新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 知识点及解题方法提炼

第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算.......................................................-1-

1.1.1空间向量及其线性运算.............................................-1-

1.1.2空间向量的数量积运算.............................................-9-

1.2空间向量基本定理......................................................-16-

1.3空间向量及其运算的坐标表示...........................................-20-

1.3.1空间直角坐标系...................................................-20-

1.3.2空间运算的坐标表示..............................................-25-

1.4空间向量的应用........................................................-31-

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系.............................-31-

1.4.2用空量研究距离、夹角问题........................................-42-

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

1.空间向量

⑴定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

⑵长度或模：空间向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示;

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起点是A,终点、是B,

也可记作：踵，其模记为画或国.

2.几类常见的空间向量

名称方向模记法

零向量任意00

_一一

单位向量任意1

a的相反向重：—a

相反向量相反相等

获的相反向量：M

相等向量相同相等a=b

3.空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

c

空间向量的加法OB=OA+OC=a+bD

运算

减法CA=OA—QC=a—boaA

①交换有表a+b=b+a

加法运算律

②结合制吉：(a+〃)+c=a+(〃+c)

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数九与空间向量a的乘积入a仍然是一个向量,称为向量的数乘运

算.

当X>0时，-与向量a方向相与

当九<0时，一与向量a方向相反;

当入=0时，Xa=0；而的长度是a的长度的囚倍.

②运算律

a.结合律：M〃a)=〃Qzz)=仅〃)a.

b.分配律：(九+〃)a=Azz+〃a,X(a+Z>)=Xzz+XZ>.

4.共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些

向量叫做共线向量或平行向量.

(2)方向向量：在直线/上取非零向量a,与向量a壬红的非零向量称为直线/

的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a,都有0〃a.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a,双方/0),a〃〃的充要条件是存

在实数X使a=Xb.

(4)如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量a,则对于直线/上任意

一点P,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数九，使得d=而.

5.共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若两个向量a,8不共线，则向量p与向量a,〃共面的充

要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使〃=.xa+yb.

(3)空间一点尸位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x,y),使/=

垃土鼠£或对空间任意一点0,有办=El+x获+)诙.

典型例题

y型]空间向量的有关概念

【例1】(1)给出下列命题:

①若|a|=|臼，则a=Z＞或。=一岳

②若向量a是向量〃的相反向量，则⑷=|讣

③在正方体ABCD-ALBICLDI中，AC=AiCi；

④若空间向量7〃，n,p满足帆=",n=p,则》i=p.

其中正确命题的序号是.

(2)如图所示，在平行六面体A3CD-AEC。中，顶点连接的向量中，与向量看，

相等的向量有;与向量A方相反的向量有.(要求写出所有适合

条件的向量)

⑴②③④(2)品,CC',DD'RA',BA,CD,CD1[⑴对于①，向量a与

8的方向不一定相同或相反，故①错；

对于②，根据相反向量的定义知⑷=|四，故②正确；

对于③，根据相等向量的定义知，AC=A7CI,故③正确；

对于④，根据相等向量的定义知正确.

(2)根据相等向量的定义知，与向量看，相等的向量有届，，CC',而〔与向量A办

相反的向量有4》，BA,CD,CT)'.]

厂.......规律c方法........................

解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点

(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.

(2)注意点：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这

一点说明了共线向量不具备传递性.

②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是L

③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不

仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反,则它们为相反向量.

”型。空间向量的线性运算

【例2】⑴如图所示，在正方体ABCD-ALBICLDI中，下列各式中运算结果

为向量的有()

①(获+寿+々1；

②(AAi+AiDi)+DiCi；

③(矗十届i)+彘1；

@(AAI+A］BI)+B7CI.

A.1个B.2个C.3个D.4个

(2)已知正四棱锥P-A3CD,。是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下

列各式中x,y,z的值.

①历:的+通+zG；

®PA=xPO+yPQ^PD.

［思路探究］(1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体

中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和.如n1=获+方)+看1.

⑵根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解.

(1)D［对于①，(A3+3C)+CCi=AC+CCi=ACi;

对于②，(AAi+AIDI)+DICJ=AD\+D1C1=ACi;

对于③，(A5+5BI)+BICI=ABI+BICI=ACI;

对于④，(AAi+AbBi)+3iCi=A3i+3iCi=ACi.］

—►—►—A—A1—►—A

⑵［解］①如图，OQ=PQ-PO=PQ~^PA+PC)

-1—If

=PQ-^PC-^PA,

...y=z=­1

②..•。为AC的中点，。为CD的中点，

：.PA+PC=2P0,PC+RD=2PQ,

：.PA=2P0~PC,PC=2PQ-PD,

：.^=2PO-2PQ-\-PD,：.x=2,y=~2.

厂.......规法.............................

1.空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,

灵活运用相反向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，

务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结

果.

2.利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平

行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.

⑵明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

"型“共线问题

【例3】⑴设ei,e2是空间两个不共线的向量，已知获=ei+&2,BC=5ei

+4e2,DC=-ei-2ei,且A,B,。三点共线，实数左=.

(2)如图所示，已知四边形ABC。，A3EE都是平行四边形且不共面，M,N分

别是AC,3R的中点，判断a与加是否共线.

[思路探究](1)根据向量共线的充要条件求解.

(2)根据数乘向量及三角形法则，把加表示成入8的形式，再根据向量共线的

充要条件求解.

(1)1以方=获+/+丘)=(ei+既2)+(5ei+4e2)+(ei+2e2)=7ei+(左+6)e2.

设AD=XAB,则7ei+(Z+6)e2=Mei+既2),

，=7

所以”，解得左=L]

入k—左+6

(2)[解]法一：因为M,N分别是AC,3R的中点，且四边形A3CD,四边形

—A—A—A—A]—>•—A]—A

ABEF都是平行四边形，所以MN=AM+Ab+bN=2CA+AR+/EB.

—A—A—A—A—A]—A—A—►]A

又因为MN=MC+CE+E3+3N=-1C4+CE—AR-]EB,以上两式相加得

CE=2MN,

所以a〃加，即a与加共线.

法二：因为四边形ABER为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.

/.CE=AE-AC=2^~2M4

=2(AN-AM)=2MN.

所以CE〃MN,即CE与MN共线.

「.......规法.......................

证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P,A,3可通过证明下列结论来证明三点共线.

⑴存在实数九使6=丸而成立.

⑵对空间任一点。，有北=西+藤QGR).

⑶对空间任一点0,有晶=尤豆+y而(x+y=l).

建型4向量共面问题

［探究问题］

1.什么样的向量算是共面向量？

［提示］能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量.

2.能说明尸，A,B,C四点共面的结论有哪些？

［提示］(1)存在有序实数对(x,y),使得嬴=扇+以3

(2)空间一点P在平面A3C内的充要条件是存在有序实数组(x,y,z)使得(*=

遥+yd+z元(其中x+y+z=l).

(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如或〃战:.

3.已知向量a,b,c不共面，且p=3a+2方+c,m=a—b~\-c,n=a+b~c,

试判断p,m,“是否共面.

［提示］i5lp=xm+yn,即3a+2Z>+c=x(a—/>+c)+

y(a+8—c)=(x+y)a+(—x+y)Z>+(x—y)c.

卜+y=3,

因为a,b,c不共面，所以，一x+y=2,

Lx—y=l,

而此方程组无解，所以p不能用机，〃表示，

即p,m,n不共面.

【例4】已知A,B,C三点不共线，。为平面A3C外一点，若点M满足0M

111

=^OA+^OB+^OC.

(1)判断而，MB,应Z三个向量是否共面；

(2)判断M是否在平面ABC内.

［思路探究］(1)根据向量共面的充要条件，即判断是否标l=xi法+y痴；(2)

根据⑴的结论，也可以利用苏=xd+yd+z元中x+y+z是否等于1.

［解］(1)'：0A+0B+0C=30M,

：.OA-OM=(OM-OB)+{OM-OC),

：.MA=RM+CM=-MB~MC,

・•.向量而，MB,证共面.

(2)由(1)知向量而，MB,周共面，而它们有共同的起点M,且A,B,C三

点不共线，：.M,A,B,C共面，即M在平面ABC内.

/........规®法............................

解决向量共面的策略

(1)若已知点P在平面ABC内，则有矗=盛+/或d=x®+y而+z5Z(x

+y+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活

进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

匚必备素养一」

1.一些特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不

仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.

2.d=西+麻+/称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

3.证明(或判断)4B,C三点共线时，只需证明存在实数九，使(或A3

=/2)即可，也可用“对空间任意一点。，有次=万^+(1—/)而”来证明A,B,

C三点共线.

4.空间一点P位于平面的43内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使而=

xMA+yMB,满足这个关系式的点都在平面内；反之，平面内的任一点

都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.

5.直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量

有无穷多个，它们的方向相同或相反.

6.向量p与向量a,b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的,

若。与共线，则不成立.

1.1.2空间向量的数量积运算

1.空间向量的夹角

(1)夹角的定义

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作d=a,OB=b,贝ijNAOB

叫做向量a,力的夹角，记作〈a,b).

(2)夹角的范围

空间任意两个向量的夹角。的取值范围是［0,兀］.特别地，当。=0时，两向

量同向共线；当。=里时，两向量反向共线，所以若a〃方，则〈a,b>=0或兀；

当〈a,b)=垓时，两向量垂直,记作a_LZ>.

2.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则⑷固cos〈a,b〉叫做a,b的数量积，

记作即a-/>=|a|囹cos〈a,/>〉.

规定：零向量与任何向量的数量积为。.

(2)常用结论(a,8为非零向量)

①aJ_bCa・b=O.

②0a—|a||a|cos〈a,a〉=\g^_.

③cos<a,b)=湍，

⑶数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律力b)=(7力

交换律ab=ba

分配律(A+c)=ab+ac

3.投影向量

⑴投影向量

在空间，向量a向向量8投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利

用平面上向量的投影，得到与向量力共线的向量c,c=|a|cos〈a,b)条,则向量

----------------\b［

c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是也1空

(2)向量a在平面B上的投影向量

向量a向平面B投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面B的垂线，

垂足分别为4,3',得到向量加射,则向量在称为向量a在平面B上的投影向量.这

时，向量a,而，的夹角就是向量只所在直线与平面6所成的角.

［提醒］(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

(2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律，即ab=ac^b

k

=c,ab=k=^b=-,O力•c=a-(Zrc)都不成立.

典型例题

Y型］空间向量数量积的运算

【例1】(1)如图，三棱锥A-3CD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=9Q°,ZBAC

=60°,则蕊・历等于()

A

A.-2B.2C.—2小D.2小

(2)在四面体。43c中，棱。4,OB,0c两两垂直，且。4=1,0B=2,0C

=3,G为△ABC的重心，求元.(屈+而+次)的值.

(1)A['：CD=AD-AC,：.ABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC=O-

2X2Xcos60°=-2.]

—>—>—>—>1—>—>

(2)[解]0G=0A+AG=QA+w(A5+AC)

—>1—>—>—>—>

=。4+邪。3—。4)+(OC—。4)]

111

=^OB+^OC+^OA.

—>—>—>—>(1—>1―►1—>\—>—>—>

・,.OG(OA+OB+OC)=[^OB+^OC+^OAj-(OA+OB+OQ

1—*■1—*■1—*■

=^pB1+^OC1+^p^

=|X22+|-X32+|Xl2=y-.

厂........规律方法.............................

在几何体中求空间向量的数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.

(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.

(4)代入公式a力=|a||A|cos{a,b〉求解.

利用数量积证明空间垂直关系

【例2】已知空间四边形。43c中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,5.OA=OB

OC,M,N分别是。4,BC的中点，G是MN的中点，求证：OGLBC.

［思路探究］首先把向量0G和均用。4、。3、。。表示出来，通过证明。G3C

=0来证得OG,3c

［证明］连接ON,设NA05=NB0C=NA0C=。,

又设。4=a,OB=b,OC=c,

则⑷=|臼=|c|.

1

又0G=］(OM+ON)

=-^^OA+^(OB+OC)

1

=W(a+Z>+c),BC=c~b.

1

：.OGBC=^a+b-\-cy(c-b)

=^(ac—ab-\-bc—b2+c2—bc)

=^(|a|2-cos|a|2-cos|a|2+|a|2)=0.

：.OG±BC,OG±BC.

厂....••规律C方法........

用向量法证明垂直关系的步骤

(1)把几何问题转化为向量问题；

(2)用已知向量表示所证向量；

⑶结合数量积公式和运算律证明数量积为0；

(4)将向量问题回归到几何问题.

Y型3夹角问题

【例3】⑴已知a+8+c=0,\a\=2,\b\=3,|c|=4,则向量a与万之间的

夹角〈a,b)为()

A.30°B.45°

C.60°D.以上都不对

(2)如图，在空间四边形Q43c中，。4=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC

=45°,ZOAB=60°,求异面直线。4与3c的夹角的余弦值.

［思路探究］⑴根据题意，构造△ABC,使端=c,AC=b,BC=a,根据△ABC

三边之长，利用余弦定理求出向量。与方之间的夹角即可.

(2)求异面直线与所成的角，首先来求屈与靛的夹角，但要注意异面

直线所成角的范围是(0,f］,而向量夹角的取值范围为［0,兀］，注意角度的转化.

(1)D［'：a+b+c=0,\a\=2,\b\=3,|c|=4,

/.以这三个向量首尾相连组成△ABC;

令蕊=c,AC=b,BC=a,则△ABC三边之长分别为BC=2,CA=3,AB=4;

1

222222

BC+CA-AB2+3~4-

由余弦定理,得:cosZBCA=4

2BCCA2X2X3

又向量辰:和为是首尾相连，

・•.这两个向量的夹角是180。一N3C4,

cos〈a,b)=；,

即向量a与之间的夹角〈a,b)不是特殊角.］

(2)［解］'：BC=AC-AB,：.OABC=OAAC-OAAB=\OA\\AC\cos<OA,AC>

-|0A|-|A5|-

cos(OA,AB)=8X4Xcos1350-8X6Xcos120°

=24-1672.

Acos〈而靛〉=应姓="^=匕驶，.•.异面直线0A与BC的

西•访8X55

夹角的余弦值为3

厂........规律c方法..............................

利用向量数量积求夹角问题的思路

(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹

角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求al,再利用公式cos〈a,b)

求出c°s〈诙b〉的值，最后确定〈a,b)的值.

(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：

①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；

②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；

④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时

应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小.

寸型4距离问题

［探究问题］

1.用数量积解决的距离问题一般有哪几种？

［提示］线段长度即点点距、点线距、点面距.

2.求模的大小常用哪些公式？

［提示］由公式|a尸也］可以推广为［a土b］=7(a土bp=7a2±2a-b+炉.

3.如图，已知线段A3,平面a,BCUa,CDLBC,DR,平面a,JLZDCF=

30°,。与A在平面a的同侧，若AB=BC=CD=2,试求A,。两点间的距离.

［提示］'：AD=^+BC+CD,：.\AD\2=(AB+BCA-CD)2=|A5|2+|5C|2+1CD|2

+2AB-BC+2AB-CD+2BC-CD=12+2(2-2-cos90°+2-2-cos1200+22cos90°)=

8,

A\AD\=2y［2,即A,D两点间的距离为2dl

【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,

沿着它的对角线AC将△ACD折起，使A3与CD成60。角，求此时B,D间的距

离.

注意对〈函，CD)的讨论，再求出3,。间距离.

［解］VZACD=90°,：.ACCD=Q,同理可得lb函=0.*.'AB与CD成60。

角，I.<BA,CD>=60°或〈函，CD)=120°.又寿=茂+元+无，A\BD\2=\BA

|2+|AC|2+|CD|2+2BA-AC+2i4-cb+2AC-cb=3+2XlXlXcos<BA,CD>.

...当〈茂，CD)=60°时，|砺『=4,此时3,。间的距离为2;当〈函，CD)

=120。时，|砺『=2,此时。间的距离为夷.

厂......规法.............................

求两点间的距离或线段长的方法

(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.

(2)因为as=|aF，所以|a|=M菽，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另

外，该公式还可以推广为|a±"=#a土b*=勺层±2分'+庐.

(3)可用|a-e|=|a||cos9|(e为单位向量,8为a,e的夹角)来求一个向量在另一个

向量所在直线上的投影.

匚必备素养工।

1.空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律,

因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三

次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算.

2.空间向量数量积运算的两种方法

(1)利用定义：利用a-b=\a\\b\cos(a,b)并结合运算律进行计算.

(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图

形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.

3.在几何体中求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入a力=|a||A|cos{a,b)求解.

4.空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos

/7«A

〈a,b>.时解题的关键就是求a•力和|a|、.求模时注意|a|2=a.a的应用.

1.2空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序

实数组(x,y,z),使得〃=xa+yZ>+zc.

其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个

不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

2.正交分解

(1)单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是L那么这个基底

叫做单位正交基底.常用{i,力眉表示.

(2)正交分解

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

典型例题

'美型上基底的判断

[例1]⑴设y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,

给出下列向量组：①{a,b,x},②{x,y,z},®{b,c,z}>④{x,y,a+b+c].其

中可以作为空间一个基底的向量组有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

(2)已知｛ei,ei,03｝是空间的一个基底，且。4=ei+2e2—e3,0B=-3ei+e2

+2e3,0C=ei+ei-e3,试判断｛51OB,次｝能否作为空间的一个基底.

(1)C［如图所示，令a=AB,b=AAi,c=AD,

贝y=ADi,z=AC,

a+Z>+c=AG.由于A,Bi,C,四点不共面，可知向量x,y,z也不共面，

同理心c,z和x,y,a+Z>+c也不共面，故选C.］

(2)［解］假设方，0B,元共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x,%

使而l=xd+y又成立，

ei+2e2-e3=x(-3ei+e2+2e3)+y(ei+e2-e3),

即ei+2e2-e3=(j-3x)ei+(x+y)e2+(2x—y)ez

V｛e\,ei,03｝是空间的一个基底，--e\,ei,e3不共面.

(y—3x=\,

：Ax+y=2,此方程组无解.

〔2x—y=-1,

即不存在实数x,y使得

所以的，OB,决不共面.

所以｛(*,OB,次｝能作为空间的一个基底.

厂.......规律c方法........................

基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不

共面，则能构成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可

以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a=M+〃c,运用空间向量基

本定理，建立九，〃的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共

面，能作为基底.

”型「用基底表示向量

［例2］如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，平面OABC,设力=

a,OC=b,OP=c,E,R分别是PC,P3的中点，试用a,b,c表示：BF,BE,

AE,EF.

一1一1一一IIII

［解］连接5。（图略），则3/=了8尸=5（5。+。尸）=/（£—力一0）=—/°—1。+呼・

1—

+^c.EF

1f1—1

=^CB=^OA=^a.

「........规法.............................

基向量的选择和使用方法

（1）尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.

（2）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,

一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.

y型3正交分解在立体几何中的应用

［探究问题］

1.取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？

［提示］若取单位正交基底｛i,j,k｝,那么==|川=1.且可•左=0,

这是其他一般基底所没有的.

2.正方体ABCD-43'C'D'中，5,01,。3分别是AC,AB',AD'的中点，以

｛茄1,AO2,茄3｝为基底，如何表示向量AC.

—>—>—>—>1—>—>1—>—>1—>—>―►

［提示］AC'=AB+AD+AA'=^AB+AD)+^AD+AA')+^AB+AA')=AO1+

AO2+AO3.

【例3】如图，已知平行六面体ABCD-AbBCiDi中，底面ABCD是边长为a

的正方形，侧棱A41长为。，且NAiA3=NAiAD=120。，求异面直线和AC

所成角的余弦值.

［解］｛AB,AD,看1｝可以作为空间的一个基底，JL|A5|=47,\AD\=a,|AAi|

=b,

｛AB,AD)=90°,<A4i,AB>=120°,<AAi,AD>=120°.

又诟|=G+启一蕊，AC=AB+AD,

：.\BD^=\AD^+\AA^+\AB\l+2AD-AAi-2M)-AB-2AAx-AB=(r+lr+a2+

2abeos120°—0—2tzZ?cos120°=2tz2+&2,

|AC|2=I丽2+2AB-AD+|AZ)|2=2tz2,

：.\BDi\=y]2a2+b2,\AC\=\f2a.

：.BDi-AC=(AD+AAi-ABy(AB+Ab}=ADAB+\AD^+AAxAB+AAvAD-

|A7?|2—ABAD=0+a2+abcos120°+aZ?cos120o_a2—0=~ab.

|3DrAC||一帅|_______b

：.|cos<BD1,AC>|=

丽|丽W+庐衣\l4a2+2b2

b

异面直线BDi和AC所成角的余弦值为

44a2+2/Z

厂......规iSj?法......................

基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤

(1)设出基向量.

⑵用基向量表示出直线的方向向量.

_____4.1.

(3)用|a|=d嘉求长度，用“0=0台a_L万，用＜\«。=而而求夹角.

(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题.

广^^备素养G

1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任

意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.

2.空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a,b,c}

可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的.

3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及

加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全

部用基向量表示.

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

空间直角在空间选定一点。和一个单位正交基底{i,j,k},以。

坐标系为原点，分另U以工j,左的方向为正方向,以它们的长为

单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，这样就建立

了空间直角坐标系

坐标轴工轴、上轴、z轴

坐标原点点。

坐标向量1,i，k

坐标平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴正方向,食

右手直角

指指向y轴正方向,如果中指指向Z轴正方向,则称坐标

坐标系

系为右手直角坐标系

2.空间向量的坐标表示

在空间直角坐标系中，i,j,左为坐标向量，对空间任一点A,对应一

个向量西，且点A的位置由向量须唯一确定，由空间向量基本定理，

空间直

存在唯一的有序实数组(x,y,z),使。4=红土立土丞，则(x,y,z)叫做

角坐标

点A在空间直角坐标系中的坐标.记作A(x,y,z),其中工叫点A的

系中A

横坐标，上叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标

点坐标

在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的

有序实数组(x,y,z),使a=红土立土丞，则(%,y,z)叫做a在空间直

角坐标系中的坐标，简记作a=(x,y,z)

典型例题

Y型］求空间点的坐标

【例1】如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中,\AB\=4,\AD\=3,|AAi|=5,

N为棱CQ的中点，分别以D4,DC,DDi所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立

空间直角坐标系.

(1)求点A,B,C,D,Ai,Bi,Ci,Di的坐标；

(2)求点N的坐标.

［思路探究］将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标.

［解］⑴显然。(0,0,0),

因为点A在》轴的正半轴上，且［4。|=3,

所以A(3,0,0).同理，可得C(0,4,0),Di(0,0,5).

因为点3在坐标平面xOy内，BCLCD,BALAD,所以3(3,4,0).同理，可

得4(3Q5),Ci(0,4,5),与3的坐标相比，点B的坐标中只有竖坐标不同，13311

=|A4i|=5,则31(3,4,5).

(2)由(1)知C(0,4,0),G(0,4,5),

,(0+04+40+5、

则cc的中点N为y一，三一，三-/

规律C方法........

坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点

X轴上(x,0,0)xOy平面上(x,yO)

y轴上(0,y,0)yOz平面上(0，y，z)

2轴上(0,0,z)xOz平面上(x,0,z)

坐标原点(0,0,0)

求对称点的坐标

【例2】在空间直角坐标系中，点P(—2,1,4).

⑴求点P关于x轴的对称点的坐标；

⑵求点P关于xOy平面的对称点的坐标；

(3)求点P关于点”(2，—1，—4)的对称点的坐标.

［思路探究］求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延

长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标.

［解］(1)由于点尸关于X轴对称后，它在X轴的分量不变，在y轴、Z轴的分

量变为原来的相反数，所以对称点为。1(-2,-1,-4).

(2)由于点尸关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量

变为原来的相反数，所以对称点为P(—2,1,-4).

(3)设对称点为尸3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式，可

得x=2X2—(―2)=6,y=2X(-l)-l=-3,z=2X(—4)—4=—12,所以「3(6,

—3,—12).

厂........规律(方法.............................

1.求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均

相反.

在空间直角坐标系中，任一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下:

对称轴或对称中心对称点坐标

X轴~b,~c)

y轴(一。，b,~c)

z轴(一。，~b,c)

P(Q,b,c)xOy平面(。，b,—c)

yOz平面(­。，b,c)

xOz平面(Q,-b,c)

坐标原点(~a,-b,~c)

2.在空间直角坐标系中，若A(xi,yi,2i),3(x2,Z2),则线段A3的中点坐

何+%2yi+>2Z1+Z2)

标为I2，2'2\

空间向量的坐标表示

［探究问题］

1.在正三棱柱ABC-ALBCI中，已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,如

何建立适当的空间直角坐标系？

［提示］分别取3C,31cl的中点。，Di,以。为原点，分别以DC,DA,DDi

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

2.若筋=(a,b,c),则函的坐标是多少？

［提示］BA=(~a,-b,—c).【例3】如图，在直三棱柱ABC-ALBCI的底

面△ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AAi=2,M,N分别为AiBi,AM的

中点，试建立恰当的坐标系求向量的，BA1,的坐标.

［思路探究］以点。为原点，分别以之，CB,13的方向为x轴，y轴，z轴

的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN,BAi,分别用之，CB,左1表示

出来，再写出它们的坐标.

［解］法一：由题意知CCAC,CCi±BC,AC±BC,以点C为原点，分别

以C4,CB,CG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C盯z,

如图所示.

—>—>—>1—>—>—>—>—>1—>—>

.•.BN=A7V—A3=,CC+C4—C3=C4—C3+］CCi,...BN的坐标为(1,—1,1),

而B4i=C4i—C3=C4—CB+CCi,

.•.该i的坐标为(1,-1,2).

又,刀8=一威1,的坐标为(一1,1,-2).

法二：建系同法一,则8(0,1,0),A(1,0,0),4(1,0,2),N(l,0,1),

.•.3双=(1,-1,1),BAi=(l,—1,2),AiB=(-l,l,-2).

]....••规律c方法.......

用坐标表示空间向量的步骤

观察图形特征|根据图形特

用基底表确定向量

寻找两两垂直征建立空间

示向量的坐标

的三条直线直角坐标系

广^^备素养G

1.在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在

谁的轴上，谁属于R,其它为零；在谁的平面上，谁属于R,其它为零.”“关

于谁对称谁不变，其余变成相反数.”

2.空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择

两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形

关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.

1.3.2空间运算的坐标表示

1.空间向量运算的坐标表示

设a=(ai,ai,<23),b=(bi,bi,。3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:

运算坐标表示

加法+①+历，〃3+63)

减法g-b=(a]—bi,〃2一历，华一历)

数乘X/Z2,A/Z3),一£R

数量积a/=Qibi+。2岳+a3b3

2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示

设a=(ai,。2,。3),b—(bi,bi,b