2025届高考数学一轮备考等差数列专项练

Page9等差数列专项练一、单选题1．已知等差数列的前项和为．若，且，，则（

）A．38 B．20 C．10 D．92．在等差数列中，为其前项和，若，则（）A．20 B．27 C．36 D．453．《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长状况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为（

）A． B． C． D．4．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（

）A．139 B．153C．144 D．1785．已知递增等差数列中，，则的（

）A．最大值为－4 B．最小值为4 C．最小值为－4 D．最大值为46．某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，将来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此须要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程须要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车须要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可马上投入施工，其余翻斗车须要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还须要抽调这种型号翻斗车（

）A．辆 B．辆 C．辆 D．辆7．已知等差数列的前项和，且，，则最小时，的值为（

）.A．2 B．1或2 C．2或3 D．3或48．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量改变匀称，即由下往上匀称变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（

）A．升 B．升 C．升 D．升9．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（

）A． B． C． D．10．记为等差数列的前n项和．已知，则（）A． B． C． D．11．一个至少有3项的数列中，前项和是数列为等差数列的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满意若对随意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知数列{an}满意a1＝1，（），则an＝__．14．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和_________.15．在等差数列中，若，则该数列的前2024项的和为_______.16．已知数列满意，，则数列的通项公式为______．17．已知等差数列的前n项和为，且，，则的最小值是______．三、解答题18．等差数列满意，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满意，，求数列的前n项和.19．已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满意．（1）求数列和数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．20．设为数列的前项和，已知，对随意，都有.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为.①求；②若不等式对随意的恒成立，求实数的取值范围.21．已知数列中，，点在直线上.(1)求数列的通项公式及其前项的和；(2)设，证明：.22．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．1．C【详解】解：依据等差数列的性质可得．∵，∴或．若，明显不成立，∴．∴，解得．故选：C．2．C【详解】因为为等差数列，，，因此又，.故选C3．B【详解】设十二节气的日影长依次成等差数列，公差为，由题意知：，，可得，所以，令可得：，可得：，所以这十二节气的日影长小于3尺的有个，分别为，小于尺的有个，分别为，，，，，，从中任取个基本领件有，，，，，，，，，，，，，，共个，所以所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的有，，，，，，，共有个，所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为，故选：B4．B【详解】∵an＝2n－7，∴，∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.∴前n项和.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝.故选：B5．B【详解】解：∵递增等差数列{an}中，a1a2=﹣2，∴a1(a1+d)=﹣2，且d>0，∴d=，∴a1<0，∴a3=a1+2d=≥，当且仅当a1=﹣2时，等号成立，∴a3有最小值4.故选：B.6．C【详解】总工作量为：，由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减，则每辆车的工作时间成等差数列，设第辆车的工作时间为，则，等差数列的公差，辆车的工作总时长，，，共需辆车完成工程，至少还须要抽调辆车.故选：C.7．C【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，，所以，因为，所以当或时，其有最小值.故选：C8．A【详解】解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，…，升，则数列，，…，为等差数列.依题意有，又因为，，故.故选：A.9．A【详解】∵，∴，故选：A10．A【详解】由题知，，解得，∴，故选A．11．C【详解】解：若，则当时，，两式相减得，，即①，当时，②，①②得，，，数列为等差数列，充分性成立，若数列为等差数列，则明显成立，必要性成立，前项和是数列为等差数列的充要条件，故选：C．12．B【详解】由已知，对随意的，都有成立，即，即，又数列是首项为，公差为1的等差数列，，且是单调递增数列，当时，，，即，解得.故选：B.13．【详解】数列{an}满意a1＝1，（），可得：，,所以是等差数列，首项为，公差为1，所以1+（n﹣1）×1＝n，所以．故答案为：14．.【详解】因为，，，由题意得，解得所以则，则.故答案为：.15．【详解】由题意，等差数列中，，所以，故答案为：.16．.【详解】因为，所以，得．所以当为奇数时，，当为偶数时，．又，，所以，所以，，，…，，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，，，，…，，…构成以为首项，为公差的等差数列．所以当是奇数时，；当是偶数时，．故数列的通项公式为．故答案为：.17．【详解】设等差数列的公差为d，由得，解得，因此，，令，解得，于是得数列是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项起先为正，所以或最小，最小值为．故答案为：18．（1）；（2）.【详解】解：()∵是等差数列，，∴解出，，∴.()∵，，是等比数列，，∴b1=419．（1）．（2）【详解】解：（1）由条件可知，，.，，，.由题意为等差数列，，解得，；（2）由（1）知，，①则②①-②可得，.20．（1）；（2）①；②.【详解】（1）因为，当时，，两式相减，得，即，所以当时，，所以.因为，所以.（2）因为，令，，所以.①所以.②因为在上是递减函数，所以在上是递增的，所以当时，取最小值.所以原不等式恒成立可得21．(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）依据等比数列的通项公式结合前项和公式，即可求得结果；（2）利用错位相减法求得的前项和，再证明即可.(1)因为点在直线上，所以，又，故数列{}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，.(2)由题可知，记，所以①①，得②①②，得，故，又，故，即证.22．（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：

由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，