北京市顺义区2025届高三数学一模试题含解析

北京市顺义区2024届高三数学一模试题考生须知：1．本试卷共5页，共两部分，第一部分共10道小题，共40分，其次部分共11道小题，共110分，满分150分．考试时间120分钟．2．在答题卡上精确填写学校、姓名、班级和教化ID号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由集合的交集运算得出答案.【详解】，，，故选：C.2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为复数对应点的坐标为，则所以故选:A3.的绽开式中的常数项为A. B. C.6 D.24【答案】D【解析】【分析】利用二项绽开式的通项公式求出绽开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出绽开式的常数项．【详解】解：二项式绽开式的通项为，令，解得，所以绽开式的常数项为.故选：D4.若等差数列和等比数列满意，则的公差为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】依据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，又又，故选：A5.函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析给定函数的奇偶性、单调性即可推断作答.【详解】函数定义域为R，，函数是R上的奇函数，函数的图象关于y轴对称，选项A，D不满意；因为函数在R上单调递增，在R上单调递减，则函数在R上单调递增，选项C不满意，B满意.故选：B6.若双曲线的离心率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据双曲线离心率的学问求得正确答案.【详解】，由于，所以，所以，故选：C7.已知，，则“存在使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由诱导公式和余弦函数的特别函数值，结合充分、必要条件学问进行推理可得.【详解】若存在使得，则，∴，即，∴存在使得，∴“存在使得”是“”的充分条件；当时，，此时∴存在使得，∴“存在使得”不是“”的必要条件.综上所述，“存在使得”是“”的充分不必要条件.故选：A.8.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的阅历公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.【详解】由题意可得，所以，，所以，，所以，.故选：B9.在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（）A.与无关，与有关 B.与有关，与无关C.与都有关 D.与都无关【答案】D【解析】【分析】依据得出平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，得到点到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，并补随的改变而改变，进而得到答案.【详解】因为为正方体，所以因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的改变而改变，设点到平面的距离为，过点作，依据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以（定值），所以（定值），则三棱锥的体积不随与的改变而改变，也即与与都无关.故选：.10.已知点A，B在圆上，且，P为圆上随意一点，则的最小值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可设，，然后依据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上随意一点，则，设，，所以，所以，即的最小值为故选：D.【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法一是利用基底法，结合平面对量基本定理及数量积的定义求解；二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.其次部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域为______________．【答案】【解析】【分析】依据题意，列出不等式，求解即可得到结果.【详解】因为函数则，解得且所以函数的定义域为故答案为:12.已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为_____________．【答案】【解析】【分析】依据垂径定理得到，依据两直线垂直时斜率的关系得到，然后利用斜截式写直线方程，最终整理为一般式即可.【详解】可整理为，所以圆心为，依据垂径定理可得，，所以，直线AB的方程为整理得.故答案为:13.若存在使得，则m可取的一个值为_____________．【答案】（内的任一值均可）【解析】【分析】依据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解.【详解】因为存在使得，也即函数有零点，则有，解得：，所以可取内的随意一个值，取，故答案为：.（内的任一值均可）14.在中，，，，则___________，_____________．【答案】①##②.【解析】【分析】利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；利用余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值.【详解】因为，由正弦定理可得，因为、，则，所以，，则，故，由余弦定理可得，即，，解得.故答案为：；.15.假如函数满意对随意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论：①为优函数；②若为优函数，则；③若为优函数，则在上单调递增；④若在上单调递减，则为优函数．其中，全部正确结论的序号是______________．【答案】①②④【解析】【分析】①计算出，故，得到①正确；②赋值法得到，，依次类推得到；③举出反例；④由在上单调递减，得到，整理变形后相加得到，即，④正确.【详解】因为，所以，故，故是优函数，①正确；因为为优函数，故，即，，故，同理可得，……，，②正确；例如，满意，即，为优函数，但在上单调递减，故③错误；若在上单调递减，任取，，则，即，变形为，两式相加得：，因为，所以，则为优函数，④正确.故答案为：①②④【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为详细的简洁的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，假如能清楚描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发觉新信息与所学学问的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）假如新信息是课本学问的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么状况下可以运用书上的概念.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知函数的一个零点为．（1）求A和函数的最小正周期；（2）当时，若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，协助角公式后再求周期.（2）若恒成立，即求.【小问1详解】的一个零点为，即，所以函数的最小正周期为.【小问2详解】当时有最大值，即.若恒成立，即,所以，故的取值范围为.17.为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：康复时间只服用药物A只服用药物B7天内康复360人160人8至14天康复228人200人14天内未康复12人40人假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：（3）从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为1（3）2【解析】【分析】（1）结合表格中数据求出概率；（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望；（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.【小问1详解】只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；【小问2详解】只服用药物A的患者7天内康复的概率为，只服用药物B的患者7天内康复的概率为，其中X的可能取值为，，，，则分布列：012数学期望为；【小问3详解】只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，，令，即，解得：，因为，所以.18.如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．（1）求证：直线∥平面；（2）已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．条件①：平面平面；条件②：．注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】（1）依据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）依据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.【小问1详解】取PA中点F，连接，因为E是的中点，F是PA中点，所以是中位线，所以平行且等于AD的一半，因为，所以平行于，又，所以与平行且相等，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE平行于BF，而平面，平面，所以直线∥平面.【小问2详解】若选①：平面平面，取AD中点O，因为侧面为等边三角形，所以平面，易证平面，以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，,所以,所以，所以所以，所以,,设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以，易知地面一个法向量为，又二面角的大小为，所以，所以，解得，又点M在棱上，所以，所以，所以的值为.若选②：则取AD中点O，因为侧面为等边三角形，所以平面，连接OA,OC,OD，易知，所以，以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，,所以,所以，所以所以，所以,,设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以，易知地面一个法向量为，又二面角的大小为，所以，所以，解得，又点M在棱上，所以，所以，所以的值为.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；(2)对a进行分类探讨，由此求得的单调区间．【小问1详解】当时，，所以又因为，，所以在处的切线方程为，即【小问2详解】由题意知，的定义域为R①当时，，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，由得或，（i）若，则，所以在R上单调递增，（ii）若，则，所以当或时，当时，所以在上单调递减，在和上单调递增，（iii）若，则，所以当或时，当时，所以在上单调递减，在和上单调递增，综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和．20.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值．【小问1详解】由题意，可得，解得，，，所以椭圆为.【小问2详解】证明：把代入椭圆方程，得，所以，即，设，，则，，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以点坐标为.又因为点在椭圆上，所以，即.因为，即.又点到直线距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.21.已知为正整数数列，满意．记．定义A的伴随数列如下：①；②，其中．（1）若数列A：4，3，2，1，干脆写出相应的伴随数列；（2）当时，若，求证：；（3）当时，若，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）依题意，可干脆写出相应的伴随数列；（2）探讨，两种状况，利用反证法即可求解；（3）探讨，两种状况，当时，由（2）