人教版九年级数学上册《圆》小结与复习教学案

小结与复习（一）

素质教育目标

1,系统地归纳总结本章的知识内容.

2,通过系统地归纳总结本章的知识内容，培养学生阅读理解能力；整理归纳所学知识使

其条理化、系统化的能力;通过系列练习题的完成培养学生的理解能力、记忆能力。

3,通过圆与各种图形位置关系的复习，认识事物之间是相互联系的，通过运动和变化，

事物之间可以互相转化；由于本章内容较多因而显得零散，通过系统归纳，向学生渗透了抓

主要矛盾，''纲举目张”的辩证唯物主义观点.

教学重点、难点

1.重点：系统地归纳总结本章知识内容.

2.难点：使所学知识结构化.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

敖帅族精引入:经过近50课时的学习，第七章圆的全部内容已经学完了，今天我

们这节课的任务就是回顾一下这50课时学习内容，将其整理归纳，使之结构化.

圆是最常见的几何图形之一，在生活、生产实践中应用十分广泛.“圆”又是初中几何

最后一章，与前面所学的知识又有着千丝万缕的联系.本章的内容又较多，为了便于学生掌

握这些内容，安排一节课将本章内容归纳整理，使之结构化，就显得十分有必要.

课堂探练部分：同学们请看书，回顾一下第七章圆，你都学了有关圆的哪些知识.［安排学

生读书，讨论研究，然后回答这个问题.学生的回答必然零散，或读目录.］

教师引导学生总结：第七章的内容可概括为三大部分：其一，是它本身的概念和性质；

其二是它与其它几何图形的位置关系及性质、判定和应用；其三，圆柱、圆锥侧面展示图.

锦堂谛栋郎今

第一部分圆的概念和性质：提出如下问题让学生先看书后回答.［提问的重点是中下学生］

1.什么是圆？

2.圆心确定圆的什么？半径确定圆的什么？

3.满足什么条件的三点可以确定一个圆.

4.圆是轴对称图形，它的对称轴是谁？它有多少条对称轴？

5.圆的轴对称性主要体现在哪个定理上？

6.圆是中心对称图形吗？它的对称中心是谁？

7.圆的旋转不变性，主要体现在哪个定理上？什么是圆的旋转不变性？

8.弧长公式、扇形面积公式？

中下生答：［1.圆是与定点的距离等于定长的点的集合：2.圆心确定圆的位置，半径确定

圆的大小；3.经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；4.它的任意一条直径所在的直

线都是对称轴，它有无数条对称轴；5.垂经定理；6.圆是中心对称图形，它的圆心就是对

称中心；7.在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弧、弦、弦心距的相等关系定理.圆

绕圆心旋转任意大小的角度都能够与原图形重合称为圆的旋转不变性；

2

c,n»Rc1…

8,L=-------，S坳彩—-------=—LR

1803602

第一大部分知识间的关系可如下表：

不在同一直线上的三点确定圆

定乂一点的轨迹

目］楠今/周1长f弧长公式

囱，慨面积f扇形面积公式

，轴对称性一一垂径定理及其推论

性人f旋转不变性——圆心角、弧、眩、死心距关系定理

第二大部分知识间的关系可如下表:

（点

圆与直线的位置关系

圆

‘圆心角

向与圆有关的角,圆周角

圆［弦切角

1三角形

圆与，四边形的关系

［正多边形

与圆有关的比例线段定理

第二部分拟提出以下问题让学生看书，然后回答，重点仍然是中下学生.

1.点与圆有哪几种位置关系？

2.点到圆心的距离d跟点与圆的位置关系是怎样对应的？

3.直线与圆有哪几种位置关系？

4.圆心到直线的距离d跟直线与圆的位置关系是怎样对应的？

5.圆与圆有哪几种位置关系？

6.两圆的圆心距d与两圆的位置关系又是怎样对应的？

7.与圆有关的角都有哪些？

8.圆心角的度数和它所对弧的度数有什么关系？

9.一条弧所对的圆周角与圆心角具有什么数量关系？

10.弦切角与它所夹的弧所对的圆周角具有什么数量关系？

11.三角形的三边中垂线的交点是三角形的什么心？三角形的内心是三角形的什么特殊线段

的交点？

12.圆内接四边形有哪些性质？

13.正多边形和圆有哪些关系定理？

14.与圆有关的成比例线段定理有哪些？

［答案：1.点在圆内，点在圆上，点在圆外.2.设圆的半径为R,

有d〈RQ直线与圆相交；d=RO直线与圆相切；d>RO直线与圆相

线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.4.设圆的半径为R,则

一圆半径为r,其中R>r,则有两圆外离Od〉R+r,两圆外切Od=

R+r,两圆相交OR+r〉d〉R-r,两圆内切Od=R-r,两圆内含O离.5.两

圆外离、外切、相交、内切、内含.6.设一圆半径为R,

d<R-r,7.与圆有关的角有：圆心角、圆周角、弦切角.8.圆心角

的度数等于它所对的弧的度数.9.一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.10.弦切

角等于它所夹弧对的圆周角.11.外心；两角平分线的交点.12.圆内接四边形对角互补、

外角等于它的内对角.13.n等分圆周，（n》3）,（1）顺次连结各分点得圆内接正n边形，

（2）过各分点作切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是圆的外切正n边形.（3）正n边形

（n》3）一定有一个内切圆且有一个外接圆，并且这两个圆是同心圆.14.相交弦定理、切割

线定理、割线定理.］

第三部分：通过圆柱、圆锥的直观展开图进行有关计算.

第三部分拟提出以下问题，由幻灯片形式给出，让学生观察直观图并回答.［重点：提问中

下生］

1.在圆1中的h与m分别表示圆柱的什么？h与m有何数量关系？

2.图1中圆柱展开图矩形的一边是高或母线，另一边是圆柱的什么？

3.在图2中的h与m分别表示圆锥的什么？m、h、r,具有什么关系？

4.图2中的N0和Na分别表示什么角？

5.圆锥展开图的弧长与圆锥底面圆有何联系？

［答案：1.h是高，m是母线，h=m.2.另一边是圆柱底面圆的周长.3.h是高，m是母线,

m2=h2+r2,4.是圆锥的锥角，Na是圆锥展开图扇形的圆心角.5.圆锥展开图的弧长

等于圆锥底面圆的周长.］

思隹.犷展《教师引导学生对本课进行学习反思）

本节课将第七章圆的知识内容进行系统归纳整理.

布黄作业（学生可根据自己的实际情况选做）

教材P.67中1；P.84中1；P.100中1；P.118中1；P.137中1；P.157中1；P.179

中1；P.192中1.

第七章圆的复习（一）

第一部分第二部分

x回

回一＜（圆一与圆有关角w

圆皿『与G—四整边形

正多边形

与回有关成比例线段定理

教学札记

奉节锦面广量上保合但强，要忒老成匈己整理鼠加钠网络，卖行台晨数当，

今类作业，山激唳学女的老力积极喉，切实感扬老士的锦业负担。

小结与复习（二）

素质教育目标

1.重点复习圆的垂径定理；复习点的轨迹；复习反证法.

2,通过垂径定理及其推论的复习，培养学生观察能力，综合运用知识解决问题的能力，

通过点的轨迹复习，培养学生理解问题的能力，抽象能力及其表述能力.通过反证法的复习，

培养学生的推理论证能力.

3.适当对本单元的复习向学生渗透事物是相互联系的，在运动中相互转化的观点.通

过对一些点的轨迹的探索，培养学生实践的观点，对科学孜孜不倦的探索精神.

教学重点、难点

1.重点：垂径定理.

2.难点：（1）垂径定理推论的正确理解；（2）轨迹的准确表述；（3）反证法的正确使用.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

复打源备郡今

1,哪位同学回答一下垂径定理内容？［安排中下生回答：垂直于弦的直径平分这条弦，并

且平分弦所对的两条弧.］

教师引导学生总结：这个定理实质是说一条直线如果满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦，

则可推出；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，当然，对于一个圆

和一条直线来说，如果具备上述5个条件中的任何两个，那么也就具有其他三个，这就是垂

径定理的推论1.

2,哪位同学记得垂径定理推论2.［安排中下生回答：圆的两条平行弦所夹的弧相等.］

3,哪位学生记得弧长公式?扇形的面积公式？如何求弓形的面积？［安排中下生回答］

课堂练习题一：

如图，。。的半径为2cm,弦AB的弦心距OD=lcm,求:

⑴AB的长；⑵卷的长（3）/彘的长；（4）弓形舞的面积；（5）弓形

的面积；（6）弓形碇的高.

图7-187

教师引导学生分析（1）-------（6）小题之后，学生分组板演

练习题二:

如图7-188：AB//CD,且舞与的度数和是180°,◎O半

径R=2cm求（1）龌=?⑵S扇形众=?

图7-188

教师引导学生分析之后，学生分组板演

在这章里我们学习了5个基本轨迹，请大家回忆一下，哪位同学能回答出5个基本轨迹？[安

排回忆起来的同学回答：1.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为

半径的圆.2.和己知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.3.到

已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.4.到已知直线的距离等于定长的

点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线.5.到两条平

行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.]

练习题二：

1.与半径3cm的定。0相外切的半径2cm的。P的圆心轨迹是__.

2.与已知/AOB的两边都相切的圆，圆心的轨迹是__.

3.经过已知点A、B的圆的圆心轨迹是.

4.与两条平行线都相切的圆的圆心的轨迹是.

5.与直线1相切且半径为2cm的圆的圆心轨迹是.

教师引导学生分析：

1哪位同学记得这类题应如何去做？［安排中等生回答：先按题目所给条件画符合条件的

图形多个，然后观察这多个图形，得到运动着的点所描大致图形，再看这大致图形属于哪个

基本轨迹，最后注意纯粹性、完备性回答此题.］

2,请同学按此步骤，完成上述题目.［在学生们都完成的前提下，提问学生板书答案：1.以

0为圆心，5cm长为半径的圆，2.NAOB的平分线，顶点除外，3.线段AB的中垂线.4.是

和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.5.到直线1距离等于2cm且平行于1的两条

直线.］

1,哪位同学记得切线的性质定理？［安排中下生回答：圆的切线垂直于经过切点的半径.］

2,哪位同学说说这个命题的题设和结论？［安排中上生回答：如果圆的一条切线切圆于某

点，那么这条切线与过某点的半径相垂直.］

3,哪位同学对照图形，写出命题的已知和求证？［安排中下生回答］

练习题三：已知：直线AB切。。于点A.

求证：AB10A.

图7-189

教师引导学生分析：

1,这个定理的证明，我们使用的是什么方法，谁记得？［安排记起来的学生回答：反证法.］

2,反证法的第一步是什么？［安排中等生回答，假设命题的结论不成立.］

3,就此题而言，哪位同学能完成证明的第一步？［安排中等生回答：假设AB与0A不垂直.］

4,反证法的第二步是什么？［中等生回答：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾］

5,就此题而言，既然假设AB与0A不垂直，当然过点0可作OMLAB,垂足为M,根据“垂

线段最短”的性质，则有OMVOA,哪位同学知道所作线段0M是直线AB的什么？［安排

中等生回答：圆心到直线的距离.］

6,OMVOA意味着什么？［安排中等生回答：圆心到直线的距离小于半径.］

7,那么得出什么结论？［安排中学生回答，AB与。。相交］,

8,而已知AB与。0相切，由此得出矛盾，反证法的第三步是什么？［安排中下生回答：由

矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确］就此题而言，就是ABLOA.

9,请同学们在练习本上用反证法将这个定理完整地证明一下.

总牯、扩屐（引导老生灰思）哪位同学能概括一下我们本节课复习的内容？［安排中下

生回答：复习了垂径定理，复习了点的轨迹，复习了反证法.］

布黄作业①教材P.198中1、2；②完成本节课上的轨迹练习题；③P.70B组5.

极有核神

本节锦面广堂大保合僧强，要忒老士自己整理我知能网络，实行台层敖当，

合奏作业，山激发老丈的老司积极喉，切实减较老丈的锦业负捏。

小结与复习（三）

素质教育目标

1,复习有关切线的知识：切线的判定、性质；切线长定理；两圆内（外）公切线长定理.

2,通过切线的判定、性质，切线长定理的有关内容的一题多解训练，培养学生综合运用知

识解决问题的能力以及发散思维能力；通过两圆内（外）公切线长定理在计算中的应用，培养

学生正确的运算能力.

3.通过一题多解训练培养学生多角度、多方位、全面的、联系的看问题的思想方法；通过

两圆内（外）公切线长的有关计算都是转化为解直角三角形的问题来解决，向学生渗透事物间

相互依存、相互转化的观点.

教学重点、难点

1.重点：切线的判定、性质；切线长定理；两圆的内（外）公切线。

2.难点：一题多解的思路，尤其多解难.把两圆内（外）公切线长的问题转化为解直角三角

形问题，难在转化上，尤其内公切线长问题.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

教师谈话引入：

上节课我们重点复习了圆的性质中的垂径定理及其相论，今天我们复习直线与圆的位置

关系中，切线的判定、性质以及切线长定理，两圆内（外）公切线长定理.大家知道直线与圆

有相交、相切、相离三种位置关系，在这些位置中无论实际应用，还是继续学习的需要，其

重点在于直线与圆相切，为此本节课重点复习切线的判定、性质以及切线长定理,两圆内（外）

公切线长定理.

课堂复习探练部分：

一，哪位同学记得切线的判定定理内容？（安排中下生回答：经过半径的外端，垂直于这条

半径的直线是圆的切线.）［教师强调］这个定理也可这样叙述：一条直线经过圆上一点，且

这条直线跟过这点的半径相垂直，满足这两个条件的直线就是圆的切线.

练习题一:

C

图7-190

已知：如图7—190,AB是。。的直径，。。过BC的中点D,DE1AC.

求证：DE是。0的切线.

引导分析：

要证明DE是。0的切线需几个条件？（安排中下生回答：两个条件，其一DE过。。上一点，

其二DE跟过这点的半径相垂直.）

己知中已经出了什么条件？（安排中下生回答：DE过。0上的点D.）

那么只需证什么就可以了？（安排中下生回答：ED垂直于过点D的半径.）

所以连结D0,然后证DE_LOD.

如何证ED10D,请同学讨论研究，在学生充分讨论的基础上，让学生们各述己见，师生共

同评价.

二，哪位同学能叙述一下切线的性质定理？（安排中下生回答：圆的切线垂直于经过切点的

半径.）

哪位同学能叙述一下性质定理的两个推论？（安排中等生回答：推论1,经过圆心且垂直于

于切线的直线必经过切点；推论2,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.）

练习题二：

已知：如图7—191,AB切。。于A,CD切。0于C且AB//CD.

求证：AC是。。的直径.

CD

图7-191

引导分析：

哪位同学记得什么叫直径？（安排中下生回答：过圆心的弦叫做圆的直径，）

此题证AC是。0的直径其实质就是证AC过圆心0,或者说证A、0、C三点共线.

同学讨论后写出解答:

三，哪位同学回答切线长定理内容？（安排中下生回答：从圆外一点引圆的两条切线，它们

的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.）

练习题三：

已知：如图7-192,P为。0外一点，PA、PB为的切线，A和B是切点，BC是直径.求

证：AC/70P.

引导分析，大家相互研究一下如何证AC〃OP.

在同学们较充分讨论的基础上，让学生们各抒己见.师生共同评价.

练习题四:

己知：如图7—193,。01与。02外切于点T,AB分别切。01于A,切。02于B,半径

R=6,。02半径r=2.求：（1）AB

的长；⑵S扇R;（3）阴影部分的面积；（4）阴影部分的周长.

引导分析：

“。01与。02外切于点T”，为解题提供了什么信息？（安排中下生回答：0102=R+r）”AB

分别切。01于A,切。02于B”.

你想到了什么？（安排中下生回答：切线垂直于过切点的半径，即01A、02B均垂直于AB.）

你打算通过什么途径求公切线AB的长呢？（安排中等生回答：过02点作02CL01A,重点为

C通过解直角三角形的方法求出AB的长.）一一

总结、拓展（引导学生反思学习）

本节课复习了切线的判定、性质；切线长定理；两圆公切线长定理.

布置作业

：教材P.101中8；P.119.B组2；P.139中13.

板书设计

第七章圆的复习课(3)

教后札记：

学生对本课的概念和定理能够理解，会解简单的问题，但是，对综合的练习解答有难度,

解题不周密，要指导学生对习题多角度多方位多层次的一题多解的反思练习。

古今中外教育名言

“教学的艺术不在于传授本领，而在于关于激励、唤醒、鼓舞。”一第斯多惠：《德国教师教育指南》

“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”一一瑞士著名教育家皮亚杰：《教育科学与儿童心理》

“求知与求学的欲望应该采用一切可能的方式去在孩子们身上激发起来。”一捷克教育家夸美纽斯

我们应该“使每一个学生在毕业时候，带走的不仅仅是一些知识和技能，最重要的是要带走渴求知识

的火花，并使它终生不熄地燃烧下去。”一一苏霍姆林斯基《给教师的建议》

“如果学生没有学习的积极要求，教师越是把注意局限在知识上，学生对自己学习上的成绩就越冷淡，

学习愿望就越低落。一一苏霍姆林斯基《给教师的建议》

“强迫学习的东西是不会保存在心里的。”-一《柏拉图论教育》，人民教育出版社

“儿童学习任何事情的最合适的时机是当他们兴致高、心里想作的时候。”——英国教育家洛克

“教导儿童的主要技巧是把儿童应做的事情也都变成一种游戏似的。”一一（同上）

“一个人在学校里表面上的成绩，以及较高的名次，都是靠不住的，唯•的要点是你对于你所学的是

否心里真正觉得很喜欢，是否真有浓厚的兴趣……”一一中国邹韬奋：《工程师的幻想》1956年版

“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件。

当一个人不仅在认识世界，而且在认识自我的时候，就能形成兴趣。没有这种自我肯定的体验，就不可能

有对知识的真正的兴趣。”一一前苏联教育家苏霍姆林斯基：《给教师的建议》

“如果你所追求的只是那种表面的、显而易见的刺激，以引起学生对学习和上课的兴趣，那你就永远

不能培养起学生对脑力劳动的真正的热爱。你应当努力使学生自己去发现兴趣的源泉，让他们在这个发现

过程中体验到自己的劳动和成就，一一这件事本身就是兴趣的最重要的源泉之一。离开了脑力劳动，就既

谈不上学生的兴趣，也谈不上他们的注意力。”一一苏霍姆林斯基：《给教师的建议》

“你在任何时候也不要急于给学生打不及格的分数。请记住：成功的欢乐是一种巨大的情绪力量，它

可以促进儿童好好学习的愿望。请你注意无论如何不要使这种内在的力量消失。缺少这种力量，教育上的

巧妙措施都是无济于事的。”一一苏霍姆林斯基：《给教师的建议》

“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”一一孔子：《论语•雍也》

“唤起兴味。学生有了兴味，就肯用全副精神去做事体，所以‘学'和'乐'是不可分离的。学校里

面先生都有笑容，学生也有笑容。有些学校，先生板了脸孔，学生都畏惧他，那是难免有逃学的事了。

“治学以兴趣为主，兴趣愈多，则从事弥力，从事弥力，则成效愈著。”-《陶行知全集》

卷一

“总之，必使学生得学之乐，而耐学之苦，才是正轨。若一任学生趋乐避苦，这是哄骗小孩子的糖果

子，决不是造就人才的教育。”——《陶行知全集》卷一P.44

“在我们学校的课程里，有两门课是非常重要的，一门是学会怎样学习，一门是学会怎样思考，而恰

恰在我们的课表里却没有这两门课。”一一《学习的革命》

“如果一个人深入思考所读课文的内容，那么虽然他并没有努力去记住材料，而材料却很容易地印入

并牢固地保存在记忆里。”一一前苏联教育家赞可夫：《和教师的谈话》

“凡是儿童自己能够理解和感受的一切，都应当让他们自己去理解和感受。不过，教师知道应当朝哪

个方向引导儿童：对于他们的思想，有些加以支持和发展，而有些则机智地予以抵销一一当学生离开了作

品的思想内容，陷入一些细节的时候就需要这样做。”一一前苏联教育家赞可夫：《和教师的谈话》

“一个有经验的教师，并不让学生花专门的功夫去记诵规则和结论：对事实的思考，同时也就是对概

括的逐步的识记。思考和熟记的统一表现得越鲜明，学生的知识就越自觉，他把知识运用于实践的能力就

越强。”

一一苏霍姆林斯基：《给教师的建

议》

新沂市第十中学数学教案一一几何No：第18课时2005年3月10日星期四

小结与复习（四）

素质教育目标

1,复习与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角.

2,通过对与圆有关角的系统复习，培养学生系统归纳知识、使之结构化的能力：通过与圆有

关角的练习题的解答，培养学生综合运用知识解决问题的能力以及发散思维能力；

3,通过对与圆有关角的系统复习，向学生渗透事物间相互联系、相互转化的观点；通过题目

的发散思维训练，培养学生的求异思维、创新意识.

教学重点、难点

1,重点：圆周角定理及其推论、弦切角定理.

2,难点：综合运用知识证、解题.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学过程

教师谈话引入：前几课我们分别复习了全章概貌、垂径定理及切线的有关内容，今天我们将

系统复习与圆有关的角.

课堂复习探练部分

一，同学们回想一下，我们都学了哪些与圆有关的角？看看书，相互讨论研究一下.（安排

中下生回答：圆心角、圆周角、弦切角.）

1.什么叫圆心角？圆心角与它所对的弧有什么等量关系？

2.什么叫圆周角？圆周角定理的推论有哪些？

3.一条弧所对的圆心角与圆周角有什么数量关系？

4.什么叫弦切角？弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么数量关系？

（以上问题，均安排中下生回答：1.顶点在圆心上的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所

对的弧的度数.2.顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.推论1.同弧或等弧所对

的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2.半圆（或直径）所对

的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3.如果三角形一边上的中线等于这

边的一半，那么这个三角形是直角三角形.3.一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2

倍.4.顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫做弦切角.弦切角等于它所夹的

弧对的圆周角.）

演示：如果将图中/ACB的AC边固定不动，向圆外方向移动BC边，当BC与。。相切于点C

时，此时圆周角NACB就变成了弦切角NACB,所以可以说弦切角是由圆周角的一边运动到

与圆相切位置时得到的，广义上说弦切角是一种特殊的圆周角.

练习题一：

M

C

图7-195

已知：如图7—195,A、C、B是。。上三点.ZA0B=100°.求/ACB的度数.

教师引导学生分析：不难看出NAOB是圆心角，NACB是圆周角，但它们对的不是同一条弧,

那么如何从NA0B=100°的条件中求得NACB度数呢？请同学们讨论研究一下，相互间交流

一下看法.

解：方法1.

五届的度数=260。|

ZAOB=100°=>@的度数=100°n/ACB的度数=；瓜港的度数|

=>ZACB=130°.J

方法2.在圆周上任取一点D,连结DA、DB.

ZD+ZACB=180°],

/o，。卜nNACE=130°

ZAOB=100*=ND=50°

图7-196

练习题二：

已知：如图7—196,AB1CD,DE是。0的直径.求证：AE=CB.

同学们相互讨论看看这题应该怎样做？

在同学们充分讨论后，可接排中上学生到前面对着图形讲自己的思路：

分析1：因已知DE是。。的直径，所以想到直径所对的圆周角是直角.因此连结EC,得/

ECD=90°.又AB_LCD想到EC〃AB.根据“圆的两条平行线所夹的弧相等”，再依据在同圆

中，弧等，弧所对的弦相等”.即证得AE=CB.

图7-197

分析2.要证AE=CB,想到证舞=CB,要证弧等，想到证明

弧所对的圆周角等.因此连结AD、BD,证NADE=/BDC即可，而/ADE=90°-ZAED,因为

ED是直径，根据直径所对圆周角是直角，所以有Rt^AED,而NBDC=90°-ZABD,因为已知

AB1CD.再观察发现/AED与/ABD是同弧所对的圆周角，所以有NAED=/ABD.因此得证.

分析3：要证AE=CB,需证AE=CB；要证弧等，需证弧所对的

圆周角相等，因此连结AD、BD,即证NADE=NCDB.由DE是。0的直径可知NADE在口△

ADE中，由ABLCD知/CDB在RtZ^FBD中，而这两个三角形的第三角，即/E=NABD.根据

“同弧所对的圆周角相等”即可.

练习题三：

图7-198

已知：如图7—199,。01与。02外切于点T,AB分别切两圆于A、B.求证：AT±BT.

同学们仔细读读题，看看这题该如何证明.

在学生比较充分讨论之后，安排学生到前面对照图形进行分析：

分析1：因AB分别切两圆于A、B,所以想到切线垂直于过切点的半径，因此连结01A,连

结02B.于是有01A〃02B.又。01与002外切于点T,想到相切两圆连心线必过切点，所

以连结0102,则01、T、02三点共线，由于01A〃02B,所以/01+/02=180°.又因三角

形内角和=180°.所以有/091+/人1'01+/81'02+/021?1=180°,再根据同圆半径相等，

可得NAT01+NBT02=90°.因平角=180°,所以有NATB=90°.即AT_LTB.

图7-199

分析2：因。01与。02外切于点T,所以想到做。01与。02的

公切线TM交AB于M,由于/BAT与/AIM都是夹前1的弦切角所以/BAT

=ZATM.同理NMTB=NABT.又因为三角形内角和为180°,即NBAT+NATM+NMTB+NTBA

=180°,所以NATB=90°,即AT±TB.

A

B

图7-200

分析3.因。01与。02外切于点T,所以作。01与。02的公切线TM交AB于M.己知AB切

©01于A.根据切线长定理，有MA=MT,同理MT=MB.根据圆周角定理推论3,则有NATB=90°,

即AT±TB.

练习题四：

己知：如图7—201,。01与。02内切于点P,。02的弦AB切。01于C,PA交。01于F,

PB交。02于E.求证：（1）EF//AB（2）PC2=PF•PB.

图7-201

请同学们认真思考这题该如何完成？

在同学们充分思考的基础上安排中上学生到前面为全班同学讲解题思路：

分析（1）：要证EF〃AB,想到证/PEF=NB,而这两角分别为。01与。02的圆周角.由于

已知。01与002相内切，所以想到作这两圆的公切线，因为有公切线就有弦切角，而这个

弦切角就是勾通/B与NPEF的桥梁.过点P作001与。02的公切线PD.在。01中NDPA

=/PEF,在。02中/DPA=/B,，/PEF=/B.；.EF〃AB.

PCPB_

分析⑵：要证PC?=PF.PB则证隹=0，达此目的需证ZXPFC

rrPC

-△PCB.因此连接FC.由问题（1）的解决可得NPCF=NB.而已知AB切。01于C,可得出

NPCB=/PFC.因此△PFCs/\PCB.问题得证.

总结、扩展（引导学生方式学习的内容）

本节课我们复习了与圆有关的角：圆心角、圆周角和弦切角及其相关定理、推论.

布置作业：将本节课所分析的四题，认真整理到作业本上，一题多解的题要求中上生用尽可

能多的方法完成.中下生要求至少掌握一种证法.

板书设计

教学札记，4节蕉面广量大俅合但强，要求老幺岛己整理鼠加伊网络，卖行今

层数老，合类作业，起檄发号幺的学灯积极横，切实成经老丈的薛业负担。

新沂市第十中学数学教案一一儿何No：第19课时2005年3月11日星期五

小结与复习(五)

素质教育目标

1.复习圆与三角形、四边形、正多边形的有关知识.

2.通过画图复习，进一步培养学生的画图能力；通过正多边形的复习，培养学生正确迅速

的运算能力：通过运用三角形内、外心性质及圆内接四边形的性质证题，进一步培养学生的

推理论证能力，以及综合运用知识解决问题的能力.

3.通过画图和计算培养学生画图、计算能力的同时，培养学生认真仔细的科学态度.通过

一题多解训练，在进行发散思维训练的同时，培养学生创新意识.

教学重点、难点

1.重点：(1)复习三角形外接圆、内切圆的画法，复习画圆内接正方形、正六边形；

(2)复习三角形内切圆、圆的外切四边形及正多边形的有关计算；

(3)复习三角形内心、外心的性质以及圆内接四边形的性质.

2.难点：综合运用知识证、解题.

教法学法和教具

1,教法：引导学生探索研究发现法。

2,学法：学生主动探索研究发现法。

3,教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）

教学步骤

核话引入：今天我们大家一起复习三角形、四边形及正多边形和圆的有关知识.

儡堂探栋：

复习也备：1,同学们，你们还记得三角形的外接圆怎么画吗？（安排中下生回答：作三角形

两边的中垂线，其交点就是圆心，这点到任一顶点的距离就是半径.）

图T-202

2,哪位同学到前面来作三角形的外接圆？（安排三名中下生到前面画，其余学生在本上画.）

3,大家观察这三个图，哪个图形的步骤可以再减少一点？（安排中等生回答：画直角三角形

的外接圆，只需作斜边的中垂线找到斜边中点就是圆心.）

图7-203

4,大家知道，正多边形都有一个外接圆，正多边形的外接圆又该如何画呢？哪位同学回答

圆心该如何找？（安排中等生回答：作一组邻边的垂直平分线，交点即是.）

令这是一种通法，是在三角形外接圆的画法启发下作出来的，因为正多边形的一组邻边的

顶点组成一个三角形.随着正多边形边数的增加相邻两边中垂线的交点位置越不明显.

5,如何克服这一缺点呢？同学们讨论：（安排上等生回答：正多边形的中心其实就是它外

接圆的圆心，而正多边形的每条对称轴都通过正多边形的中心.所以只要作出交点位置

明显的两条对称轴即可.）

令显然，利用正多边形的轴对称性作正多边形的外接圆，其方法要优于前一种.因每个正

多边形都有一个外接圆和一个内切圆且两圆同心，所以按上法找到圆心后，作它的内切

圆就不成问题了.

图7-204

6,哪位同学记得三角形的内切圆怎么画？（安排中下生回答：作三角形两内角平分线，角平

分线的交点就是圆心，圆心到任一边的距离就是半径.）请同学们画出下列三角形的内切圆.

图7-205

7,三角形的内切圆的圆心叫三角形的什么心？（安排中下生回答：内心.）内心有什么性质？

（中等生答：内心到三边距离相等，连结内心与三角形各顶点的连线是各顶角的平分线.）

8,大家还记得如何作半径为已知数的正多边形吗？大家用尺规在半径为2cm的圆中作内接

正方形、正六边形.再用量角器法，在半径为2cm的圆中作内接正五边形.

课堂练习题一：

已知：如图7—206,点I是aABC的内心，AI交边BC于点D,交aABC外接圆于点E.

求证：（1）BE=EC=EI（2）IE=AE-DE.

令引导分析：

1,“点I是AABC的内心”为你提供了什么信息？（安排中下生回答：AE平分NBAC.）

2,显然可证得哪两条线段相等？（安排中下生回答：BE=EC.）

3,要证问题（1）显然证BE=IE即可，所以连结BI,证明NBIE=NEBI.哪位同学能证NBIE

=ZEBI?（中等生答）

4,如何证IE-AE•DE?（安排中等生回答）

5,请同学们完成这道题，（安排两中等生上黑板作，其余学生在练习本作，老师巡视.）

课堂练习题二：已知：如图7—207。。与。0'相交于A、B,过B的直线交。。于C,交。

0'于D,CG、DG分别交两圆于E、F,连结AE、AF.求证：NGEA+NGFA=180°.

令引导分析：

1,观察图形不难发现/GEA是圆内接四边形的外角，圆内接四边形不完整，为此连结AB.

2,同学们互相讨论、研究如何证.

3,在学生们充分研究、讨论的基础上，安排中下生回答。

方法1.

A、B、C,E共圆n/GEA=NABC、

A,B,D,F共圆nNABC=/AFD

=NGEA=/AFD'

ZAFD+ZGFA=180°>

=>ZGEA+ZCFA=180°.

方法2.

A、B、C,E共圆nNGEA=/ABC、

A、B、D、F共圆nNAFG=/ABD>

J

nZGEA+ZGFA=ZABC+ZABD1

ZABC+ZABD=180°J

nNGEA+/GFA=180。.

方法3.

A、B,C、E共圆=/ABC+NAEC=180°'

A、B,D,F共圆n/ABD+NAFD=180°►

ZABC+ZABD=180°

nZAEC+ZAFD=180°

ZGEA=1800-ZAEC►

ZGFA=180°-ZAFD

i

=>ZGEA+ZGFA=180°.

方法4.如图7-208所示:

A、B、C,E共圆=N1=/C

A、B、D、F共圆nN2=/D>

ZC+ZD+ZG=180°

J

=>Z1+Z2+ZG=18O°

ZEAF+ZG=180°

ZGEA+EAF+ZAFG+ZG=360°

=>ZGEA+ZGFA=180°.

a

课堂练习题三：如图7—209,正六边形的ABCDEF的半径2cm.

则有正六边形ABCDEF的内切圆面积是；S扇形箴=；

S弓形Xc；与正六边形ABCDEF有同一外接圆的正方形周长是;

与正六边形ABCDEF有同--外接圆的正三角形的边长是—；与它有同一外接圆的正十二边

形的面积是.

令请同学们计算结果，看哪位同学既快又对.

总给、犷展（引导学生反思）本节课复习了三角形外接圆、内切圆的画法；正多边形外接圆、

内切圆画法；作半径已知的圆内接正多边形以及正多边形的有关计算；复习了三角形内心性

质与圆内接四边形的性质.

布置作业：将本节所练题，认真整理到作业本上，一题多解的题要求中上等生用尽可能多的

方法完成，中下生要求至少掌握一种方法，最后有关正多边形的计算，不仅要填写出准确答

案，而且要将每空的解题步骤完整的书写出来.

版有世时

教学札记/瘁节福而广嚏丈徐合铉强,要求学e匈已整理我扣包网络,实行方层数学，令类作业，

”1淑安考•皮的学习积极性.切实通经多幺的锦业费捏。解数不周密,要指导学士对灯题多角度多方住多层

次的一我.多解的反思称习。

新沂市第十中学数学教案一一几何No：第20课时2005年3月12日星期六

小结与复习（六）

素质教育目标

1.复习与圆有关的成比例线段；切割线定理、相交弦定理、割线定理.

2.通过运用定理进行有关计算培养学生正确迅速的运算能力；通过运用定理进行有关证明

培养学生推理论证能力；通过作已知线段的比例中项线段的多种作法，培养学生的发散思维

能力；通过作综合题，培养学生综合运用知识分析问题，解决问题的能力.

3.通过运用定理证明与计算，培养学生认真仔细，一丝不苟的科学态度.通过发散思维训

练，培养学生不墨守成规的创新精神.

教学重点、难点

1.重点：复习切割线定理、相交弦定理、割线定理内容及其应用.

2.难点：综合运用多方面知识解题.

教法学法和教具

1.教法：引导学生探索研究发现法。

2.学法：学生主动探索研究发现法。

3.教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）

数学步骤

便话引入：今天我们复习与圆有关的成比例线段.

复灯探任：

令课堂练习一：如图，弦AB、C1）相交于。0内一点P,你得出什么结论？（安排中下生回

答：PA•PB=PC•PD.）

如果PA=6,PB=2,PD=3,则PC=_.（安排中下生回答：4）

如果PC=6,PD=4,AB=11,则PA=.（安排中等生回答：8）请回答PA是如何计算出

来的？（答:设PA=x,则PB=11—x,根据相交弦定理PA•PB=PC•PD则有x（ll—x）=6

X4,解这个方程，然后根据图形将x=3舍去，得到答案.）

令课堂练习二：如图，割线PB交。。于A、B,割线PD交。。于C、D.你得出什么结论？

（安排中下生回答：PA・PB=POPD.）

如果PC=3,CD=5,PB=6,则AB=.（安排中下生回答：2）

如果CD=5,AB=2,PD=8,则PA=.（安排中等生回答：4.）请回答求PA的过程.（设

PA=x,则PB=x+2,根据割线定理有：PA・PB=POPD即:x（x+2）=（8—5）X8,解之即得.）

令课堂练习三：如图，PA切。。于A,割线PC交。0于B、C.你得出什么结论？（安排中

下生回答：PA2=PB•PC.）

如果PB=2,PC=8,则PA=_____.（安排中下生回答：4.）

如果PA=6,PC=9,则BC=_____.（安排中等生回答：5.）请回答求BC的过程.（答：设BC

=x,则PB=9-x,根据切割线定理有PA?=PB•PC,也就是6?=（9-x）•9,解之即可）

令课堂练习四：如图，AB是。。的直径，DP±AB,P为垂足，你得出什么结论？（安排中

下生回答：PD2=PA•PB）

如果PD=4,AP=8,则PB.（安排中下生回答：2）

如果DP=6,PB=4,则0P=.（安排中等生回答2.5）请告知大家你的计算过程.（答：

设OP=x,则半径0B=x+4,于是PA=2x+4,根据相交弦定理推论有DP2=PA•PB即62=（2x

+4）-4,解之x=2.5.）

哪位同学归纳一下，与圆有关的成比例线段定理有哪些？（安排中下生回答：相交弦定理、

割线定理、切割线定理以及相交弦定理推论.）

——B

图7-215

图7-214

令课堂练习五：如，C、D是。0的弦AB的三等分点，弦EF过点C,弦GH过点D.

求证：FC•CE=HD•DG.

大家讨论一下.哪位同学到前面来证？（安排中下学生作，其余在练习本上完成.）

AC•CB=FC*CE

证明：由相交弦定理知＜

AD•DB=DH*DG

又C、D是AB三等分点=AC=CD=DB

=FC*CE=HD*DG

令课堂练习六：如图，。。与。0'相交于A、B,N是AB延长线上一点，NP切。0'于P,

与。相交于M、Q.

求证:PN2=NM-NQ.

“。0与。0'相交于A、B,N是AB延长线上一点.”为你提供了什么信息：（安排中等生回

答：说明NBA是两圆的割线.）“NP切。0,于P,与。0相交于M、Q”又是什么