专题01 勾股定理与几何综合的三种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

专题01勾股定理与几何综合的三种考法类型一、翻折问题例1．（三角形折叠）如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为___________．【答案】7【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，由，，，可得AC的长，由点D是AC的中点，可得CD的长，再根据直角三角形的性质，可求得DG，CG的长，进而可得BG的长，设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，在△DFG中，由勾股定理列方程可求得答案．【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，∵，，∴，在Rt△AHC中，∠C=30°，∴AC=2AH，，∴，又∵点D是AC的中点，∴，∴，，∴，设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，在Rt△DFG中，由勾股定理可得，，即，解得x=7，故答案为7【点睛】本题考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定理等，准确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．例2．（四边形折叠）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△，当点恰好落在直线MN上时，CE的长为_______．【答案】2.5或10【分析】分两种情况：点在线段上；点在的延长线上．分别由折叠性质勾股定理，矩形的性质进行解答．【详解】解：设，则，当点在线段上时，如图1，矩形中，，BC=6，，，，点，分别在，上，且，，，四边形为平行四边形，，四边形是矩形，，由折叠知，，，，，，，解得，，即；当点在的延长线上时，如图2，矩形中，，BC=6，，，，点，分别在，上，且，，，四边形为平行四边形，，四边形是矩形，，由折叠知，，，，，，，解得，，即；综上，或10．故答案为：2.5或10．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，关键是分情况讨论．【变式训练1】如图，在等腰中，，，点和分别是和上两点，连接，将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处，与交于点，则折痕的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt中，求出，设，则，在中，由勾股定理得，求得，在中，求出，过点怍于点，则，设，则，在Rt中，，可求，在Rt中，，可求，则．【详解】解∶由折叠可知，，等腰Rt中，，，是的中点，，在Rt中，，，设，则，在中，，，，在Rt中，，过点作于点，，，设，则，在Rt中，，在Rt中，，，，，故选∶C．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．【变式训练2】如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．【答案】或【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可．【详解】解：∵纸片中，，，∴，∵以为折痕，折叠得到，∴，，．当时，如图1所示，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴；当时，如图2所示，C与点E重合，∵，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴，综上所述，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．【变式训练3】如图，在正方形中，，点是的中点，连结，则______；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连结EF，则______．

【答案】【分析】可根据勾股定理求解；再根据折叠性质和勾股定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵在正方形中，，点是的中点，∴，，，在中，；由折叠性质得，，，∴，由勾股定理得，∴，解得，则,∴，故答案为：；．【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．类型二、最值问题例1．（垂线段最值）如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为________．【答案】【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．【详解】解：在中，，，，，，，当最小时，最大，当时最小，又，解得，的最小值为，的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键．例2．（几何意义最值）求代数式的最小值_____．【答案】10【分析】把式子化为两点间距离公式，，即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，设关于轴的对称点为，则，要求的最小值，只需求的最小值，根据线段的性质可得，的最小值为线段的长度，据此即可用勾股定理求解．【详解】解：把式子化为两点间距离公式，，即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，如图所示，设关于轴的对称点为，则，要求的最小值，只需求的最小值，根据线段的性质可得，的最小值为线段的长度，，，，即代数式的最小值是10．【点睛】本题考查的是勾股定理、用轴对称求最短路线问题的题目，掌握勾股定理和转化思想的应用是解决此题的关键．例3．（将军饮马最值）如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作，连接AB，AC，E是线段AD上的一点，且，连接EB，EC，已知，，则的最小值为________．

【答案】【分析】延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取，可证，得到，因此，当与在同一直线时，为最小，过点作，交的延长线于点F，构造出，利用勾股定理求出的长，从而得到的最小值．【详解】如图，延长至点，使得，过点作，并在该垂线上截取

∵，且∴，∵，又∴∵，∴∵∴∴∴如下图，当与在同一直线时，为最小过点作，交的延长线于点F

∵，，∴四边形为矩形∴，∴∴在中，∴的最小值为，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查两点之间线段最短，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【变式训练1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．【答案】(1)(2)5(3)13【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD在中，∴AC＝＝，CE＝＝，∴AC+CE＝；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，∴DF＝AB＝2，∴AE＝＝5，∴AC+CE的最小值是5；（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，所以AE＝＝＝13，即的的最小值为13．【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．【变式训练2】小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．【详解】解：过点作，过点作，连接交于点，如图，在中，，在中，，∴∵，∴设，则，∴解得，,∴,∴；在中，，在中，，设，则同理可得，，解得，，∴∴∴又，∴，∴，又，∴，∴，∴∵，∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．类型三、解三角形问题例1．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（）．A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】连接DF，AF，EF，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：连接DF，AF，EF，在中，，，，点G是DE的中点，点F是BC的中点，，，，，，，，是直角三角形，且，，，在和中，，，，，在中，，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．例2．如图，在中，，点、分别为、边的三等分点（靠近点），已知，，则斜边的长为_________．

【答案】【分析】设，，根据三等分点的定义可得，，根据，，，根据勾股定理可得，，继而得到，最后再利用勾股定理得到，代入计算即可得出结论．【详解】解：设，，∵点、分别为、边的三等分点（靠近点），∴，，在中，，，，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴斜边的长为．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，三等分点，求代数式的值，运用了整体代入的思想．灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式训练1】如图，四边形中，，．，若，则的长为______．

【答案】【分析】过点作于点，证明，可得，根据，得出，进而在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵，∴，∴，又∵，∴∴，∵，∴∴，在中，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式训练2】如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝___．【答案】5【分析】由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然后根据勾股定理可得DB，BE的长，进而可得EF的长．【详解】解：由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得DB′==12，∵BC=AD=15，∴EC=BC-BE=15-BE，在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9，根据勾股定理，得DE2=EC2+DC2，∴（12+BE）2=（15-BE）2+92，解得BE=3，∵EF⊥BC，AB⊥BC，∴EF∥AB，∴∠FEA=∠BAE，∵∠B′AE=∠BAE，∴∠FEA=∠B′AE，∴FA=FE，∴FB′=AB′-AF=9-FE，在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得EF2=FB′2+EB′2，∴EF2=（9-FE）2+32，解得EF=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．【变式训练3】如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（

）

A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】根据勾股定理和已知条件可得，，证明，得出，求出，利用勾股定理求出，即可得出答案.【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，设的延长线交于点F，如图，则，∵点E是的中点，∴，∴，∴，，∴，则在直角三角形中，，∴；故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理、证明三角形全等是解题的关键.课后训练1．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，，则图中阴影部分的面积为（）A．20 B．24 C．28 D．30【答案】D【分析】根据矩形对边相等四角都是直角，折叠对应线段相等，得到，根据勾股定理得到，，推出，根据三角形面积公式即得答案．【详解】解：设，∵矩形中，，且，∴，∵，，由折叠的性质知，，∴，∴∵，，∴，解得，，∴，，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形，折叠，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，折叠图形全等性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式．2．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长等于__________．

【答案】2.5【分析】根据折叠得到，，设，则，根据勾股定理求得的值，再由勾股定理可列方程求解即可．【详解】解：根据折叠可得，，设，则，在中，，，在中，由勾股定理得，，解得，故答案为：2.5【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．3．如图所示，将一张矩形纸片先沿着折叠，使点A刚好落在边上点G处，再沿着折叠（其中点F为上的一点），使点C恰好落在上点H处，连接，若，且，则______．【答案】【分析】由翻折性质可得，全等，由面积比可得，在直角三角形中可求的长，由直角三角形中可求．【详解】解：由折叠可得：，∵，∴，由翻折可得：，∴，，∵，∴，∵由翻折性质可得：，∴，∴∴，∴，∵，∴∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了翻折图形性质，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质，勾股定理．4．如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为______．【答案】【分析】作，由题意可得AD=3,根据翻折变换的性质可得≌，由全等三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得AG=DG，再根据勾股定理可得；设GM=x，则MB=DM=，可根据AB=AG+GM+MB求得GM，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：如图，折到的中点处，折痕为，作，∴AD=CD=3是翻折而成，≌，∴DM=MB∵等腰直角中，∴AG=DG∵作∴,即,解得：设GM=x，则MB=DM=∵AB=AG+GM+MB∴，解得：x=2，．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、线段的和差等知识点，掌握折叠和全等三角形的关系是解答本题的关键．5．如图，在中，，D在上，将沿直线翻折后，点A落在点E处，如果，那么的面积是___________．【答案】1【分析】先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得，所以∠CBF=∠BED=30°，在RtBCF中可计算出，，则，在RtDEF中计算出，，然后利用计算即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴，∴∠BAC=30°，∵ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴，∴∠CBF=∠BED=30°，在RtBCF中，，，∴，在RtDEF中，，，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形三边的关系，平行线的性质及折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．6．如图，在四边形中，，连接，若，则______．【答案】【分析】先过点D作于点E，求出，，然后根据“”证，得出，，最后再根据勾股定理计算即可．【详解】解：过点D作于点E，∵，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理的综合，正确构建辅助线证出是解题的关键．7．如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．【答案】【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．【详解】解：如图，连接，则有四边形，四边形相当于四边形沿边对折得到．已知，，则，，在中，，则，设，则，，在中，，即，解得，故答案为：．【点睛】主要考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点．8．如图，在四边形中，，，垂足为E，，，若，，则AD的长为___________．【答案】【分析】延长至F，使，连接，作于H，如图所示：则，证明，得出，证出，得出，同理：，设,则，由勾股定理即可得出结果．【详解】解：延长至F，使，连接，作于H，如图所示：则，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，设,则，在中，由勾股定理得：，解得：，∴，在中，由勾股定理得：．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，如果四边形中，，，，且，，，则______．【答案】7【分析】如图：在DC上取一点G，使，然后证明可得，；然后再证明可得，设，即，，最后在运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图：在DC上取一点G，使，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴设，即，在中，∴，解得：．∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的