高中数学《正弦定理》教学设计

《正弦定理》教学设计

一、教材分析

正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章LL1的内容，是使学生在已

有知识的根底上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角

之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学

习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程

中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般

三角形进行推导证明，并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问

题：

(1)两角和一边，解三角形；

12)两边和其中一边的对角，解三角形。

二、学情分析

本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④根本初等函数n和三角恒

等变换的根底上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高

一学生对生产生活问题比拟感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，

使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标

和重、难点。

三、教学目标：

1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定

理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发，共同探究在任意三角形中，边

与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜测，由特殊到一般归纳

得出结论的能力和化未知为的解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学气氛，通过学生之

间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的

体验，激发学生学习的兴趣。

四、教学重点与难点：

重点：正弦定理的探索和证明及其根本应用。

难点：

①正弦定理的证明；

②了解两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。

五、学法与教法

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：一j=—4=—

接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证

法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、

“会类比”、"会分析”、"会论证”的能力。

教法：运用“发现问题一自主探究一尝试指导一合作交流”的教学模式

(1)新课引入一一提出问题，激发学生的求知欲。

(2)掌握正弦定理的推导证明一一分类讨论，数形结合，动脑思考，由特殊

到一般，组织学生自主探索，获得正弦定理及证明过程。

(3)例题处理一一始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

(4)稳固练习一一深化对正弦定理的理解。

六、教学过程

创设问题情境：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。

测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出两点间A、C的距离55m,

ZACB=60°,NBAC=45°求A、B两点间的距离。

B

引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法.

启发学生发现问题实质是：AABC中NA、NC和AC长度，求AB距离.即:

三角形中两角及其夹边，求其它边.

新知探究

1.提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角

关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢？

2.解决问题：

回忆直角三角形中的边角关系：

根据正弦函数的定义有：

sinA=—,sinB=—,sinC=l

cco

经过学生思考、交流、讨论得出:

---a--=---b--=---c---,

sinAsinBsinC

问题1:这个结论在任意三角形中还成立吗？

（引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知

为的思路，构造直角三角形完成证明。）

①当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据锐角三角函数的定

义，有。=asin5,CD=bsinA。

由此，得ab

sin/sinB,

同理可得c_b

sinCsinB

故有ab

sin/six\BsinC

从而这个结论在锐角三角形中成立.

②当AABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D,

根据锐角三角函数的定义，有a?=asinNd39=asinN/K7,CD=hsinA。

C

由此，得a_b

sinZsir\Z.ABC,

同理可得cb

sinCsinZABC

故有b_c

sin力six\Z.ABCsinC.

由①②可知，在AABC中，==-^成立.

sin力sinnsine

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

a_b_c

sinJsin5sinC.

这就是我们今天要研究的一一正弦定理

思考：你还有其它方法证明正弦定理吗？（由学生讨论、分析）

证明一：（等积法）在任意斜AABC当中

SAABC=—^^sinC=—acsinB=—bcsinA

222

两边同除以Labe即得：

2sinAsinBsinC

证明二：（外接圆法）

如下图，NA=ND/.=——=CD=2R

sinAsinD

同理，-=2R,-=2R

sinBsinC

证明三：（向量法）

过A作单位向量］垂直于恁

由AC+CB=AB

两边同乘以单位向量］得J•（AC+CB）=J•AB

贝l］j•AC+j•CB=j•AB

：.|J|AC|cos90°+)|CBcos(90°-C)=J|AB\cos(90°-A)

/.asinC=csin4----------

sinAsinC

同理，假设过c作亍垂直于无得：，-=_L.

sinCsinB

・ci_b_c

••o

sinAsinBsinC

正弦定理：，-=±=_J=2R(R是AA8C外接圆的半径)

sinAsinBsinC

变形：6Z:Z?:c=sinA:sinB:sinCo

接着给出解三角形的概念：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对

边a、b、c叫做三角形的元素，三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角

形.

问题2：你能否从方程的角度分析一下，解三角形需要三角形中的几个元

素？

问题3：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

(1)三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

(2)三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其

他的边和角。

3.应用定理：

例1.应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.

题目见创设问题情境，引导学生给出解决方法

例2.(1)在A48c中，5=若,8=60°"=1,求。和4,。.

(2)在AABC中，c=遥,A=45°,a=2,求8和8,C.

解：m..•上=，，..sinc=3=lr^i=L

sinBsinCh62

■.■b>c,B=60°,:.C<B,C为锐角,

...C=30°,B=90°：.a7b2S=2

（.^.C=30°或C=150°,而C+B=210°>180°]

（o,）ac.八csinA#xsin450V3

l乙J———=———sinC=--------=----------------=——

sinAsinCa22

vcsinA<a<c,：.C=60°或120°

.•.当C=60°时，8=75°,分=竺皎=典邛工6+1,

sinCsin60°

..当C=120°时，B=15°,b==V3-1

sinCsin600

:n=6+1,B=75°,C=60°或8=g—1,8=15°,C=120。

变式训练：

根据条件，求解三角形

Q)a==5,乙4=45。

(2)第=、回,5=石,44=45。

(3)4=或,力=后，4=45。

3

七、课堂小结：(学生发言，互相补充，老师评价.)

1.用三种方法证明了正弦定理：

(1)转化为直角三角形中的边角关系；

(2)利用向量的数量积.

(3)外接圆法

2.理论上正弦定理可解决两类问题：