人教版高中数学全册教案-07-直线和圆的方程五

两条直线的平行与垂直

一、教学目标

（一）知识教学点

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条

件确定两平行或垂直直线的方程系数.

（二）能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力

以及学生的数形结合能力.

（三）学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的

兴趣.

二、教材分析

1.重点：两条直线平行和垂直的条件是解析儿何中的一个重点，要求学生

能熟练掌握，灵活运用.

2.难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜

率的关系问题.

3.疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上

课时要注意解决好这个问题.

三、活动设计

提问、讨论、解答.

四、教学过程

（一）特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直.

当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两

直线的倾斜角为90°,互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的

倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.

（二）斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线11和12的斜率为kl和k2,它们的方程分别是

11：y=klx+bl；12：y=k2x+b2.

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角

与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征.

我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形.如果11〃12（图1-29）,那么它们

的倾斜角相等：ai=a2.

Atgal=tga2.

即kl=k2.

图1.29

反过来，如果两条直线的斜率相等，kl=k2,那么tgai=tga2.

由于0°a1<180°,0°a<180°,

a1=a2.

•••两直线不重合,

...11〃12.

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的

斜率相等，则它们平行，即

eq\x(

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提,

结论并不存立.

现在研究两条直线垂直的情形.

如果这时alWa2,否则两直线平行.

设a2<a1（图卜30）,甲图的特征是11与12的交点在x轴上方；乙图的特

征是11与12的交点在x轴下方；丙图的特征是11与12的交点在x轴上，无论

哪种情况下都有

a1=90°+a2.

因.为191、1=2的3斜率…是kl…、k2含,即.alW90°,所以a2W0°.

V匕=-厂或如匕=-1.

反过来，如果』=言即不失TH4.*<0,

1>0,那么

2=-酝5”力

可以推出a1=90°+a2.

11±12.

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们

的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

hIO=-7^-Okjk）=-1

eq\x（叼）

（三）例题

例1已知两条直线

11：2x-4y+7=0,L2：x-2y+5=0.

求证：11//12.

证明两直线平行，需说明两个要点：（1）两直线斜率相等；（2）两直线不重合.

证明：把11、12的方程写成斜截式:

•••两直线不相交.

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,•飞1=彳，

•.•两直线不重合，

...11〃12.

例2求过点A(l,-4),且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程.

喊I已知直叫阵是因为所求直线与已知宜髀行，

因此它的斛也是q.树g朗期5折求直线的方程是

7+4=-：(*」)•

即2x+3y+10=0.

解法2因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0,

将A(l,-4)代入有m=10,故所求直线方程为

2x+3y+10=0.

例3已知两条直线

11：2x-4y+7=0,12：2x+y-5=0.

求证：11±12.

证明IlafiWW^=-2.

由Tlq•一=1<-2)=-l.

.".11±12.

例4求过点A(2,l),且与直线2x+yT0=0垂直的直线方程.

解法1已知直线的斜率kl=-2.

•••所求直线与己知直线垂直，

，所求直骈城叫=热

根据点斜式得所求直线的方程是

y-l=-(«-2).

4a

就是x-2y=0.

解法2因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0,

将点A（2,1）代入方程得m=0,所求直线的方程是

x-2y=0.

（四）课后小结

⑴斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

⑵两斜率存在的直线垂直的等价条件；

⑶与已知直线平行的直线的设法；

⑷与已知直线垂直的直线的设法.

五、布置作业

1.（1.7练习第1题）判断下列各对直线是否平行或垂直：

⑴y=3x+4和2x-6y+l=0；

⑵y=x与3x十3y-10=0；

（3）3x+4y=5与6x-8y=7；

（今拘《-jr-l=O与■仔3y+6=0.

解：（1）平行；（2）垂直；（3）不平行也不垂直；（4）垂直.

2.（1.7练习第2题）求过点A（2,3）,且分别适合下列条件的直线方程：

（1）平行于直线2x+5-5=0；

⑵垂直于直线x-y-2=0；

解：（l）2x+y-7=0；（2）x+y-5=0.

3.（1.7练习第3题）已知两条直线11、12,其中一条没有斜率，这两条直

线什么时候：（1）平行；（2）垂直.分别写出逆命题并判断逆命题是否成立.

解：（D另一条也没有斜率.逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果

这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立.

⑵另一条斜率为零.逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直

线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立.

4.(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),

求这个三角形的三条高所在的直线方程.

蝇口的制率为q,杳所在直线方程为

也就是2x+7y-21=0.

同理可得BC边上的高所在直线方程为

3x+