高中数学人教课标A版选修1-2-教学设计1：推理与证明 公开课教学设计课件资料

推理与证明

★知识网络★

归纳

合情推理

推类比

理

推演绎推理

理

与

证

明

证

明

间接证明反证法

第1讲合情推理和演绎推理

★知识梳理★

1.推理

根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断,这种思维方式叫推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提,一

部分是由已知推出的判断，叫结论.

2、合情推理:

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的

推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象

具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推

理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特

征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊

的推理。

3.演绎推理：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之，

演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）

大前提一-已知的一般原理；（2）小前提一-所研究的特殊情况；（3）结论一一根

据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★

重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎

推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性

问题1：观察：V7+715<2#1；V55+VT67<2x/Tl；十3-&+J19+G<2而；….

对于任意正实数。力，试写出使6+2而成立的一个条件可以是.

点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故a+6=22

2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征

问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、8两点，

则当A8与抛物线的对称轴垂直时，A8的长度最短；试将上述命题类比到其他曲

线，写出相应的一个真命题为.

点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆

的焦点作一直线与椭圆交于A、3两点，则当A3与椭圆的长轴垂直时，A3的长

度最短（|A8|2勺2b2）

a

3、运用演绎推理的推理形式（三段论）进行推理

问题3：定义［x］为不超过x的最大整数，则［-2.1］=

点拨：“大前提”是在（-8,幻找最大整数，所以［-2.1］=-3

★热点考点题型探析★

考点1合情推理

题型1用归纳推理发现规律

［例1］通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

sin215°+sin275°+sin21350=-；sin230°+sin290°+sin2150°=-；

22

sin245°+sin2105(,+sin2165°=-；sin260°+sin21200+sin2180°=-

22

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性，(2)观察

角的“共性”

［解析］猜想：sin2(«-60°)+sin2«+sin2(a+60°)=二

2

证明：左边=(sinacos60°-cosasin60°)2+sin2a+(sinacos60°+cosasin600)2

=-|(sin2a+cos2a)==右边

【名师指引】(1)先猜后证是一种常见题型

(2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是

“循环型”(周期性)

［例2］(09深圳九校联考)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为

3

一组蜂0W…

巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第

二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

/(〃)表示第〃幅图的蜂巢总数.则/(4)=;/(〃)=.

【解题思路】找出了(“)一/(〃-1)的关系式

［解析］/⑴=1,/⑵=1+6J(3)=1+6+12,/(4)=1+6+12+18=37

/(n)=l+6+12+18+---+6(n-l)=3n2-3n+l

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

【新题导练】

1.(2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m的〃次方幕有如下分解方式:

22=1+332=1+3+542=1+3+5+7

23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19

根据上述分解规律，则52=1+3+5+7+9,若，/(〃zeN*)的分解中最小的数是73,

则，〃的值为___.

［解析］川的分解中,最小的数依次为3,7,13,…，m2-m+l,•••,

由m2—m+［-73得m=9

2.(2008惠州调研二理)函数/(幻由下表定义：

x25314

/(x)12345

若％=5,all+l=/(«„),〃=0,1,2,…，则%oo7=4.

［角牛析］。0=5,4=2,=1，43=4，。4=5,,,,，••a“+4a”,。2。。7=。3=4

点评：本题为循环型

3.(2008深圳调研)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个

第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第〃个图

形包含/(〃)个''福娃迎迎”，则/(5)=；/(«)-/(«-1)=.(答

案用数字或〃的解析式表示)

装

费

靠

费

靠

靠

拿

舞

靠

泉

靠

复

［解析］/(5)=41,/(〃)-/(«-1)=4(n-1)

4.(2008揭阳一模)

设为(x)=cosx,/(x)=4'(x),力(x)=f'(X),…,力+|(x)=fn\x),〃eN*,

则人008(X)=()

A.—sinxB.-cosxC.sinxD.cosx

［解析］/o(x)=cosx,/j(x)=-sinx,f2(x)=-cosx,f3(x)=sinx,f4(x)=cosx9

<+4。)=fn(%)，源8(X)=A3=COSX

题型2用类比推理猜想新的命题

［例1］（2008韶关调研）已知正三角形内切圆的半径是高的!，把这个结论推广到

3

空间正四面体，类似的结论是.

【解题思路】从方法的类比入手

［解析］原问题的解法为等面积法，即S==类比问题的解法

223

应为等体积法，V==l•〃即正四面体的内切球的半径是高,

3344

【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等

比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

［例2］在AABC中，若NC=90°,则COS2A+COS2B=1,用类比的方法，猜想三棱

锥的类似性质，并证明你的猜想

【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所

成的角如何类比到空间

［解析］由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P-ABC中，三个侧面

两两垂直，且与底面所成的角分别为a,4了,则

cos2a+cos2p+cos2y=1"

证明：设P在平面ABC的射影为。，延长C。交AB于M,记尸O=〃

由从而PC_LPM,又NPMC=a

hhh

cosa=sinNPCO=----,cos£=——，cos/=——

PCPAPB

•：VP_ABC=^PA-PB-PC=^PA-PBcosa+^PB-PCcos/3+^PC-PAcos/)-h

cosa

------+嘿+篝M=1即cos%+cM+cK=l

PC

【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球,

面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如:

两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等

【新题导练】

5.（2008深圳二模文）现有一个关于平面图形的命题:

同一个平面内有两个边长都是。的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则

2

这两个正方形重叠部分的面积恒为£■.类比到空间，有两个棱长均为。的正方体,

4

其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.

3

［解析］解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为3-

O

6.（2008梅州一模）已知AABC的三边长为a）,c,内切圆半径为r（用

SAABC表示A钻C的面积），则SMSC=Lr（a+b+c）；类比这一结论有：若三棱锥

A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥体积匕…a=

［解析］—R(SMBC+S&ABD+^MCD+S居CD

7.（2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二））

在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax+8y+C=O,圆心在（无（）,>（））的圆的一

般方程为。-/）2+（〉->0）2=/；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一

般方程为,球心在（x0,y0,z0）的球的一般方程为

2222

［解析］Ax+By+Cz+D=O；（x-x0）+（y-y0）+（z-z0）=r

8.对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数q，4，G和都是非零实

数，方程aX+3+G=0和〃2/+%工+。2=0在复数集上的解集分别是A和8,

则“£L=JL=£L”是"A=B"的充分必要条件.

a2b2c2

试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明.

解：（3）如果系数为,4,G和生也，。2都是非零实数，不等式a/2+3+C］>0和

的/+&》+02>0的解集分别是A和8,则“a=区=2”是“A=B”的既不

a2b2c2

充分也不必要条件.可以举反例加以说明.

9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项

的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差.

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定

义：;

已知数列{%}是等和数列，且4=2,公和为5,那么％&的值为.这

个数列的前〃项和S”的计算公式为,

［解析］在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个

——为奇数

数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；“8=3；S.=2

y=¥，〃为偶数

I2

考点2演绎推理

题型:利用“三段论”进行推理

［例1］(07启东中学模拟)某校对文明班的评选设计了a,4c,d,e五个方面的多

元评价指标，并通过经验公式样s=g+£+，来计算各班的综合得分，S的值越高

bde

则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出0<c<d<e<8<。，则下

阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标

应为.(填入a,b,c,d,e中的某个字母)

【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律

［解析］因a,"c,d,e都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分

子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，•••0<c<d<e<b<a,所以

c增大1个单位会使得S的值增加最多

【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到

［例2］(03上海)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常

数T,对任意x£R,有f(x+7)=T/U)成立.

(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由；

(2)设函数f(x)=a'(a>0,且aWl)的图象与y=x的图象有公共点，证明：f{x}-a

GM；

(3)若函数f(x)=sinAxGM,求实数k的取值范围.

【解题思路】函数/'(X)是否属于集合M,要看/'(x)是否满足集合M的“定义”，

[解](1)对于非零常数T,『(户T)=JV+T,Tf(x)=Tx.因为对任意xSR,户T=Tx

不能恒成立，所以=

(2)因为函数/'(x)=a*(a>0且aWl)的图象与函数y=x的图象有公共点，

所以方程组：]>=优有解，消去丫得印=”，

显然40不是方程a'=x的解，所以存在非零常数T,使a'=T.

于是对于/'(才)=巳有/(尤+7)=优+7=aTax=Tax=7f(x)故f(x)=H£M.

(3)当k=0时,f(x)=O,显然f(x)=O£M.

当kWO时，因为/"(x)=sin4xGM,所以存在非零常数T,对任意xGR,有

F(JV+T)=Tf(x)成立，即sin(A，v+AT)=TsinAx.

因为k#0,且x@R,所以AxWR,正ATGR,

于是sin/rxe[—1,1],sin(4x+AT)e[—1,1],

故要使sin(4x+AT)=Tsin4x.成立，

只有T=±l,当T=1时，$111(«户女)=$111於成立，则A=2R不，mWZ.

当T=-1时，sin(Ax-A)=­sinAx成立，

即sin(4x—A+")=sin/rx成立，

则一A+万=2加码mGZ,即A=-2(加一1)"，加eZ.

实数A的取值范围是{4|A=加"，rWZ}

【名师指引】学会紧扣“定义”解题

【新题导练】

10.(2008珠海质检理)定义方”是向量a和8的“向量积”，它的长度

|£*B|=|£H加6也8,其中8为向量a和6的夹角,若

〃=(2,0),〃一v=(1,—6),贝！J|〃*(〃+u)|=.

—*—♦—］———r—

［解析］v=(l,V3),w+v=(3,V3),sin<u,u+v>=—/.|w*(w+v)|=2>/3

11.(2008深圳二模文)一个质点从A出发依次沿图中线段到达3、C、D、E、F

G、H、/、J各点，最后又回到A(如图所示)，其中：ABLBC,D------

AB//CD//EF//HG//IJ,BC//DE//FG//HI//JA.---------

Jar

G

A

欲知此质点所走路程，至少需要测量〃条线段的长度,

贝(B)

A.2B.3C.4D.5

［解析］只需测量AB,8C,GH3条线段的长

12.(2008惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文f密文

(加密)，接受方由密文->明文(解密)，已知加密规则为：明文对应密

文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接受方收到

密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为().

A.4,6,1,7B.7,6,1,4c.6,4,1,7D.1,6,4,7

a+2/?=5a=6

2b+c=7得《h=4

［解析］由，2c+3d=1*，选C

c=1

4d=16d=1

13.对于任意的两个实数对(a,力和(c,d),规定：(a向=(c,d),当且仅当4=°乃="；

运算"@"为:(a,b)®(c,d)=(ac-t>d,bc+ad);运算"㊉”为:(a,b)®(c,d)=(a+c,b+d)>

设p,qeR,若(1,2)&(PM)=(5,0),则(1,2)㊉(/“)=.....()

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(Of

解：由题意，［“-2"=5,解得［"=1,所以正确答案为(B).

点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算.我

们可以把该题还原为：已知复数Z满足(1+2i)z=5,则(1+2z)+z=.

★抢分频道★

基础巩固训练

1、对于集合A,B,定义运算A—B={X|XGA且工任团，则A—(A-8)=()

A.BB.AC.AuBD.AryB

［解析］D［用图示法］

2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”

是假命题，推理错误的原因是

A.使用了归纳推理B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”，但大前提错误D.使用了“三段论”，但小前提错误

［解析］大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C

3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））

给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①''若。、bGR,贝!］。一人=0=。=/?"类比推出"。、ccC,贝必一匕=0=a=/?"

②”若a、b、c、deR,贝！J复数a+0i=c+dina=c,8=d”类比推出

"a、b、c、d&Q,则a+b五=c+=>a=c,/?=d"

③”若a、b>eR,则a—Z?>Ona>Z?"类比推出"若

a、eC,则a-。>0=>a>力”

④“若xeR,贝类比推出''若zeC,贝Hz|<1=>-1<z<1"

其中类比缜诊.硬的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

［解析］类比结论正确的只有①

4、如图第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=l,2,3,…）。则

第n—2

个图形中共有__________________个顶点。

［解析］设第〃个图中有。“个顶点，则q=3+3x3,/=4+4x4,=〃+〃•〃,

an_2=(〃-2f+〃-2=-3〃+2

5、如果函数在区间。上是凸函数，那么对于区间。内的任意修，/，…，匕，

都有1m)+/(%2)+-・+/(%)</(XI+X2+--+Xn).若y=sinx在区间(0,外上是

nn

凸函数，那么在△ABC中，sinA+sin3+sinC的最大值是.

［解析］sinA+sinB+sinCW3sin'+'+'=35山工=

332

6、类比平面向量基本定理：''如果£工是平面。内两个不共线的向量，那么对于

平面内任一向量Z,有且只有一对实数为,小，使得写出空间向量

基本定理是：_____________

［解析］如果之,"，尾是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量7有且

只有一对实数4,4自，使得Z=+4a

综合提高训练

7、(2008汕头一模)设尸是AABC内一点，AABC三边上的高分别为力A、M、％，

尸到三边的距离依次为/。、％、(.，则有2+JL+_L=_____________；类比到空

区每h

间，设尸是四面体4比刀内一点，四顶点到对面的距离分别是儿、怎、%、％,,P

到这四个面的距离依次是。、4、/『、ld,则有。

［解析］用等面积法可得，—二=1,类比到空间有3+3+q+}=1

4hB%hAhHhchD

8、(2008惠州一模)设f(x)=詈,又记

工(x)=/(%)，加(%)=/(力(x))，左=1,2,…,则身》8(/=<)

A.—；B.—；C.x；D.--；

1-xx+1X

［解析］C<(©=罟，f2(x)=--,人(幻=口，力(x)=x，.••丹+4(%)=力。)

1-XXX+1

Ax)8(X)=£(尤)=X

9、(1)已知等差数列2=冬+气+…丁％(〃eN),求证：也｝仍为等差

n

数列；

(2)已知等比数列｛%｝,c„>0(〃eN),类比上述性质，写出一个真命题

并加以证明.

〃(q+«„)

［解析］(1)b„=—2—=寄，。“+「a=%1产.，

n22

•••｛4｝为等差数列=也尹=|为常数，所以h｝仍为等差数列；

(2)类比命题：若｛%｝为等比数列，c“>0(〃wN*),而而••…g,

则｛"〃｝为等比数列

证明：d“=&cS=国,5=m=而为常数，｛叁｝为等比数列

10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=/(x)*£。)，对任意

x,y,昼e。均满足/(^12)>1[/(%)+/⑶)],当且仅当x=y时等号成立。

(1)若定义在(0，+8)上的函数/(x)GM,试比较/(3)+.”5)与2/(4)大小.

(2)设函数g(x)=—x:求证：g(x)GM.

[解析]⑴对于/(昼)4"(x)+/(y)]，令x=3,y=5得八3)+/(5)<2/(4)

22

G\/%+X,、1r../、](X,+X,)X.+X；(X1+%2)2、C

(2)-][g(X])+g(X2)]=■―'4-+'2-=I4->o

，g("；"2)zg【g(X】)+g(X2)]，所以g(x)GM

第2讲直接证明与间接证明

★知识梳理★

三种证明方法的定义与步骤：

i.综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、

公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明

方法。

2.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充

分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、

定义、公理、定理等)为止的证明方法。

3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，

从而证明了原命题成立，这样的方法叫反函去；它是一种间接的证明方法.用这种

方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立;(2)根据假设进行

推理，直到推理中导出矛盾为止

(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立

★重难点突破★

重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，

选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

1.从命题的特点、形式去选择证明方法

①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨

论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从

条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向

的，适宜用综合法

问题1：对于任意非零实数y),等式,+工=—1—总不成立

点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明

2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。

★热点考点题型探析★

考点1综合法

题型：用综合法证明数学命题

［例1］(东莞2007-2008学年度第一学期高三调研测试)

对于定义域为［0,1］的函数/⑴，如果同时满足以下三条：①对任意的总

有/(x)20；®/(l)=l；③若%NO,%玉+/4I，都有/(玉+九2)2/(为)+/。2)

成立，则称函数/(幻为理想函数.

(1)若函数/(幻为理想函数，求/(0)的值；

⑵判断函数g(x)=2'-l(xe［0J)是否为理想函数，并予以证明；

【解题思路】证明函数g(x)=2"-l(xe［0J)满足三个条件

［解析］(1)取再=%=0可得f(0)N/(0)+/(0)n/(0)W0.

又由条件①/(0)20,故/(0)=0.

(2)显然g(x)=2*-1在［0,1］满足条件①g(x)H0；

也满足条件②g6=l.若玉NO,x2>0,x,+x2<1,则

g($+乙)一［g&)+g(/)］=2为+*一1一［(2$-1)+(2&-1)］

=2项+4_2为-2%+1=(2V2-1)(2"-l)>0,即满足条件③，

故g(x)理想函数.

【名师指引】紧扣定义，逐个验证

【新题导练】

1.(2008年佛山)证明：若。力>0,则电2国”殴

22

［解析］当a,b>0时，土">4ab,

2

两边取对数，得1g等2电旅，

又1g疝==呼=政产

二当a力>0时1g等之败产

2.在锐角三角形ABC中，求证：sinA4-sinS+sinC>cosA4-cos^+cosC

［解析］AABC为锐角三角形，A+B>2A>/-8,

22

jrJT

:y=sinx在(0,—)上是增函数，sinA>sin(---B)=cosB

22

同理可得sin6>cosC,sinC>cosA

/.sinA+sin+sinC>cosA+cosB+cosC

考点2分析法

题型：用分析法证明数学命题

［例2］已知a>Z?>0,求证&-后<da-b

［解析］要证C-八<d"b,只需证(&-的I<(Ja-匕)2

a+Z?-2y［ab<a-b,只需证即证b<a

显然Z?<a成立，因止匕&一瓶<Ja-b成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证-一只需证一-"，而不是“因为-一

所以-一”

【新题导练】

4.a>b>c>d>OJ3.4Z+<y=b+c,求证：4d+4a<y［b+4c

［解析］要证后+&<的+正，只需证d+&)2<(后+无》

BPa+<7+2y［ad<h+c+2y［bc,因a+d=8+c,只需证

即ad<be,

设a+d=匕+c=r,则ad—Z?c=(/■—d)d—(t—c)c=(c—d)(c+d—t)<0

:.ad<bc成立,从而夜'+&<四+五成立

25

5.a,beR,a+b=l,求证:(a+2)2+(b+2)2>—

［解析］(a+2)2+(/?+2>N§=/+/+4(。+与+gng=/+〃2g

O<72+(l-«)22；=缶-权NO，

•.•(a—g)2NO显然成立，故(a+2)2+3+2)2成立

考点3反证法

题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假

丫一2

［例3］已知/•（%）="+工^（〃>1）,证明方程y（x）=o没有负数根

x+l

【解题思路】“正难则反"，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛

盾

［解析］假设X。是/'（均二。的负数根，则x0<0且与。一1且就。=一五二2

%+1

0<at0<10<—-<1,解得!</<2,这与％<0矛盾，

%+12

故方程/（幻=0没有负数根

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

【新题导练】

6.（08江西5校联考）某个命题与正整数〃有关，若〃=MA;eN*）时该命题成立,

那么可推得〃=攵+1时该命题也成立，现在已知当〃=5时该命题不成立，那么

可推得

A.当”=6时，该命题不成立B.当〃=6时，该命题成立

C.当〃=4时，该命题不成立D.当〃=4时，该命题成立

［解析］用反证法，可证当〃=4时，该命题不成立

7.设a、b、c都是正数，则a+』、h+~.c+,三个数

bca

A.都大于2B.都小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个不小于2

［解析］:。,力,。,>0二。+』+。+，+c+，N6,举反例可排除A、B、C,故选D

bba

8.已知a、b、c成等差数列且公差dwO,求证：,不可能成等差数列

abc

［解析］•・・a、b、c成等差数列，.•.2A=Q+C

假设工、）、，成等差数歹U,则，=，+，=>（a+c）2=4〃c=>（〃一c）?=0,从

ahcbac

而d=0与dwo矛盾，；.工、」不可能成等差数列

abc

9.（广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）

下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

X38915

1gXbci+二3-3。一3c4a—273a-Z?+c+l

请将错误的一个改正为1g:

［解析］:1g9=21g3,所以3和9的对数值正确，若lgl5=3a-0+c+l正确，则

1g5工a+c

从而Ig8w3（l-lg5）,即Ig8w3-3a-3c,矛盾。

故15的对数值错误，应改正为lgl5=3。-8+c

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基础巩固训练

1.（2008年华师附中）用反证法证明命题："三角形内角和至少有一个不大于60°”

时，应假设（）

A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°

［解析］B

2.已知p3+/=2,关于p+q的取值范围的说法正确的是（）

A.不大于2行B.不大于2C.不小于2D.不小于

272

［解析］B

3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确

定

［解析］B

4.要证明不等式后+疗＞2亚+后成立，只需证明：

［解析］(n+77)2>(2痣+括)2

5.已知/+2+——与2后的大小关系是

a2+2

［解析］a2+2+^—>242(注意：不能取等号)［用平均值不等式］

/+2

6.(07年惠州第一问)已知数列｛%｝满足q=5,%=5，《用=%+6%(〃N2).

求证：｛4+］+2a〃｝是等比数列；

-=

［解析］由a+1=an+6a“_i,an+142an3(an4-2an-i)(n，2)

===

•3i5;325••SQ-!-2al15

故数列｛4+,+2&,｝是以15为首项，3为公比的等比数列

综合提高训练

7.(金山中学2009届高三期中考)已知表中的对数值有且只有两个是错误的：

X1.53568912

Igx3a-b+c2a_ba+c1+a-b-c3(l-a-c)2(2a-b)l-a+2b

请你指出这两个错误.(答案写成如lg20Wa+b—c的形式)

［解析］若lg3=2a+8错误，贝叫9=2(2。+加也错误，反之亦然，此时其他对数值

都正确，但Igl.5+lg6=l+4a-»wlg9,

1g3=2a+Z?、lg9=2(2a+力)且1g1.5£3a—b+c,

若lg5=a+c错误，则Ig6=l+lg3-lg5=l+a-b-c也错误，」.lg5=a+c正

确

若lg6=l+a-b—c错误，也能导出lg5=a+c错误，r.Ig6=I+a—人一c正确，

.♦.Ig8=3(lg6-lg3)=3(l—a—c)正确，:Ag12^\-a+2b,

综上lgl.5w3a-Z?+c,Igl2Hl—。+2匕

8.设函数/(九)=一2为奇函数.

(I)求实数。的值；

(II)用定义法判断了(x)在其定义域上为增函数

［解析］(I)依题意，函数/(X)的定义域为R

；f(x)是奇函数

•••=

.a,2'+a—2a,2'+u—2

,•+1—-2V+1

，2(a一1)(2'+1)=0

a=\

2V_1

(II)由(I)知，/(x)=---

2A+1

设玉<且%，々eR，贝I

/(々)-/(王)

_2-12A|-1

-2*+1-2』+1

=fl-——kfl-——］

I2*+1八2'1+1J

_2(2*-2』),0

一(2电+1)(2*+1)

•'­/U