七年级数学下册高分突破专题12平行拐点综合应用高分突破(40道)(原卷版+解析)

专题12平行拐点综合应用高分突破（40道）真题再现真题再现一．选择题（共21小题）1．（2022秋•历城区期末）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°2．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（）A．30° B．40° C．60° D．80°3．（2022春•牡丹区校级期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠β﹣∠α＝90° B．∠β+∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．2∠α+∠β＝180°4．（2022春•泾阳县期中）如图，直线AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝25°，则∠BED的度数为（）A．75° B．65° C．55° D．45°5．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°6．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④7．（2022秋•电白区期末）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（）A． B． C． D．8．（2022春•大足区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022•安顺）如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．45°10．（2022春•郯城县期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1+∠3＝90°B．∠2+∠3＝90° C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠211．（2022春•冠县期末）如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（）A．40° B．50° C．70° D．80°12．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（）度A．360 B．180 C．250 D．27013．（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．55° B．75° C．80° D．105°14．（2022春•陆河县期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠A＝∠P+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E＝180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF，则∠α+∠r＝180°+∠β以上结论正确的是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③15．（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140° B．150° C．130° D．160°16．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°17．（2022春•开江县校级期中）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图形中所有平行的是（）A．AB∥CD∥EF B．CD∥EF C．AB∥EF D．AB∥CD∥EF，BC∥DE18．（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°19．（2022春•安新县期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α20．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④21．（2018秋•盐田区期末）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°二．填空题（共4小题）22．（2022春•交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为．23．（2022春•麒麟区期末）如图，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，则∠G的度数为．24．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是．25．（2022春•弥勒市校级月考）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．三．解答题（共15小题）26．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC（），∴∠DAC+＝180°（）．∵∠DAC＝120°（），∴∠ACB＝180°﹣＝60°（等式的性质）．又∵∠ACF＝20°（），∴∠BCF＝﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF∥BC（）．∵AD∥BC（），∴EF∥AD（）．27．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（），∴∠A+∠C＝+（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是．（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系．28．（2022秋•太康县期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．29．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？试说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．30．（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，①求∠GPH的度数；②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．31．（2022春•濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；（2）如图2，若HM平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．32．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．33．（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝°；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．34．（2022春•咸安区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度数．（2）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．35．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是（直接写答案）．36．（2022春•佛山月考）问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）37．（2021秋•翠屏区期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．38．（2022春•涟源市校级期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．39．（2021春•镇海区校级期中）已知AB∥CD，点M、N分别为AB、CD上的点，在AB、CD之间存在一点P满足MP⊥PN．（1）如图1，若∠AMP＝α，求∠PNC的度数（用含α的代数式表达）．（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，点E、F在AB上，连接PE、PF、NF，若PE平分∠HPM，PF平分∠HPN，求∠EPF与∠MPN的数量关系．（3）在（2）的条件下，若∠PNF+∠CNF＝180°，∠PFN＝2∠HPE，求∠EPN的度数．40．（2021春•拱墅区期中）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．专题12平行拐点综合应用高分突破（40道）真题再现真题再现一．选择题（共21小题）1．（2022秋•历城区期末）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠DBC，∵∠DBC＝∠A+∠2，＝28°+31°＝59°．故选：C．2．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（）A．30° B．40° C．60° D．80°【答案】B【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故选：B．3．（2022春•牡丹区校级期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠β﹣∠α＝90° B．∠β+∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．2∠α+∠β＝180°【答案】A【解答】解：延长BC交直线DE于点F，∵AB∥DE，∴∠BFE＝∠α，∵∠BCD＝90°，∴∠FCD＝180°﹣∠BCD＝90°，∵∠CDE是△CFD的一个外角，∴∠β＝∠FCD+∠BFE＝90°+∠α，∴∠β﹣∠α＝90°，故选：A．4．（2022春•泾阳县期中）如图，直线AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝25°，则∠BED的度数为（）A．75° B．65° C．55° D．45°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠C＝50°．∴∠BED＝∠2+∠C＝50°+25°＝75°．故选：A．5．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180°【答案】B【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，由①②得：α+β﹣γ＝90°．故选：B．6．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．7．（2022秋•电白区期末）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、如图：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠1+∠3，∵a∥b，∴∠ACD＝∠2，∴∠2＝∠1+∠3，故A不符合题意；B、如图：延长AD交BF于点C，∵a∥b，∴∠1＝∠ACF，∵∠ACF＝∠3+∠2，∴∠1＝∠3+∠2，故B符合题意；C、如图：过点A作AB∥a，∴∠2+∠CAB＝180°，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠1+∠BAD＝180°，∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°，故C不符合题意；D、如图：延长DA交直线b于点C，∵a∥b，∴∠2＝∠DCB，∵∠3＝∠1+∠DCB，∴∠3＝∠1+∠2，故D不符合题意；故选：B．8．（2022春•大足区期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG＝35°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确；②由题意得∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③错误；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，故④错误．综上所述，正确的有2个．故选：B．9．（2022•安顺）如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：如图：过点B作BC∥b，∴∠1＝∠CBD＝15°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，∵a∥b，∴a∥BC，∴∠2＝∠ABC＝30°，故选：C．10．（2022春•郯城县期末）将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1+∠3＝90°B．∠2+∠3＝90° C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠2【答案】C【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，∴选项D不符合题意；∵∠1＝∠2，∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴选项A不符合题意；∴∠2+∠3＝90°，∴选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，但∠3≠∠2∴∠2+∠4≠180°选项C符合题意；故选：C．11．（2022春•冠县期末）如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若∠2＝50°，则∠1的大小是（）A．40° B．50° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：如图：由题意得，∠3＝60°，∵∠2＝50°，AB∥CD，∴∠4＝∠2＝50°，∴∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故选：C．12．（2022春•交口县期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如右图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终等于（）度A．360 B．180 C．250 D．270【答案】D【解答】解：过点B作BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG＝180°，∵AE∥CD，∴BG∥CD，∴∠C+∠CBG＝180°，∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，故选：D．13．（2022春•内乡县期末）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．55° B．75° C．80° D．105°【答案】B【解答】解：方法一：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．方法二：∵AB∥CD．∴∠HFG＝∠1＝45°．∵∠3是△EFG的外角．∴∠3＝∠HFG+∠2＝45°+30°＝75°．故选：B．14．（2022春•陆河县期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠A＝∠P+∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A+∠E＝180°+∠1；④如图4，AB∥CD∥EF，则∠α+∠r＝180°+∠β以上结论正确的是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】C【解答】解：①如图：过点E作EF∥AB，∴∠A+∠AEF＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C＝360°，故①不正确；②如图：设CD与AP交于点G，∵∠DGP是△CPG的一个外角，∴∠DGP＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DGP，∴∠A＝∠C+∠P，故②正确；③如图：延长AE交CD于点H，∵AB∥CD，∴∠A+∠EHC＝180°，∵∠AEC是△EHC的一个外角，∴∠EHC＝∠AEC﹣∠1，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，∴∠A+∠AEC＝180°+∠1，故③正确；④∵CD∥EF，∴∠COE＝∠γ，∵∠BOE＝∠COE﹣∠β，∴∠BOE＝∠γ﹣∠β，∵AB∥EF，∴∠α+∠BOE＝180°，∴∠α+∠γ﹣∠β＝180°，∴∠α+∠r＝180°+∠β，故④正确；所以，以上结论正确的是②③④，故选：C．15．（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140° B．150° C．130° D．160°【答案】A【解答】解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．16．（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．17．（2022春•开江县校级期中）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图形中所有平行的是（）A．AB∥CD∥EF B．CD∥EF C．AB∥EF D．AB∥CD∥EF，BC∥DE【答案】D【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴AB∥CD，BC∥DE，CD∥EF，∴AB∥CD∥EF．故选：D．18．（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【答案】C【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．19．（2022春•安新县期末）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【答案】C【解答】解：连接BC，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．故选：C．20．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．21．（秋•盐田区期末）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【解答】解：过点A作AD∥a，如图，则AD∥b，∴∠BAD＝∠1＝35°．∵a∥b，∴AD∥b，∵∠DAC＝∠2，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°．故选：B．二．填空题（共4小题）22．（2022春•交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为．【答案】46°【解答】解：延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG＝y，∵AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，∵∠AEC是△EHC的一个外角，∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，∵∠AFC是△GCF的一个外角，∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，∴，解得：，∴∠BAF＝46°，故答案为：46°．23．（2022春•麒麟区期末）如图，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，则∠G的度数为．【答案】110°【解答】解：延长EG交直线CD于点H，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EHF，∵∠1+∠2＝110°，∴∠2+∠EHF＝110°，∵∠EGF是△GFH的一个外角，∴∠EGF＝∠2+∠EHF＝110°，故答案为：110°．24．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是．【答案】45°或99°【解答】解：∵DE∥CF，∴∠COD＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ODE＝27°，∴∠COD＝27°．在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度数为45°或99°．故答案为：45°或99°．25．（2022春•弥勒市校级月考）如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【答案】540°【解答】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．故答案为：540°．三．解答题（共15小题）26．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性质）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF∥AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【解答】证明：∵AD//BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性质）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF//BC（同旁内角互补，两直线平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：已知；∠ACB；两直线平行，同旁内角互补；已知；120°；已知；∠ACB；同旁内角互补，两直线平行；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．27．（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是∠APC＝∠A+∠C．（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，则∠AEC＝119°．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系2∠BFD＝∠AEC．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．28．（2022秋•太康县期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．【解答】解：过C作CF∥AD，∵BE∥AD∴∠ACF＝∠A＝52°，∵CF∥BE∴∠BCF＝∠B＝43°，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝52°+43°＝95°，∴从C岛看A，B的视角∠ACB为95°．29．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？试说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝82°，试求∠FAB的度数．【解答】（1）解：AD与EC平行，理由如下：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝82°，∴∠BDC＝82°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝41°（角平分线定义），∴∠2＝∠ADC＝41°（已证），又∵DA⊥FA，∴∠FAD＝90°（垂直定义），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣41°＝49°．30．（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，①求∠GPH的度数；②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，∴∠BGM＝2×25°＝50°，∵AB∥CD，∴∠GPH＝∠BGM＝50°；②当点O在射线GS上时，如图1，过点O作ON∥AB，则∠MON＝∠BGM＝50°，∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，∴∠EHD＝∠BGE＝75°，∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，∵AB∥CD，ON∥AB，∴ON∥CD，∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；当点O在射线GM上时，如图1′，过点O作ON∥AB，则∠GON＝180°﹣∠BGM＝180°﹣50°＝130°，∵AB∥CD，∴∠EHD＝∠BGE＝75°，∴∠DHO＝∠EHD﹣∠GHO＝75°﹣10°＝65°，∵AB∥CD，ON∥AB，∴ON∥CD，∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣65°＝115°，∴∠GOH＝∠GON﹣∠NOH＝130°﹣115°＝15°；综上所述，∠GOH的度数为145°或15°．（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：如图2，过点Q作QN∥AB，则∠GQN＝∠AGQ，∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，∴∠AGS＝2∠FGS，∵GQ平分∠AGP，∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，∵AB∥CD，∴∠GIH＝∠IHC，∵HQ平分∠IHC，∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，∵QN∥AB，AB∥CD，∴QN∥CD，∴∠NQH＝∠QHC，∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．31．（2022春•濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；（2）如图2，若HM平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．【解答】（1）证明：过点M作MN∥AB，∴∠AGM＝∠GMN，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠NMH＝∠CHM，∵∠GMH＝∠GMN+∠NMH，∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC；（2）证明：∵HM平分∠GHC，∴∠MHG＝∠CHM，由（1）得：∠GMH＝∠AGM+∠MHC，∵∠HGQ＝∠AGM，∴∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG＝180°，∴∠GMH+∠GQH＝180°；（3）解：设∠AGM＝2α，∠CHM＝β，由（1）可得：∠GMH＝∠AGM+∠MHC，∴∠GMH＝2α+β，∵∠GNH＝∠M，∴∠GNH＝2α+β，∵∠HGN＝2∠MHC，∴∠HGN＝2β，∵GH平分∠MGB，∴∠MGH＝∠BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，∵∠CHG是△GHN的一个外角，∴∠CHG＝∠HGN+∠GNH＝2β+2α+β＝3β+2α，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴∠AGM+∠MGH+∠CHG＝180°，∴2α+90°﹣α+3β+2α＝180°，∴α+β＝30°，∴∠MHG＝∠CHG﹣∠CHM＝3β+2α﹣β＝2β+2α＝60°，∴∠MHG的度数为60°．32．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为45°；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．33．（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案为：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度数为60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，设∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的结论可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值为2．34．（2022春•咸安区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度数．（2）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．【解答】解：（1）延长EP交CD于点G，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠PGF＝40°，∵∠PFD＝110°，∴∠PFG＝180°﹣∠PFD＝70°，∵∠EPF是△PFG的一个外角，∴∠EPF＝∠PGF+∠PFG＝110°，∴∠EPF的度数为110°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由：如图：设AB与PF交于点M，∵∠PMA是△PME的一个外角，∴∠PMA＝∠PEA+∠EPF，∵AB∥CD，∴∠PMA＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；（3）由（2）可得：∠PFC＝∠PEA+∠EPF，∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，∵EG平分∠AEP，FG平分∠PFC，∴∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，由（2）得：∠GFC＝∠G+∠GEA，∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝∠PFC﹣∠AEP＝（∠PFC﹣∠AEP）＝×60°＝30°，∴∠G的度数为30°．35．（2022春•甘井子区期末）已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是∠M＝∠N+∠FGN（直接写答案）．【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：过点M作MK∥CD，则∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GF是∠BGM的平分线，∴∠FGM＝∠BGM＝（180°−∠AGM）＝90°−α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝∠N+∠FGN．36．（2022春•佛山月考）问题情境：（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．37．（2021秋•翠屏区期末）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝55°；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【解答】解：（1）55°如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．38．（2022春•涟源市校级期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．（1）如图1，若CE