统考版2025届高考数学全程一轮复习第八章立体几何初步第三节空间点直线平面之间的位置关学生用书

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系·最新考纲·1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．驾驭空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面)．·考向预料·考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点．学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．平面的基本性质表示公理文字语言图形语言符号语言公理1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2__________的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有______过该点的公共直线α∩β＝l，且P∈l2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________．等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角________．(3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：____________．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交________1个平行________0个在平面内________多数个平面与平面平行________0个相交________多数个二、必明3个常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)假如两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的随意一条直线．()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()(二)教材改编2．[必修2·P43练习T1改编]下列说法正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④假如两个平面有三个公共点，则两个平面重合．A．0B．1C．2D．33．[必修2·P45例2改编]已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形肯定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形(三)易错易混4．(异面直线的概念不清)下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若α⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．5．(忽视直线在平面内)已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是________．(四)走进高考6．[2024·全国乙卷]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A．π2B．π3C．π提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一平面的基本性质[基础性][例1]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.证明：(1)B，D，F，E四点共面；(2)若直线A1C与平面BDEF的交点为R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线共点．听课笔记：反思感悟共面、共线、共点问题的证明(1)证明点线共面问题的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②协助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线，确定平面β，最终证明平面α，β重合．(2)证明点共线问题的两种方法①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②干脆证明这些点都在一条特定直线上．(3)证明多线共点问题的步骤①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明．【对点训练】如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．考点二空间两直线的位置关系[综合性][例2](1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则()A．a∥cB．a，c是异面直线C．a，c相交D．a，c平行或相交或异面(2)[2024·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线听课笔记：反思感悟【对点训练】1．若平面α和直线a，b满意a∩α＝A，b⊂α，则a与bA．相交B．平行C．异面D．相交或异面2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有______．(填上全部正确答案的序号)考点三异面直线所成的角[综合性][例3](1)[2024·广西南宁三中高三模拟]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于()A．62B．C．33D．(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．听课笔记：反思感悟用几何法求异面直线所成角的详细步骤：【对点训练】1．直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°2．[2024·黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考]三棱锥P­ABC全部棱长都为2，E，F分别为PC，AB的中点，则异面直线BE，PF所成角的余弦值为()A．35B．C．13D．第三节空间点、直线、平面之间的位置关系积累必备学问一、1．过不在一条直线上一条2．(1)相交平行任何一个平面(2)平行相等或互补(3)锐角(或直角)0，3．a∩α＝Aa∥αa⊂αα∥βα∩β三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2．解析：②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面可能相交，①③正确．答案：C3．解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．答案：B4．解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．答案：④5.解析：如图，直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则a与α的位置关系是a∥α或a⊂α.答案：a∥α或a⊂α6．解析：方法一如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝12B1D1＝2，BC1＝22，sin∠PBC1＝PC1BC1＝12，所以∠方法二以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，PB＝-1，-1，2，AD1＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cosθ＝PB·AD1PBAD1＝答案：D提升关键实力考点一例1证明：(1)连接B1D1(图略)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ又A1C∩β＝R，∴R∈A1C∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD，且EF≠BD，∴DE与BF肯定相交，设交点为M.∵BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DCC1D1，平面BCC1B1∩平面DCC1D1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线共点．对点训练证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴FE∥A1B且EF＝12A1B∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，∴EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．证明：(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12∴四边形CD1FE是梯形，∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．考点二例2解析：(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面．(2)取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝(32)2＋(32)2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线答案：(1)D(2)B对点训练1．解析：当A∈b时，a与b相交，当A∉b时，a与b异面．答案：D2．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以图②④中GH与MN异面．答案：②④考点三例3解析：(1)取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示，∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF＝2，OE＝3，故cos∠OEF＝EFOE＝6(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°，当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝12.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×34＝答案：(1)B(2)12或对点训练1．解析：如图，将三