专题01 勾股定理与几何综合的三种考法（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题01勾股定理与几何综合的三种考法类型一、翻折问题例1．（三角形折叠）如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为___________．例2．（四边形折叠）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△，当点恰好落在直线MN上时，CE的长为_______．【变式训练1】如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（）A． B． C． D．【变式训练2】如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．【变式训练3】如图，在正方形中，，点是的中点，连结，则______；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连结EF，则______．

类型二、最值问题例1．（垂线段最值）如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为________．例2．（几何意义最值）求代数式的最小值_____．例3．（将军饮马最值）如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为________．

【变式训练1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．【变式训练2】小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（）A． B． C． D．类型三、解三角形问题例1．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（）．A． B．2 C． D．4例2．如图，在中，，点、分别为、边的三等分点（靠近点），已知，，则斜边的长为_________．

【变式训练1】如图，四边形中，，．，若，则的长为______．

【变式训练2】如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝___．【变式训练3】如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（

）

A． B． C．2 D．3课后训练1．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，，则图中阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．28 D．302．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长等于__________．

3．如图所示，将一张矩形纸片先沿着折叠，使点A刚好落在边上点G处，再沿着折叠（其中点F为上的一点），使点C恰好落在上点H处，连接，若，且，则______．4．如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为______．5．如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是___________．6．如图，在四边形中，，连接，若，则______．7．如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．8．如图，在四边形中，，，垂足为E，，，若，，则AD的长为___________．9．如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．10．如图，在矩形中，已知将矩形折叠，使点与点重合，折痕为连接的面积与的面积比为，则的值为______________．11．如图的实线部分是由经过两次折叠得到的.首先将沿高折叠，使点落在斜边