北师版八上数学1.1 探索勾股定理（第二课时）（课件）

第一章勾股定理1探索勾股定理（第二课时）数学八年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学八年级上册BS版01课前预习

1.

勾股定理的验证.（1）通过测量，数格子等方法进行验证；（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证（利用两次计算

面积，即图形整体的面积等于各部分面积之和，如图1，图2，

图3）.图1

图2

图32.

在方格中，利用数格子计算面积的方法得到下列结论：（1）在钝角三角形中：如图1，已知三边长

a

，

b

，

c

，且

c

为

最长边，则

a2＋

b2

c2（填“＞”“＜”或“＝”）；＜

（2）在锐角三角形中：如图2，已知三边长

a

，

b

，

c

，且

c

为

最长边，则

a2＋

b2

c2（填“＞”“＜”或“＝”）.图1

图2＞

数学八年级上册BS版02典例讲练

（1）如图1，分别以Rt△

ABC

的三边为边长向外作三个正

方形，其面积分别用

S1，

S2，

S3表示，则

S1，

S2，

S3之间有

什么关系？（2）如图2，分别以Rt△

ABC

的三边为直径向外作三个半圆

形，其面积分别用

S1，

S2，

S3表示，则

S1，

S2，

S3之间有什

么关系？图1图2【思路导航】分别表示出三个正方形（或三个半圆）的面积，

并由勾股定理得到三角形的三边关系，再分析

S1，

S2，

S3之间

的关系.解：（1）根据正方形的面积公式，得

S1＝

AB2，

S2＝

BC2，

S3＝

AC2.在Rt△

ABC

中，由勾股定理，得

AB2＝

BC2＋

AC2.所以

S1＝

S2＋

S3.

所以

S1＝

S2＋

S3.【点拨】符合以直角三角形的两直角边为边长所作的两个图形

的面积和等于以斜边为边长所作的图形的面积的常见图形有以

下几种（分别作正方形、正三角形、半圆形、等腰直角三角

形），均满足

S3＝

S1＋

S2：

1.

下列图形中，不能用来证明勾股定理的是（

D

）D2.

如图，已知∠

ADB

＝90°，正方形

ABCG

和正方形

AEFD

的

面积分别是100和36，则以

BD

为直径的半圆形的面积是

⁠

（结果保留π）.8π

某地创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，从该场景中

抽象出的数学模型如图所示，宣传牌（

AB

）的顶端有一根绳子

（

AC

），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7

m（即

BC

＝

0.7

m）.工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3

m处（即点

E

到

AB

的距离为3

m），绳子正好拉直.已知工作人员身高（

DE

）

为1.7

m，求宣传牌（

AB

）的高度.【思路导航】过点

E

作

EF

⊥

AB

于点

F

，设

AC

＝

AE

＝

x

m，则

AB

＝（

x

＋0.7）m，根据勾股定理列方程即可解答.

解：如图，过点

E

作

EF

⊥

AB

于点

F

，则四边形

BDEF

为长方形.所以

BF

＝

DE

＝1.7

m.设

AC

＝

AE

＝

x

m，则

AB

＝（

x

＋0.7）m.在Rt△

AFE

中，因为

EF

＝3

m，

AF

＝

AB

－

BF

＝

x

＋0.7－1.7＝（

x

－1）m，根据勾股定理，得

AF2＋

EF2＝

AE2，即（

x

－1）2＋32＝

x2，解得

x

＝5.所以

AB

＝5＋0.7＝5.7（m）.即宣传牌（

AB

）的高度为5.7

m.【点拨】对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象

出直角三角形，再运用勾股定理计算出所求线段的长.若图中没

有直角三角形，常作垂线，构造直角三角形.

学校内有一块如图所示的三角形空地△

ABC

，计划将这块空地

建成一个花园，以美化校园环境.预计花园每平方米的造价为30

元，学校修建这个花园需要投资多少元？解：如答图，过点

A

作

AD

⊥

BC

于点

D

.

设

BD

＝

x

m（

x

＞0），则

DC

＝（21－

x

）m.在Rt△

ABD

中，

AD2＝102－

x2；在Rt△

ACD

中，

AD2＝172－（21－

x

）2，所以102－

x2＝172－（21－

x

）2，答图

[尝试探究]美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图2所示，用

两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形

BCDE

，其中△

BCA

≌△

ADE

，∠

C

＝∠

D

＝90°.请根据拼图验证勾股定理.[定理应用]在Rt△

ABC

中，已知∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

所对的

边长分别为

a

，

b

，

c

.试说明：

a2

c2＋

a2

b2＝

c4－

b4.图1图2【思路导航】在“尝试探究”中，根据阅读材料，用两种方法

表示图中梯形的面积，即可证得勾股定理；在“定理应用”

中，逆用平方差公式，根据勾股定理即可得到结论.

[定理应用]因为

c4－

b4＝（

c2＋

b2）（

c2－

b2）＝（

c2＋

b2）

a2＝

a2

c2＋

a2

b2，所以

a2

c2＋

a2

b2＝

c4－

b4.【点拨】此题涉及等面积法.等面积法，即通过两种