集合（解答题）2023年高考数学一轮复习真题和模拟题测试练习（共19题）

专题1集合(解答题)2023年高考数学一轮复习真题和模拟题测试练习

三、解答题(共19题)

1.(2020•全国•一模(理))已知集合2=卜|%2一(机+2)x+(1-m)(2m+1)W0}.集合B=

卜|y=3x)(3—81)}.

(I)当m=1时，求4UB；

(H)若BU4,求实数m的取值范围.

2.(2021•河南•罗山县教学研究室--模(理))(1)设集合4={乂€/?比2一2%-1=0},B=

[x\x2+2(a4-l)x+a2-5=0}.AC\B=A,求实数a的取值集合；

(2)设A=(x\x2—(a+l)x+a<0},B={x\x2—3x—4<0},若AUB,求实数a的取值范围.

3.(2020•江西•模拟预测)已知集合A={a-2,2a2+5a},且一3GA.

(1)求a；

(2)写出集合4的所有子集.

4.(2020•广西•模拟预测)已知集合A={x|l<x<5}.B={x|0<x<4},C=(x\m+1<x<2m—

1).

(1)求4UB,CMAnB)：

(2)若Bnc=c,求实数0的取值范围.

5.(2020•山东•模拟预测)在①2eM,3€M,②函数y=;-1的图象经过点PQ-9，③a<0,2a2-

5a-3=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：已知集合”={x€卅％33+2研，N={x|l<2x+1<6},且求MCN.

6.(2020•广东中山•模拟预测)已知函数"X)=loga(2x+1)+VI=而的定义域为人不等式

[%-(m+1)]-[%-(m-1)]>0(mGR)的解集为集合B.

(1)求集合A和8；

(2)已知“xea”是“X6B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

7.(2020•福建三明•模拟预测)已知集合4={x\x2—%—12<0},B={x\x2—2x+1-m2<0,m>

0).

(1)若m=2,求4n(CRB)；

(2)%€4是》68的条件，若实数m的值存在，求出in的取值范围；若不存在，说明理由.(请

在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处)注：如果选择多个条件分别解答，

则按第一个解答计分.

8.(2021•江西•模拟预测)设全集U=R,集合A={x|2%2-9x+4W0},B={x\2—a<x<a}.

(1)当a=2时,求Cu(AuB)；

(2)若AnB=4求实数a的取值范围.

9.(2020•江苏•海安高级中学二模)已知集合A={x\x2-x-2>0},集合B={x\2x2+(2/c+5)x+

5k<0},kGR.

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(1)求集合区

(2)记M=4n8,且集合材中有且仅有一个整数，求实数攵的取值范围.

10.(2020•江西阴山县第一中学模拟预测)已知集合4={x\a-1<%<2a+1],F={x|0<%<3],

U=R.

(1)若a=[，求A。(。汴)：

(2)若4nB=0,求实数a的取值范围.

11.(2020•江西•模拟预测)已知集合4={x|2—aSxS2+a},B={x\x2—5x+4>0}.

(1)当a=3时，求4nB；

(2)若ACB=©,求实数a的取值范围.

12.(2021•江西•模拟预测)设全集U=R,集合4={x|2aWx<a+l},8={%|i<4X<64j.

(1)当a=-l时，求AU(CuB)；

(2)若4CB=4求实数a的取值范围.

13.(2021•上海民办南模中学三模)已知集合P的元素个数为3n(几6N*)且元素均为正整数，若能够将

集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合4,B,C,即P=4UBUC,4CB=。，4n

Bbb

c=0,BnC=0,其中4=…，a*}，={i>2>—>bn},C={q,C2,…，cn},且满足q<c2V

…<cn,ak+bk=ck,k=1,2,-,n,则称集合P为“完美集合

(I)若集合P={1,2,3},Q={1,2,3,456},判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；

(II)己知集合「={1,右3,4,5,6}为“完美集合”,求正整数x的值;

(III)设集合P={x|l<x<3n,neN*},证明：集合P为"完美集合"的一个必要条件是n=4k或n=

4k+1(neN*).

14.(2020•北京海淀•二模)在平面直角坐标系中，。为坐标原点.对任意的点P(x,y),定义||OP||=|x|+

X

|y|.任取点4(nyj,B{X2,y?)，记人’g,y2)>B'(2,y"，若此时||O*104'『+

口OB『成立，则称点4B相关.

(1)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①4(-2,1),B(3,2)；②C(4,-3),0(2,4).

(2)给定neN*,23,点集On={(x,y)|-?i<x47i,-n<y<eZ}.

(i)求集合。丸中与点4(1,1)相关的点的个数；

(ii)若Sao”，且对于任意的4,B6S,点48相关，求S中元素个数的最大值.

15.(2021•北京门头沟•一模)对于一个非空集合4如果集合。满足如下四个条件：①。a{(a,b)|

A,b&4}；@Va6A,(a,a)6D；③若(a,b)eD且(b,a)€0,则。=b；@Va,b,c6A,

若(a,b)e。且(b,c)eD,则(a,c)e。，则称集合〃为力的一个偏序关系.

(1)设4={1,2,3},判断集合。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合力的偏序关系，请你写出一

个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；

(2)证明：&={(a,b)|aCR,beR,aWb}是实数集〃的一个偏序关系：

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(3)设£为集合A的一个偏序关系,a,bEA.若存在ce4,使得(c,a)eE,(c,b)CE,且Vde4,若(d,a)eE,

(d/)€E,一定有(d,c)€E,则称c是a和6的交，记为c=aAb.证明：对4中的两个给定元素a,b,

若aAb存在，则一定唯一.

16.(2021•北京•人大附中模拟预测)已知S={l,2,...,n},AQS,T={tvt2}QS,记4=

(x\x=a+tbaE=1,2),用|X|表示有限集合X的元素个数.

(I)若律=5,A={1,2,5),41n42=0，求r；

(II)若n=7,I川=4,则对于任意的4,是否都存在7,使得41n42=M说明理由；

(III)若⑷=5,对于任意的4都存在T,使得4nA2=0求71的最小值.

17.(2022•北京•模拟预测)已知Sn={X|X=(%,。2，。3,…,即)，a=0或l,i=1,2,…,n}(n22),对

于4=31，。2,…,ajB=(于1，力2,…，％)eSa,，-B=(|出一瓦I，|。2—Bl，…一匕nl)，定义4与B

之间的距离为dQ4,B)=ENiQ-bt\.

(1)若U,V&S4,写出一组U,U的值，使得d(U,V)=2；

(2)证明：对于任意的U,V,WESn,d(U-W,V-W)=d(U,V');

(3)若U=31，。2，。3,…,即)，若U6Sn，求所有d(U1)之和.

18.(2022•北京丰台•一模)已知集合S={1,2,…,n}(n>3且neN*),A=,a2,-,am],且4uS.若

EAaeAe

对任意/-j(1<i<j<m),当心+aj<n时，存在以(1<fc<m),使得a+a,=ak,

则称4是S的rn元完美子集.

(1)判断下列集合是否是S={1,2,3,4,5}的3元完美子集，并说明理由；

①&={1,2,4}；②&={2,4,5}.

(2)若力={%,a2,613}是S=[1,2,-,7}的3元完美子集，求%+a2+。3的最小值；

(3)若4={的，&2,…,%„}是5={1,2,…,n}(n23且nCN*)的?n元完美子集，求证：+«2+…+2

吟也,并指出等号成立的条件.

19.(2022•北京•首都师范大学附属中学三模)设n>2且nGN,集合Un={1,2,3,4,…,2口，若对U”的

任意k元子集九，都存在a,b,c€%,满足：a<b<c,a+b>c,且a+b+c为偶数，则称瞑为理想

集，并将k的最小值记为心.

(1)当n=2时，是否存在理想集？并说明理由.

(2)当n=3时，是否存在理想集？若存在，求出心；若不存在，请说明理由.

(3)求降.

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参考答案：

1.(I)A(JB={x\—2<x<4](II)(―—3]U[3,+

【解析】

【分析】

(I)把m=l代入，求出集合A,再利用指数的单调性求解集合B,根据集合的并运算即可求解.

(】1)讨论m的取值范围，求出集合A,根据集合的包含关系可得或I；}：]]?,解不等

式组即可求解.

【详解】

(I)当m=1时，A=[x\x2-3x<0}={x|0<x<3},

B=卜|y=-3、)(3X-81)}={x|i<3^<81}={x|-2<x<4},

所以AUB={x|-2SxS4}.

(II)集合A={x\x2—(m4-2)x4-(1—m)(2m+1)<0}={x|(x+m—1)(%—2m-1)<0}

若m>0,则4={x|l—m<%<2m+1},

・2=4.解得43,

若m<0,则4={x\2m4-1<%<1-m}.

,：BQA,.,•[27+1572>解得mW-3,

的取值范围为(一叱一3]U[3,+河.

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.

2.(1)]-2}；(2)[-1,4].

【解析】

【分析】

(1)根据题意分析可得4=B,由2(a+l)=-2且a2—5=-1可解得结果；

(2)化简集合B,分类讨论a求出集合4根据AUB列式可解得结果.

【详解】

(1)AQB=A,AQB,又[中方程有两个不等实根，且6中方程最多有两个实根，

所以力=8,则2(a+l)=-2且。2-5=-1,所以a=-2,所以实数a的取值集合为{—2}.

(2)由—3x—4<0,解得—l<x<4,.'.B={x|—1<%<4},

由题意得：%2—(a+1)%+a_(x—l)(x—a)<0.

当a>l时，A={x\1<x<a}."JAB,:.1<a<4.

当a=1时，A=或前足条件.

当a<1时，A={x[a<x<1}.AQB,-1<a<1.

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综上，实数a的取值范围是

【点睛】

本题考查了由集合之间的关系求参数，考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.

3.(1)a=—-i(2)0,{-9,{-3},{—('一

【解析】

(1)由—364,求得a=—1或。=一|,结合元素的特征，即可求解；

(2)由(1)知集合4={—g-3},根据集合子集的概念，即可求解.

【详解】

(1)由题意，集合力={a-2,2a2+5a},且-3€4,

可得—3=a—2或—3=2a2+5a,解得a=—1或a=—|,

当a=-l时，a-2=-3=2。2+5,集合4不满足互异性，所以a=-l舍去；

当a=-|时，经检验，符合题意，故a=—|.

(2)由(1)知集合4={一.一3,

所以集合4的子集是。，{一孑{一3}，

【点睛】

本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力,

属于基础题.

4.⑴AUB={x[0<xW5}；CRG4nB)={xIxS1酶24};(2)m<|.

【解析】

(1)由并集的定义，以及交集和补集的定义进行计算即可；

(2)BnC=C等价于CUB,按8和8力0讨论，分别列出不等式，解出实数〃的取值范围.

【详解】

(1)/1UB={X|0<X<5}；

CRQ4nF)={xI%<1或x>4}

(2)因为BnC=C,所以CW8.

当8=0时，m+1>2m—1,即?nW2；

+1<2m-1

当B片0时，m+1>0,即2cmW|

2m—1<4

综上，m<|

5.选择见解析；{1,2}.

【解析】

【分析】

选择①，由2€M,3£M,得到M={0,1,2},结合集合交集的运算，即可求解；

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选择②，求得。=-也得到M={0,1,2},结合集合交集的运算，即可求解；

选择③，求得a=-：,得到M={0,1,2},结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

选择①，因为26M,3CM,所以2s3+2a<3,

又因为xeN,所以"={0,1,2}.

因为N={x|l<2x+1<6}={x|0<x<|j,所以MnN={1,2).

选择②，将P(2,—{)的坐标代入、=解得a=—土

故"={x€N\x<2}={0,1,2},

因为N={x|l<2x+1<6}=[x|0<x<|j,所以MnN={1,2}.

选择③，a<0且2a2-5a-3=(2a+l)(a-3)=0,解得a=-1或a=3(舍去)，

故"={xeN\x<2}=[0,1,2}.

因为N={x|l<2x+1<6}={x|0<x<|],所以MnN={1,2).

6.(1)A={x[—g<xW：}；8={x|x<m—1或x>m+1}；(2)mW—|或7n>：.

【解析】

【分析】

(1)使式子有意义可得已匕：：及，解不等式可求出4解一元二次不等式可求出B；

(2)由题意可得集合4是集合B的真子集，再由集合的包含关系即可求解.

【详解】

(1)函数/(%)=loga(2x4-1)+13—4%有意义,

则解得-24

所以集合A=卜|一

由不等式[x—(m+1)],[x-(zn-1)]>0得x>m+1或x<m—1,

所以集合B-[x\x<m—1或x>m+1].

(2)因为“xeA”是“x€B”的充分不必要条件，

所以集合4是集合B的真子集，

所以m+1W或m-1>',所以mW-|或

7.(1)4C(CRB)={X|—3Wx<-l或3<x<4}

(2)条件选择见解析，答案见解析

【解析】

【分析】

(1)求出集合4、B,利用补集和的交集的定义可求得结果；

(2)求出集合8,根据所选条件可得出集合4、B的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，解之即可得

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出结论.

(1)

解：由不等式/-%-12=(%-4)(%4-3)<0,解得一3<%<4,可得/={%|-3<%<4]

当m=2时，不等式——2%—3=(%—3)(%4-1)<0,解得—1<x<3,即B={x|—1<%<3},

可得CRB=(x\x<-1或%>3],

所以/n(CRB)={x|-3<x<-l或3Vx44}.

(2)

解：由不等式/—2%4-1—m2=(%—m—l)(x4-m—1)<0(m>0),解得1—TnWxWl+ni,

所以B={x|l—m<%<1+m,m>0}.

(1—niM—3

若选择条件①，则集合A是B的真子集，得zn+124,解得m>4.

(m>0

当m=4时，B={x|—3<x<5},AB,合乎题意；

1—>—3

若选择条件②，则集合B是4的真子集，得m+144,解得0<znW3.

m>0

当?n=3时，B={x|-2<x<4},则8A,合乎题意；

(1-TH=-3

若选择条件③，则集合4=B,得m+l=4无解，所以不存在满足条件③的实数m.

{m>0

8.(1)(―0°,0]U(4,+°0)

(2)(4,4-0°)

【解析】

【分析】

(1)利用并集和补集的基本运算结合一元二次不等式的解法即可求解；

(2)根据交集的运算结果得出集合间的包含关系，再利用分类讨论即可求出实数a的取值范围

(1)

解：当a=2时，B={x|0<x<2},A={x\2x2-9x+4<0]={x|(x-4)(2x—1)<0}=|<x<4

所以AUB=(0,4]

又全集U=R

所以Cu(AUB)=(-8,0]u(4,+°°)

(2)

解：由(1)知，A=^x\^<x<4^,B=(x\2-a<x<a}

由2nB=4可得：AQB,则

(2-a<a

<2—a<^,解得：a>4

a>4

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所以实数a的取值范围为：ae(4,+8)

9.(1)B=(——,-k)(2)[—3,2)U(3,4]

【解析】

(1)由不等式2/+(2k+5)x+5/c<0可得(2x+5)(%+fc)<0,讨论-k与一|的关系，即可得到结果；

(2)先解得不等式/-X-2>0,由集合”中有且仅有一个整数,当一k<一|时,则材中仅有的整数为-3；

当一上>一|时，则"中仅有的整数为-2,进而求解即可.

【详解】

解：⑴因为2#2+(2/£+5)4+5+<0,所以(2芯+5)。+十<0,

当一k<-|,即上>|时,B=(-k,-|)；

当一k=—|,即k=|时,8=0;

当一k>-|,即k<|时,B=

(2)由一％一2>0得x6(-8,一1)u(2,+力)，

当一k<-|,即k>3时，”中仅有的整数为一3,

所以一4<—k<—3,即々6(3,4]；

当一k>-|,即k<1时，"中仅有的整数为一2,

所以-2<—k<3,即kG[—3,2)；

综上,满足题意的k的范围为[一3,2)U(3,4]

【点睛】

本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.

10.(1)—|<x<oj；(2){a|aW—g或a24}.

【解析】

【分析】

(1)利用交并补的定义计算可得答案；

(2)按力=确1工片多类讨论，列出不等式，解出a的取值范围.

【详解】

(1)若a=[时4={x|—：<x<2),B={x|0<x<3}»

由CuB={x\x<0或x>3],所以An(QB)={x|-^<x<o]

(2)由AnB=函

当/=褂fci—1>2a+1;•aW—2

当4彳^a-l>31或12：:建/心4或-2<a<-1

综上：a的取值范围是{a|aS-:或a24}.

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【点睛】

本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围问题，属于中档题.

11.(1)或4WXW5}；(2)

【解析】

(1)当a=3时，先分别化简集合4B,再求ACB；

(2)anB=0,也就是，集合46没有公共元素，这样，就可以建立不等关系，从而可求实数a的取

值范围.

【详解】

(1)当a-3时，>1={x|—1<x<5},B={x|x2—5x+4>0}=[x\x<1或%>4},

：.AnB={x|-l<%<1或4WxW5}；

(2)因为ACB=<f>,

(2-a>1

所以2+a<4或2-a>2+a,解得OWa<l或a<0,

(.2-aW2+a

所以a的取值范围是(-si).

【点睛】

本题考查交集的求法，考查由交集的结果求参数的取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常

考题.

12.(l){x|xW0或3Wx}

(2)(―1,+0°)

【解析】

【分析】

(1)化简集合46,根据集合的并集、补集运算求解；

(2)由4CB=4则/U8,分A=0,寸论，分别建立不等式求解即可.

(1)

当a=-l时，可得：A={x\-2<x<0},

又B=(x|i<4X<64}={x|-l<x<3},

所以QB={x|x<-1或x>3],

所以AU(Cy5)={x|x<0或3<x}.

(2)

由AnB=A,则B,

当4=曲',则有2a>a+1,解得a>1,

(-1V2a

当4。曲，由/旦4可得，a+1<3,

(a<1

解得—[<a<1.

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综上，实数a的取值范围(一：,+河.

13.(I)集合P是“完美集合”，集合Q不是“完美集合”，理由见解析；(II)7,9,11中中任一个;

(HD详见解析.

【解析】

【分析】

(I)根据“完美集合”的定义判断.

(H)根据“完美集合”的定义，写出集合4,B,C的所有情况，算出x的所有可能的值.

(III)根据集合P中所有元素的和为1+2+3+…+3几=犯等西，以及a1+bi+q+a2+b2+

c2+...+a3n+b3n+c3n=2(q+c2+c3+cn_x+d)和%=3n

得到邺炉=0+C2+C3+,利用/为正整数求解.

4

【详解】

(I)P={1,2,3}是“完美集合”，此时，A={1},B={2},C={3},

满足q<c2<<cn,ak+bk=ck.

Q={123,4,5,6}不是“完美集合”，

若Q为“完美集合”，将Q分成3个集合，每个集合中有两个元素，则的+瓦=&,a2+b2=c2.

Q中所有元素之和为21,21+2=10.5不符合要求.

(II)由(I)可得x丰2,

若4={1,3},B={4,6},根据“完美集合”的定义,

则C=[5,%],*=3+6=9.

若4={1,4},B={5,3},根据“完美集合”的定义,

则。={6,x},x=3+4=7.

若4={1,5},B={6,3},根据“完美集合”的定义,

则C={4,x}>x=5+6=11.

综上：正整数x的值为，9,7,11中任一个.

(III)设集合P中所有元素的和为1+2+3+…+3n=邺啜2,

c

而+瓦+C1+@2+匕2+C2+…+。3九+^3n+3n=2(Q+C2+C3+Cn_1+Cn),

因为Cn=3n,

(

所以3n(3;+l)=2q+02+C3+Cn_1+Cn),=C1+C2+C3+Cn_x+Cn，

9n(n-l)

=Q+C2+C3+,

4

等号右边为正整数,

则等式左边9几5-1)可以被4整除,

所以Ti=4k或n-1=4k,

即九=4k或n=4fc4-1(nGN*).

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【点睛】

本题主要考查了集合的新概念问题，集合的运算以及等差数列的求和公式，还考查了分类讨论思想和运算

求解的能力，属于难题.

14.(1)①相关；②不相关.(2)⑴4层+5个(ii)8n-1.

【解析】

【分

(1)根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符

合定义要求.

(2)(i)根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合0"

中与点4(1,1)相关的点的个数；⑺)由(1)可知相关点满足(与-不)(％-丫2)20,利用分类讨论证明

1(%+%)-(必+丫2)1>1)即可求得S中元素个数的最大值•

【详解】

若点4区,比),8。2，、2)相关，则4'(卬丫2),B(X2，%)，而点P|l=|x|+lyl，

不妨设Xi>0,y!>0,x2>0,y2>0,

222222x2

则由定义||0川|2+||0B||>.04||+10B||可知01+yi)+(X2+y2)2Qi+72)+(z+yi)>

化简变形可得(M-X2)(yi-y2)>0,

(1)对于①4(一2,1),B(3,2)；对应坐标取绝对值，代入可知(2-3)(1-2)20成立，因此相关；

②对应坐标取绝对值，代入可知(4-2)(3-4)<0,因此不相关.

(2)(i)在第一象限内，(x-l)(y-1)N0,可知11Wx4n且1<y<%有，个点；同理可知，在第二

象限、第三象限、第四象限也各有小个点.

在x轴正半轴上，点(1,0)满足条件；在x轴负半轴上，点(-1,0)满足条件；

在y轴正半轴上，点(0,1)满足条件；在y轴负半轴上，点(0,-1)满足条件：

原点(0,0)满足条件；

因此集合。“中共有4n2+5个点与点4(1,1)相关.

(ii)若两个不同的点力(X1%),8(x2,丫2)相关，其中打，x2>0,%,y2>0,

可知(由-x2)(yi-%)20.

下面证明1(3+yj-(x2+72)I21.

若％1=x2>则为*y2>成立；

若>x2，则%>y2>

若与<x2,则yi<y2,亦成立.

由于101+%)-(%2+Y2)l<(n+n)-(0+0)=2n,

因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2〃-1个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，

一个点为原点.

因此S中元素个数的最大值为4(2n-l)+2-l+l=8n-l.

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【点睛】

本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.

15.(1)集合D={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}不是集合4的偏序关系,{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}，

(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据条件显然(L2)(2,3)但(1,3)CD所以不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四

个条件的集合即可.

(2)依次证明集合《满足题目中的四个条件即可.

(3)设为c=aAb,则cGA,贝！］(c,a)€E,(c,b)eE,假设还存在一个/,使得/=aAb,则可以得到(f,c)G

E,(c,/)6E,由条件③可得c=/从而得证.

【详解】

⑴由。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}

显然(1,2)6。，(2,3)6。，f0(l,3)eD

所以不满足条件④Va,b,c64,若(a,b)e0且(b,c)e。，贝！］(a,c)6。

所以集合。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}不是集合A的偏序关系.

集合{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}满足条件①②③④，

所以集合{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}是集合A的偏序关系.

(2)/?<={(a,6)|aGR,b6R,a<6}

所以&={(a,b)|a6R,b6R,aSb}u{(a,b)|a6R,b6R},则满足①

又aWb,所以Va€4,(a,a)ED,则满足②

由于aSb,则当若(a,b)6D,则(b,a)任。，也满足③

由于&={(a,b)|aeR,b€R,a4b},Va,b,ceA,

若(a,b)6D则aWb,若(b,c)€D,则bWc,所以aWc

所以(a,c)CD,所以满足④

所以&={(a,b)IaeR,bGR,a<b}是实数集斤的一个偏序关系

(3)对1中的两个给定元素a,b,若aAb存在，设为c=a/\b

所以ce4,(c,a)6E,(c,b)GF,

假设还存在一个/,使得/=aAb

则(f,a)eE,(f.b)GE,又对于c"有(c,a)€E,(c,b)GE,则(/,c)eE

由C64(c,a)eE,(c,b)6E,对于/64有(fa)6E,(f,b)6E,则(c,f)6E

由条件③Va,be4,若(a,b)€。且(b,a)e。，则a=6可得c=/

所以对/中的两个给定元素a,b,若aAb存在，则一定唯一

【点睛】

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关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③Va,6€4若

(a,b)€。且(8a)eD,则。=b,以及c=aAb的意义,假设还存在一个/，使得/=aAb,则可以得到

(7,c)eE,(c,/)GF,属于难题.

16.(I)7={1,3},或7={2,4},或7={3,5}；(II)不一定存在，见解析；(III)11.

【解析】

【分析】

(I)由已知得ti-t2中。一人其中a,be4"相差2，由此可求得。

(II)当4={1,2,5,7}时，2—1=1,5-1=4,5-2=3,7-1=6,7-2=5,7-5=2.则口，

t2相差不可能1，2,3,4,5,6,可得结论.

(III)因为C£=10,故集合/中的元素的差的绝对值至多有10种，可得"的最小值.

【详解】

(I)若41nA2=0,则其中a,ben,否则匕+。=12+从&n出力0,

又n=5,A={1,2,5}>2—1=1,5—2=3,5—1=4,则“，相差2，

所以7={1,3},或7={2,4},或T={3,5}；

(II)不一定存在，

当4={1,2,5,7}时，2—1=1,5-1=4,5-2=3,7-1=6,7-2=5,7-5=2,则％相差

不可能1.2,3,4,5,6,

这与T={t「tz}u{l,2,3,4,5,6,7}矛盾，故不都存在7：

(III)因为鬣=10,故集合/中的元素的差的绝对值至多有10种，

当n>12时，结论都成立；

当n=11时，不存在AuS,M|=5,使得A中任意两个元素差不同，所以当n=11时，结论成立；

当n=10时，若4={1,3,6,9,10},则不存在7,所以n的最小值为11.

【点睛】

关键点睛：本题考查集合的新定义，解决此类问题的关键在于准确理解集合的新定义，紧扣定义解决问题.

17.(1)1/=(0,1,0,0),V=(1,1,0,1)(答案不唯一)

(2)证明见解析

⑶n-2n-i

【解析】

【分析】

(1)根据定义写出所求即可；

(2)设U=(的,。2，。3,…，an)，V=(bi，b2,b3l-,bn),W=(c1,c2,c31—,cn)&Sn,由题中定义首先证明

对于任意的u,V,/eSn,有u-皿eSn,V-/eSn,u-vesn,然后分类讨论证明d(u-w,v-w)=

d(U,U)即可;

(3)易知％中共有2n个元素，分别记为取(k=1,2,…,2"),对于U=(瓦,尻/3……匕)，分别求出d=0和

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d=1的鼠的个数，从而可得出答案.

(1)

解：(U=(0,1,0,0),V=(14,0,1)(答案不唯一)；

(2)

证明：设U=…，的!)，用=(瓦/2，=，…，匕)，w=(q,C2，C3,…，C")eS.,

因为cij,G6{0,1},所以依一C{0,1},(i=1,2,...,n)

从而U—W=(|a1—Cil，\a2—c2\,\an—cn|)GSn,

同理V一/=(|瓦一C1\,\b2-C2|,-|6n-Cnl)GSn,

G

u-V=(1%—btl，\a2-b2\,"-\an-勾1)Sn,

又d(U-W,V-W)=£%|心一Gl-I仇一Cill，

由题意知见,bt，Cte[0,1}(i=1,2,...,n).

当q=0时，

||七-4|一山一Q||=||a(-6/11；

当q=1时，

||a；-c；|-\bi-c|||=||az—1|—\b[—1||=|(1-az)-(1--)|=-bt\

所以d(U-W,V-W)=22i|七-仇|=d(U,V)；

(3)

解：易知％中共有2几个元素，分别记为限(k=1,2,…,2"),

对于V=(i>i，b2,bi...bn),

,:瓦=0的％共有211T个,bt=1的九共有2"T个，

nnxnr

(2"T|%-0|+2-1|%-1|+2-1|。2-0|+2"T|a2-1|+…+2时”£1n-0|+2-|an-1|)=n-2-

•••2：：/((7,%)=入2-1,

故所有d(U,V)之和为n-2"-i.

【点睛】

本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，解题时需要认真审题，抓住新定义的本质.

18.(1)&不是S的3元完美子集；%是S的3元完美子集；理由见解析

⑵12

(3)证明见解析；等号成立的条件是电=喏€N*且为=—(2<i<m)

【解析】

【分析】

(1)根据m元完美子集的定义判断可得结论；

(2)不妨设的<a?<a?.由%=1,%=2,%23分别由定义可求得a1+a?+a?的最小值；

(3)不妨设由<a2<•••<am,有/<a；+aj<a,+a2<…<a；+am+i-tn.a,++a2,…，a,+

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Qm+1-i是A中租+1-i个不同的元素，且均属于集合｛%+1，4+2,…,。加｝，此时该集合恰有血一i个不同的元

素，显然矛盾.因此对任意lWiWm,都有七+Q^+IT3九+1,由此可得证.

(1)

解：(1)①因为1+2=345,又3041，所以乙不是S的3元完美子集.

②因为2+2=445,且4£42，而5+5>4+5>4+4>2+5>2+4>5,

所以4是S的3元完美子集.

(2)

解：不妨设a2Vg.

若的=1,则QI+QI=2£4,1+2=3G>1,1+3=4W4与3元完美子集矛盾；

若为=2,则%+。1=464,2+4=6G^4,而2+6>7,符合题意，此时的+g+。3=12.

若%>则%+于是a>所以的

3,a1N6,w24,36,+a2+a3>13.

综上，%+的+%的最小值是12.

(3)

证明：不妨设的Vg<…V/n・

对任意1<i<m,都有见+Qm+IT>n+1,

否则，存在某个i(lWiMm),使得Qi+Qm+l.iW儿

由的<a<</+即<。^m+l-iW/.

2…<am,得/Qj+2<…<%+

所以见+alfat+a2，…，&+%n+i-t是力中m+1-i个不同的元素，且均属于集合｛%+1，田+2,…，％n｝，

该集合恰有m-i个不同的元素，显然矛盾.

所以对任意1<i<m9都有见+Qm+l-i>n+l.

于是2(%+。2+…+/n-l+a?n)=(%+Qm)+(。2+*-1)+…+(«m-l+。2)+(flm+%)之机(九+D・

即的+a2------H>吗+D.

等号成立的条件是由=鬻6(且因=—(2<i<m).

7M+1IP1Tn+1、'

19.(1)不存在，理由见解析；

⑵存在，K3=6；

(3)6

【解析】

【分析】

(1)根据理想集的定义，分3元子集、4元子集分别说明判断作答.

(2)根据理想集的定义，结合(1)中信息，说明判断5元子集，6元子集作答.

(3)根据理想集的定义，结合(1)(2)中信息，判断U的所有6元子集都符合理想集的定义作答.

(1)

解：依题意，九要为理想集，k>3,

当n=2时，U2=[1,2,3,4｝(显然｛2,3,4｝=/，有2<3<4,2+3>4,而2+3+4不是偶数，即存在3

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元子集不符合理想集定义，

而{123,4}〈4，在口,2,3,4}中任取3个数，有4种结果，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4,它们都不符合理想

集定义，

所以当n=2时，不存在理想集.

(2)

解：当n=3时，/={123,4,5,6},由(1)知，存在3元子集{2,3,4}、4元子集{1,2,3,4}均不符合理想集

定义，

5元子集{1,234,6},在此集合中任取3