新教材适用2024-2025学年高中数学第4章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示法素养作业新人教A版选择性必修第二册

第四章4.1第1课时A组·基础自测一、选择题1．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是(A)A．①② B．①②③C．②③ D．①②③④[解析]数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sineq\f(nπ,2)，也可以是an＝coseq\f(n＋3π,2)等等．2．已知数列{an}的通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n－1n为奇数，,2n－2n为偶数，))则a2a3的值是(D)A．70 B．28C．20 D．16[解析]a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.3．2n是数列1,2,4，…，2n，…的第_____项(B)A．n B．n＋1C．n－1 D．n＋2[解析]数列第1项为20，第2项为21，则2n为n＋1项．4．数列1，eq\f(1,2)，eq\f(2,1)，eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)，eq\f(4,1)，…，则eq\f(4,5)是该数列的第_____项(D)A．9 B．10C．31 D．32[解析]视察可得出，数列的特性：依据分子分母的和以及分子由小到大排列．分子分母和为2的有1项，和为3的有2项，和为4的有3项，…，和为n的有n－1项．eq\f(4,5)的分子分母之和为9，且为和为9中的第4项，又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋4＝32，所以eq\f(4,5)是数列中的第32项．故选D.5．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(2n,n＋1)，那么这个数列是(A)A．递增数列 B．递减数列C．摇摆数列 D．常数列[解析]an＝eq\f(2n,n＋1)＝2－eq\f(2,n＋1)单调递增．故选A．6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(A)A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项[解析]an＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(21,4)))2＋eq\f(441,8)，因为n∈N*,5<eq\f(21,4)<6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A．二、填空题7．视察数列1，ln2，sin3,4，ln5，sin6,7，ln8，sin9，…，则该数列的第11项等于_ln_11__.[解析]由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的依次排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由11＝3×3＋2，所以该数列的第11项为ln11.8．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n＋1,3n－16)(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第_6__项．[解析]an＝eq\f(n＋1,3n－16)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(19,3n－16)))，当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，∴当n＝6时，an最大．三、解答题9．写出下列数列的一个通项公式．(1)－eq\f(1,1＋1)，eq\f(1,4＋1)，－eq\f(1,9＋1)，eq\f(1,16＋1)，…；(2)2,3,5,9,17,33，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(2,5)，eq\f(3,10)，eq\f(4,17)，eq\f(5,26)，…；(4)1，eq\f(4,3)，2，eq\f(16,5)，…；(5)－eq\f(1,3)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,15)，eq\f(1,24)，…；(6)2,6,12,20,30，….[解析](1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·eq\f(1,n2＋1).(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，∴an＝2n－1＋1.(3)a1＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,11＋1)，a2＝eq\f(2,5)＝eq\f(2,22＋1)，a3＝eq\f(3,10)＝eq\f(3,32＋1)，a4＝eq\f(4,17)＝eq\f(4,42＋1)，…，∴an＝eq\f(n,n2＋1).(4)a1＝1＝eq\f(2,2)，a2＝eq\f(4,3)，a3＝2＝eq\f(8,4)，a4＝eq\f(16,5)，…，∴an＝eq\f(2n,n＋1).(5)a1＝－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,1×3)，a2＝eq\f(1,8)＝eq\f(1,2×4)，a3＝－eq\f(1,15)＝－eq\f(1,3×5)，a4＝eq\f(1,24)＝eq\f(1,4×6)，∴an＝(－1)n·eq\f(1,nn＋2).(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．10．已知数列{an}满意an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n为奇数，,n，n为偶数，))试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．[解析]∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.B组·素养提升一、选择题1．对随意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满意an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是(A)[解析]据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满意an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满意y>x，结合图象，只有A满意，故选A．2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于说明中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经验过的两翼数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为(B)A．212 B．200C．186 D．162[解析]由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.3．(多选题)已知n∈N*，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(ABC)A．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数)) B．an＝eq\f(1＋－1n,2)C．an＝eq\f(1＋cosnπ,2) D．an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))[解析]A中，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满意条件；B中，an＝eq\f(1＋－1n,2)，满意条件；C中，an＝eq\f(1＋cosnπ,2)，满意条件；D中，an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满意条件．故选ABC．二、填空题4．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为_(－2,1)__.[解析]∵数列：2a－1，a－3,3a－5为递减数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>a－3，,a－3>3a－5，))解得－2<a<1.∴a的取值范围为(－2,1)．5．已知数列{an}，an＝cosnθ，0<θ<eq\f(π,6)，a5＝eq\f(1,2)，则a10＝－eq\f(1,2).[解析]a5＝cos5θ＝eq\f(1,2)，又0<θ<eq\f(π,6)，∴0<5θ<eq\f(5,6)π，∴5θ＝eq\f(π,3)，∴a10＝cos10θ＝coseq\f(2,3)π＝－eq\f(1,2).三、解答题6．数列{an}中，an＝eq\f(n2,n2＋1).(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(3)区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有多数列的项？若有，有几项？[解析](1)a7＝eq\f(72,72＋1)＝eq\f(49,50).(2)证明：∵an＝eq\f(n2,n2＋1)＝1－eq\f(1,n2＋1)，∴0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内．(3)∵eq\f(1,3)<eq\f(n2,n2＋1)<eq\f(2,3)，∴eq\f(1,2)<n2<2.又n∈N*，∴n＝1，即在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有一项a1.C组·探究创新一辆邮车每天从A地往B地运输邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地动身时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前