专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题例1．如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（

）A．0 B．3 C．4 D．6例3．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．【变式训练1】如图，正方形的周长为24，为对角线上的一个动点，是的中点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（）A． B． C． D．2【变式训练3】如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．【变式训练4】如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为______．类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（

）A． B． C． D．例2．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是_______．【变式训练1】如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（

）A．6 B．4 C． D．类型三、旋转型最值问题例1．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．例2．如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______．【变式训练1】如图，已知正方形的边长为a，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含a的代数式表示）

【变式训练2】如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若，在（2）的旋转过程中，①当为最大值时，则___________．②当为最小值时，则___________．类型四、PA+KPB型最值问题例．如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．【变式训练1】如图，长方形中，点是线段上一动点，连接，则的最小值为_____．【变式训练2】如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．课后训练1．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（

）A． B． C． D．2．如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60°，，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为（

）A． B． C． D．4．如图，直线平分正方形的面积，直线分别与、交于点、，直线于，连接，若，则长的最小值为___________．

5．如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为________．6．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是______．8．如图，