴∠

BED

＞∠

BAD

.

∴∠

BED

＞∠

C

.

【点拨】解决有关角的不等关系问题常常使用“三角形的一个

外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一定理.

1.

如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（

D

）A.

∠1＋∠2＝∠3＋∠4B.

∠1＋∠2＝∠4－∠3C.

∠1＋∠4＝∠2＋∠3D.

∠1＋∠4＝∠2－∠3D2.

如图，已知

CE

为△

ABC

的外角∠

ACD

的平分线，

CE

交

BA

的延长线于点

E

.

解：（1）∵∠

B

＝35°，∠

E

＝20°，∴∠

ECD

＝∠

B

＋∠

E

＝55°.∵

CE

是△

ABC

的外角∠

ACD

的平分线，∴∠

ACD

＝2∠

ECD

＝110°.∴∠

BAC

＝∠

ACD

－∠

B

＝75°.（1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）∵

CE

为△

ABC

的外角∠

ACD

的平分线，∴∠

ACE

＝∠

ECD

.

∵∠

BAC

是△

EAC

的外角，∴∠

BAC

＞∠

ACE

.

∴∠

BAC

＞∠

ECD

.

∵∠

ECD

是△

EBC

的外角，∴∠

ECD

＞∠

B

.

∴∠

BAC

＞∠

B

.

（2）试判断∠BAC与∠B的大小关系.

如图，在△

ABC

中，已知点

E

在

AC

上，且∠

AEB

＝∠

ABC

.

（1）如图1，作∠

BAC

的平分线

AD

，分别交

CB

，

BE

于

D

，

F

两点.求证：∠

EFD

＝∠

ADC

；图1（2）如图2，作△

ABC

的外角∠

BAG

的平分线

AD

，直线

AD

分

别交

CB

，

BE

的延长线于

D

，

F

两点.（1）中的结论是否仍成

立？为什么？图2【思路导航】（1）在△

AEF

和△

ABD

中，根据三角形外角定

理即可证得；（2）在△

AEF

和△

ABD

中，根据三角形外角定

理，结合已知条件即可解答.（1）证明：∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

.

∵∠

EFD

＝∠

DAC

＋∠

AEB

，∠

ADC

＝∠

ABC

＋∠

BAD

，且

∠

AEB

＝∠

ABC

，∴∠

EFD

＝∠

ADC

.

（2）解：（1）中的结论仍成立.理由如下：∵

AD

平分∠

BAG

，∴∠

BAD

＝∠

GAD

.

∵∠

FAE

＝∠

GAD

，∴∠

FAE

＝∠

BAD

.

∵∠

EFD

＝∠

AEB

－∠

FAE

，∠

ADC

＝∠

ABC

－∠

BAD

，∴∠

EFD

＝∠

ADC

.

【点拨】解答此题的关键是能灵活运用“三角形的一个外角等

于和它不相邻的两个内角的和”这个定理.

图2

（2）探究2：如图2，已知点

O

是外角∠

DBC

与外角∠

EC