中考数学必考特色题型讲练(河南专用)综合题中的动点问题及常用解题思路(原卷版+解析)

综合题中的动点问题及常用解题思路 动点问题作为中考必考题型，难度不大，而是解题过程比较复杂，学生很容易遗漏得分关键步骤，导致得不到全部分数。其实动点问题就是综合考查学生的抽象思维和逻辑思维以及三角函数和各种几何辅助线的综合应用。审题：将题目信息标记在图上包括运动元素（点、线段、图形）起始位置（是否与定点重合）运动方向、速度（谁在动、往哪动、怎么动）2、找出临界点，画出临界图（草纸上）（1）作用：①求出临界值；②得出相似比/三角函数值（2）判断临界点依据：①函数图：函数图中的特殊点一定是临界点②几何图：当运动的点和线遇到固定的点和线时为临界状态（重合部分或所求图形的形状发生改变）3、画过程图（试卷上）：两个临界之间（在变化过程中，不是定值）注意：图要一个一个分开画，不能画在一起4、表示线段长、求函数解析式（1）求面积：①规则图形：面积公式（平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形、三角形）②不规则图形：S=大面积-小面积（2）求边长：①三角函数②相似③勾股定理④等量代换5、写成分段函数形式、临界点检验（不写扣分！） 将所求函数解析式整理为分段函数，并标明自变量取值范围。【平移类】1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90°得到△A′CD′，请在备用图中画出旋转后的△A′CD′，连接AA′，并求线段AA′的长度；（2）在（1）的情况下，将△A′CD′沿CB向左平移t（0＜t＜23），设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．2、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标为（5，3）．将矩形AOBC绕点B顺时针旋转到矩形DEBF，点O的对应点E恰好落在AC上．将矩形DEBF沿射线EB平移，当点D到达x轴上时，运动停止，设平移的距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S．（1）求AE的长；（2）求S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．3、如图，在△MNQ中，MN＝11，NQ＝35，，cos（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式．4、如图1，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（2，0），点D是AB上一点，将△CDB沿x轴的正方向以每秒m个单位的速度向右运动，得到△C′D′B′，当点B′与点C重合停止运动，设△C′D′B′与△AOC重叠部分的面积为S，运动时间为t（S），S关于t的部分函数图象如图2所示（其中0＜t≤1，1＜t≤a，…，函数的解析式不同）（1）点D的坐标为；m的值为；（2）求S与t的函数关系式，并注明t的取值范围．【翻折旋转类】1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．2、如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(−3,0).动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒。连接MN.（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别是边AD、射线AB上的动点，AF=2AE，沿EF翻折得到，设AE=x,与矩形ABCD重叠部分面积为S。（1）求x为何值时，A’落在DC上；（2）求S关于x的函数关系式，并写出想x的函数关系式，并写出x的取值范围。 4、如图1，等边三角形ABC中，点D在AB上（点D与点A，B不重合），DE⊥BC，垂足为E，点P在BC上，且DP∥AC，△B′DE′与△BDE关于DP对称．设BE＝x，△B′DE′与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x＜12，1（1）填空：等边三角形ABC的边长为，图2中a的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD＝x，PQ＝y．（1）求证：∠ADP＝∠DEC；（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．【放缩类】1、如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤87，8（1）填空：n的值为 ；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．2、如图,在△ABC中,∠C=90∘,正方形CDEF的顶点D在边AC上,点F在射线CB上。设CD=x,正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图所示(其中0<x⩽m,m<x⩽2,2<x⩽n,函数的解析式不同)(1)填空：m的值为___；(2)求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)S的值能否为5?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由。3、如图1,△ABC中,∠C=90∘,线段DE在射线BC上,且DE=AC,线段DE沿射线BC运动,开始时,点D与点B重合,点D到达点C时运动停止,过点D作DF=DB,与射线BA相交于点F,过点E作BC的垂线,与射线BA相交于点G.设BD=x,四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图2所示(其中0<x⩽m,1<x⩽m,m<x⩽3时,函数的解析式不同)(1)填空：BC的长是___；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。1、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=−3(1)求线段AB的长;(2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围. 2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D在AC上，CD＝3，连接DB，AD＝DB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP＝x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．3、如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．设点P的运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．（1）求AC的长；（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．综合题中的动点问题及常用解题思路动点问题作为中考必考题型，难度不大，而是解题过程比较复杂，学生很容易遗漏得分关键步骤，导致得不到全部分数。其实动点问题就是综合考查学生的抽象思维和逻辑思维以及三角函数和各种几何辅助线的综合应用。审题：将题目信息标记在图上包括运动元素（点、线段、图形）起始位置（是否与定点重合）运动方向、速度（谁在动、往哪动、怎么动）2、找出临界点，画出临界图（草纸上）（1）作用：①求出临界值；②得出相似比/三角函数值（2）判断临界点依据：①函数图：函数图中的特殊点一定是临界点②几何图：当运动的点和线遇到固定的点和线时为临界状态（重合部分或所求图形的形状发生改变）3、画过程图（试卷上）：两个临界之间（在变化过程中，不是定值）注意：图要一个一个分开画，不能画在一起4、表示线段长、求函数解析式（1）求面积：①规则图形：面积公式（平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形、三角形）②不规则图形：S=大面积-小面积（2）求边长：①三角函数②相似③勾股定理④等量代换5、写成分段函数形式、临界点检验（不写扣分！） 将所求函数解析式整理为分段函数，并标明自变量取值范围。【平移类】1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90°得到△A′CD′，请在备用图中画出旋转后的△A′CD′，连接AA′，并求线段AA′的长度；（2）在（1）的情况下，将△A′CD′沿CB向左平移t（0＜t＜23），设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．【考点】本题考察作图﹣旋转变换、分段函数的应用，平移变换、勾股定理，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠B＝90°，AB＝2，BC＝23，推出tan∠ACB＝ABBC＝33，推出∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，由CA＝CA′＝4，∠ACA′＝90°，推出AA′＝（2）分两种情形讨论①如图2中，当0＜t≤2时，重叠部分是△CC′M，②如图3中，当2＜t≤23时，重叠部分是四边形MNC′D′．分别计算即可．【答案】（1）AA′＝42 （2）S=3【解析】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝23，∴tan∠ACB＝ABBC＝3∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵CA＝CA′＝4，∠ACA′＝90°，∴AA′＝42．（2）①如图2中，当0＜t≤2时，重叠部分是△CC′M，∵CC′＝t，∠ACB＝30°，∠A′C′D′＝60°，∴∠CMC′＝90°，∴C′M＝12t，CM＝3∴S＝12•12t•32t＝3②如图3中，当2＜t＜23时，重叠部分是四边形MNC′D′．S＝S△CNC′﹣S△CMD′＝38t2﹣12•（t﹣2）•33•（t﹣2）＝﹣324t2+综上所述，S=382、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标为（5，3）．将矩形AOBC绕点B顺时针旋转到矩形DEBF，点O的对应点E恰好落在AC上．将矩形DEBF沿射线EB平移，当点D到达x轴上时，运动停止，设平移的距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S．（1）求AE的长；（2）求S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．【考点】四边形综合题．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣平移，坐标与图形变化﹣旋转，相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键。【分析】（1）由矩形的性质得出∠OBC＝∠ACB＝90°，AC＝OB＝5，BC＝3，由旋转的性质得出BE＝OB＝5，由勾股定理求出CE＝BE2（2）分三种情况①当0＜m≤4时，证明△BB'G∽△ECB，得出BB'EC＝B'GBC，求出B'G＝②当4＜m≤5时，由平移性质得出FM＝m﹣4，由梯形面积公式即可得出答案；③当5＜m≤9时，证明△BE'H∽△ECB，得出BE'EC＝E'HBC，求出E'H＝【答案】（1）AE=1 （2）S=3【解析】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（5，3）．∴∠OBC＝∠ACB＝90°，AC＝OB＝5，BC＝3，∵矩形AOBC绕点B顺时针旋转到矩形DEBF，∴BE＝OB＝5，∴CE＝BE2−BC∴AE＝AC﹣CE＝1；（2）分三种情况：①当0＜m≤4时，如图1所示：∵∠B'BG＝90°﹣∠EBC＝∠BEC，∠BB'G＝∠ECB＝90°，∴△BB'G∽△ECB，∴BB'EC＝B'G即m4＝B'G解得：B'G＝34∴S＝S△B'BG＝12BB'×B'G＝38m即S＝38m2②当4＜m≤5时，如图2所示：由平移性质得：FM＝m﹣4，∴S＝S梯形MBB'F＝12（FM+BB'）×B'F＝1即S＝3m﹣6（4＜m≤5）；③当5＜m≤9时，如图3所示：∵∠E'BH＝90°﹣∠EBC＝∠BEC，∠BE'H＝∠ECB＝90°，∴△BE'H∽△ECB，∴BE'EC＝E'HBC，即m−解得：E'H＝34∴S△BE'M＝12BE'×E'H＝12×（m﹣5）×34（m﹣5）＝3∴S＝S梯形MBB'F﹣S△BE'M＝3m﹣6﹣38（m﹣5）2＝﹣38m2+274即S＝﹣38m2+274m﹣综上所述，S=383、如图，在△MNQ中，MN＝11，NQ＝35，，cos（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式．【考点】相似形综合题．本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用了分类讨论思想．【分析】（1）过Q作QH⊥MN于H，根据cos∠N=5（2）连接BD，解直角三角形求出QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，求出BD的长即可；（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，求出AK＝3t，即可求出S；②当D到QN上时，根据△QAD∽△QMN求出QR＝2411，根据△QAR∽△QMH得出比例式，即可求出t＝14③当C到QN上时，证△DFC∽△HNQ求出DF＝1.5，AF＝2.5，根据△QAF∽△QMN得出10−5t10＝2.5④当1711＜t≤2时，根据△QAF∽△QMN求出AF＝11﹣172t，过K作KP⊥AD于P，得出△KPF∽△QHN，求出PF＝1.5，求出BK＝AP＝AF+PF＝12.5﹣【答案】（1）MQ=10（2）1秒（3）S=12t（0＜t≤1）【解析】解：（1）如图1，过Q作QH⊥MN于H，∵QN＝35，cos∠N=55＝NHNQ在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH＝（35在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ＝62（2）连接BD，如图1，∵tan∠ABD＝ADAB=43，tan∠QMN＝QHMH∴QM∥BD，当BC和MN重合时，B正好到D点，由勾股定理得：BD＝5，t=5÷5＝1，即运动1秒时，BC和MN重合，（3）分为四种情况：①当BC运动到MN上时，此时0＜t≤1，如图2，∵sin∠M＝AKAM=∴AK5t=6∵AD＝4，∴S＝4•3t＝12t；②当D到QN上时，此时1＜t≤1411∵△QAD∽△QMN，∴ADMN∴411∴QR＝2411∵AD∥MN，∴△QAR∽△QMH，∴AQQM∴10−∴t＝1411即此时1＜t≤1411S＝3×4＝12；③当C到QN上时，此时1411＜t≤17∵AD∥MN，∴∠AFQ＝∠N＝∠DFC，∵∠D＝∠QHN＝90°，∴△DFC∽△HNQ，∴DFNH∴DF∴DF＝1.5，AF＝4﹣1.5＝2.5，∵AD∥MN，∴△QAF∽△QMN，∴AQQM∴10−∴t＝1711即当C到QN上时，t＝1711∵AFMN∴10−∴AF＝11﹣5.5t，S＝12＝12S＝﹣8.25t+22.5；④当1711∵AD∥MN，∴△QAF∽△QMN，∴AFMN∴10−∴AF＝11﹣5.5t，过K作KP⊥AD于P，则△KPF∽△QHN，∴FPNH∴PF3∴PF＝1.5，∴BK＝AP＝AF+PF＝11﹣5.5t+1.5＝12.5﹣5.5t，∴S＝12（AF+BK）•CD＝1S＝﹣332综上所述，S=12t（0＜t≤1）4、如图1，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（2，0），点D是AB上一点，将△CDB沿x轴的正方向以每秒m个单位的速度向右运动，得到△C′D′B′，当点B′与点C重合停止运动，设△C′D′B′与△AOC重叠部分的面积为S，运动时间为t（S），S关于t的部分函数图象如图2所示（其中0＜t≤1，1＜t≤a，…，函数的解析式不同）（1）点D的坐标为；m的值为；（2）求S与t的函数关系式，并注明t的取值范围．【考点】动点问题的函数图象．本题考查动点问题函数图象、平移变换、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【分析】（1）根据x＝0时，S＝2，先计算D的坐标，说明D为一定点，由x＝1时，D'在y轴上，可得速度m＝1；（2）分四种情形①如图5中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形MOCN．②如图6中，当1＜t≤32时，重叠部分是五边形OCND′M．③如图7中，当32＜t≤4时，重叠部分是四边形OCNM．【答案】（1）（﹣1，3），1； （2）S=【解析】（1）∵A（0，4）、B（﹣4，0）、C（2，0），∴OA＝OB＝4，OC＝2，由图2知：当x＝0时，S＝2，如图3，S△EOC＝2，12OE•OC＝2， 12×2×OE＝2， ∴△EOC是等腰直角三角形，∴∠ECO＝45°，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰三角形，∴∠ABO＝45°，∴DB＝DC，如图3中，过D作DF⊥BC于F，∴BF＝FC＝BC＝3，∴DF＝BF＝3，OF＝4﹣3＝1，∴D（﹣1，3）；由图2得：x＝1时，D'在y轴上，如图4，∴m＝1，（2）①如图5，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形MOCN．易知直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，直线C′D′的解析式为y＝﹣x+t+2，由y＝﹣2x+4y＝﹣x+t+2解得x=2−ty=2t， ∴S＝S△OMC′﹣S△CNC′＝12•（2+t）2﹣12•t•2t＝﹣12②如图6，当1＜t≤32S＝S△B′C′D′﹣S△CC′N﹣S△OMB′＝12×6×3﹣12•t•2t﹣12•（4﹣t）2＝﹣3③如图7，当32S＝S△B′CN﹣S△OMB′＝12•（6﹣t）•23（6﹣t））﹣12（4﹣t）2＝﹣1④如图8，当4＜t≤6时，重叠部分是三角形CNB′．S＝12•13（6﹣t）•23（6﹣t）＝19t综上所述，S=【翻折旋转类】1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．【答案】（2）【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=90°∵点B,B′关于直线l对称，∴∠EPB′=90°∴∠ABB′+∠AEF=180°，∵∠BEF+∠AEF=180°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在RT△EAB′中，,即,解得AE=，当时，如图1,作FM⊥AB交AB于点M，∴∠EMF=∠FMB=90°=∠B′AB∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=90°∴四边形MBCF是矩形∴BM=CF=y,MF=BC=8由（1）,知∠BEF=∠AB′B∴∴∴ME=∴当点F在点C下方时，如图2所示．当设直线EF与BC交于点K设∠AB′B=∠BKE=∠CKF=,则tan=BK=，CK=BC-BK=8-∴CF=CK∙tan=(8-)∙tan=8在RT△EAB′中，∴解得BE=∴CF=综上所述，2、如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(−3,0).动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒。连接MN.（1）求直线BC的解析式；（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；（3）当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。【答案】（1）直线BC的解析式为 （2） D() （3）【解析】(1)设直线BC的解析式为y=kx+b,则解得∴直线BC的解析式为(2)如图,连接AD交MN于点O′.由题意：四边形AMDN是菱形,M(3−t,0),N()，∴O′(),D()，∵点D在BC上，∴ 解得∴s时,点A恰好落在BC边上点D处,此时D().(3)如图2中,当0<t⩽5时,△ABC在直线MN右侧部分是△AMN,如图3中，当5<t⩽6时，△ABC在直线MN右侧部分是四边形ABNM.3、如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别是边AD、射线AB上的动点，AF=2AE，沿EF翻折得到，设AE=x,与矩形ABCD重叠部分面积为S。（1）求x为何值时，A’落在DC上；（2）求S关于x的函数关系式，并写出想x的函数关系式，并写出x的取值范围。 【答案】（1）x=52 （2）S=【解析】(1)过点F作DC的垂线交DC于点G∵△A′EF由△AEF沿着EF翻折过来∴∠1=∠2=90°∠4+∠5=90°∴∠3=∠5∴△A′DE∽△FGA′A∵GF=AD=4∴A′D=2,A′G=2x-24解得x=5(2)①当0＜x≤52，S=S△AE=x,AF=2x，∴S=1②52∵∠EDN=∠NA′M=90°∠DNE=∠A′NM∴△DNE∽△A′NMDE由（1）知，tan∠DEA′=4∵DE=4-x∴EN=53DE=53DN=43DE=43∴S=S△AEF-S△A′NM=x=-53x2+40③3＜x≤4，此时S=S五边形EGMNP由题意得，AF=2x，BF=2x-6∴MB=43（2x−6）S=S△AEF-S△A′NP-S△GMF=x=-103x2+综上所述，S=x4、如图1，等边三角形ABC中，点D在AB上（点D与点A，B不重合），DE⊥BC，垂足为E，点P在BC上，且DP∥AC，△B′DE′与△BDE关于DP对称．设BE＝x，△B′DE′与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x＜12，1（1）填空：等边三角形ABC的边长为，图2中a的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．【答案】（1）2，38； （2）S＝【分析】（1）先根据图象得到当x＝BE＝12时，点B'在AC上，进而得出△ADB'是等边三角形，根据AD＝DB'＝DB＝1，可得等边三角形ABC的边长为2，再根据S△DB'E'＝S△DBE＝3（2）分三种情况讨论：当0＜x＜12时，当12≤x＜23时，当23≤x＜1时，分别根据【解析】解：（1）如图甲，当x＝BE＝12∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，∴BD＝2BE＝1，DE＝32又∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，DP∥AC，∴DB'＝DB＝1，且∠BDB'＝60°×2＝120°，∴DB'∥BC，∴△ADB'是等边三角形，∴AD＝DB'＝DB＝1，∴AB＝2，即等边三角形ABC的边长为2，∵S△DB'E'＝S△DBE＝12×12×32∴a＝38（2）当0＜x＜12时，如图1，∵△ABC是等边三角形，DE⊥BC，∴∠A＝∠B＝60°，∠BDE＝30°，∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，∴S＝S△DB'E'＝S△DBE＝12BE×DE＝12x•3x＝32当x＝m时，点E'在AC上，此时，BE＝AD＝13AB＝23，即m＝当12≤x＜23设B'D，B'E'分别与AC交于点M，N，∵DP∥AC，∴∠B'MN＝∠DMA＝∠MDP，∠BDP＝∠A，∵△B′DE′与△BDE关于DP对称，∴∠MDP＝∠BDP＝∠A＝60°，∠B'＝∠B＝60°，∴∠B'MN＝∠DMA＝60°，∴∠B'NM＝60°＝∠B'MN＝∠B'，∠ADM＝60°＝∠DMA＝∠A，∴△B'MN和△ADM都是等边三角形，作NQ⊥B'M于Q，则NQ＝32∵B'M＝B'D﹣DM＝BD﹣AD＝2x﹣（2﹣2x）＝4x﹣2，∴S＝S四边形DE'NM＝S△B'DE'﹣S△B'MN＝S△BDE﹣S△B'MN＝32x2﹣12（4x﹣2）•＝﹣723x2+43x﹣当点D与点A重合时，x＝BE＝12当23≤x＜1时，如图3，设B'D，DE'与AC分别交于点M，N，作AQ⊥DM于Q，∵∠B'DE'＝∠BDE＝30°，∠ADM＝60°，∴∠ADN＝90°，∴S＝S△MND＝S△ADN﹣S△ADM＝12（2﹣2x）•3（2﹣2x）﹣12（2﹣2x）•＝3x2﹣23x+3．综上所述，S关于x的函数关系式为：S＝35、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD＝x，PQ＝y．（1）求证：∠ADP＝∠DEC；（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．【考点】旋转的性质；解直角三角形；函数关系式；矩形的判定与性质。【答案】（2）y＝25【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即65＜x≤127时，过P作MN∥DC′，设∠B＝α．②当DC′交AB于Q时，即127＜x＜3时，如图2中，作PM⊥【解析】（1）证明：如图1中，∵∠EDE′＝∠C＝90°，∴∠ADP+∠CDE＝90°，∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠ADP＝∠DEC．（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即65＜x≤127时，过P作MN∥DC′，设∠∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，∴PM＝PQ•cosα＝45y，PN＝43×∴23（3﹣x）+4∴y＝2512x﹣5当DC′交AB于Q时，即127＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥∴PN＝DM，∵DM＝12（3﹣x），PN＝PQ•sinα＝3∴12（3﹣x）＝3∴y＝﹣56x+5综上所述，y＝25【放缩类】1、如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤87，8（1）填空：n的值为 ；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【答案】（1）n=3249 （2）S＝【解析】（1）当x＝87时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△∵PQ＝87，QR＝PQ，∴QR＝87，∴n＝S＝12×（87）2＝12（2）如图2，根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤87时， S＝12×PQ×RQ＝12x当点Q点运动到点A时，x＝2AD＝4，∴m＝4．当87S＝S△APF﹣S△AQE＝12AP•FG﹣1AP＝2+x2，AQ＝2﹣x∵△AQE∽△AQ1R1，AQAQ1=QEQ1设FG＝PG＝a，∵△AGF∽△AQ1R1，AGAQ1=FG2+x2107∴S＝S△APF﹣S△AQE＝12AP•FG﹣1＝12（2+x2）·49（2+x2）﹣12（2﹣x＝﹣245x2+5645综上，可得S＝12、如图,在△ABC中,∠C=90∘,正方形CDEF的顶点D在边AC上,点F在射线CB上。设CD=x,正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图所示(其中0<x⩽m,m<x⩽2,2<x⩽n,函数的解析式不同)(1)填空：m的值为___；(2)求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)S的值能否为5?若能,求出此时x的值;若不能,说明理由。【答案】（1）32 （2）s＝x2(0＜x≤【解析】（1）在0＜x≤m时，显然正方形在三角形内，此时S＝CD•CF＝x2．令S＝94，即94＝m解得：m＝32，或m＝﹣32（舍去）． 故答案为：（2）结合S关于x的函数图象变化可知：BC＝2，当CD＝DE＝32∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC=DE解得：AC＝6．∴n＝6．①当0＜x≤32时，S＝x2②当32∵DM∥BC，∴DMCB=ADAC∴DM＝13（6﹣x），EM＝ED﹣DM＝4由△NEM∽△ACB得到NEAC=EM∴s＝S正方形CDEF﹣S△MNE＝x2﹣（4x−③2＜x≤6时，如图2中，s＝S△ABC﹣S△ADM＝6﹣12•13（6﹣x）•（6﹣x）＝6﹣综上所述s＝x（3）由图象可知0＜x≤2时，s不可能为5，∴6﹣6−x2∴（6﹣x）2＝6，∴x＝6﹣6（或6+6不合题意舍弃）．∴x＝6﹣6时，s＝53、如图1,△ABC中,∠C=90∘,线段DE在射线BC上,且DE=AC,线段DE沿射线BC运动,开始时,点D与点B重合,点D到达点C时运动停止,过点D作DF=DB,与射线BA相交于点F,过点E作BC的垂线,与射线BA相交于点G.设BD=x,四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图2所示(其中0<x⩽m,1<x⩽m,m<x⩽3时,函数的解析式不同)(1)填空：BC的长是___；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。【答案】（1）3 （2）S＝﹣【解析】（1）由图象可知BC＝3．故答案为3．（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，由题意BC＝3，AC＝2，∠C＝90°，∴AB＝AC2+BC∵∠B＝∠B，∠DMB＝∠C＝90°，∴△BMD∽△BCA，∴DMAC=BMBC=DBAB∵BD＝DF，DM⊥BF，∴BM＝MF，∴S△BDF＝613x2∵EG∥AC，∴EGAC=BEBC，∴EG2∴S四边形ECAG＝12[2+2∴S＝S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG＝3﹣613x2﹣12[2+23（x+2）]•（1﹣x）＝﹣539x2+②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN＝AN＝x，在RT△ANC中，∵AN2＝CN2+AC2，∴x2＝22+（3﹣x）2，∴x＝136∴当1＜x≤136时，S＝S△ABC﹣S△BDF＝3﹣613x③如图3中，当136＜x≤3时， ∵DM∥AN，∴CDCN∴3−x3−∴CM＝125∴S＝12CD•CM＝65（3﹣x）综上所述S＝﹣51、如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=−3(1)求线段AB的长;(2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围. 【答案】（1）AB=5（2）S=4【解析】(1)根据解析式，求出A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）