高三数学一轮复习 3-1 第三知识块 三角函数、三角恒等变换及解三角形随堂训练 理 苏教版

第三知识块三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角、弧度及任意的三角函数一、填空题1．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B为________．解析：求出集合A在[－4,4]附近区域内的x的数值，k＝0时，0≤x≤π；k＝1时，x≥2π≥4；在k＝－1时，－2π≤x≤－π，而－2π<－4，－π>－4此时－4≤x≤－π.从而求出A∩B.答案：{x|－4≤x≤－π或0≤x≤π}2．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为________．解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sinx＞cosx，则x∈.答案：3．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为________.解析：∵eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)r2α,\f(1,2)R2α)＝eq\f(r2,R2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(r,R)＝eq\f(1,\r(2))，∴eq\f(C1,C2)＝eq\f(2r＋l1,2R＋l2)＝eq\f(2r＋rα,2R＋Rα)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,\r(2)).答案：1∶eq\r(2)4．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是________．解析：点P在第一象限，其纵坐标y＝tanα＞0，因此α是第一、三象限角，且sinα>cosα，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)或π<α<eq\f(5π,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))5．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)m，则sinα的值为________．解析：设P(m，eq\r(5))点到原点O的距离为r，则eq\f(m,r)＝cosα＝eq\f(\r(2),4)m，∴r＝2eq\r(2)，sinα＝eq\f(\r(5),r)＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4).答案：eq\f(\r(10),4)6．(南京市调研测试)已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.解析：设扇形半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4.答案：47．函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r(－cosx)的定义域是________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,－cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≤0，))∴x范围为eq\f(π,2)＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．答案：[eq\f(π,2)＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)二、解答题8．已知α的始边为x轴非负半轴，终边在直线y＝kx上，若sinα＝eq\f(2,\r(5))，且cosα＜0，求实数k.解：由sinα＝eq\f(2,\r(5))＞0，cosα＜0，知α位于第二象限，故k＜0，设P(x，kx)(x＜0)是终边上一点，则sinα＝eq\f(kx,\r(k2x2＋x2))＝eq\f(－k,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(5))⇒k＝－2. 9．(·烟台模拟)已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2cm2，求扇形周长和弦AB的长．解：设长为l，OA＝r，扇形OAB的面积为S扇形．∵S扇形＝eq\f(1,2)lr，∴eq\f(1,2)lr＝2.①设扇形的圆心角∠AOB的弧度数为α，则|α|＝eq\f(l,r)＝4，②由①②解得r＝1，l＝4，∴扇形的周长为l+2r=4+2×1=6(cm)．如图所示，作OH⊥AB于H，则AB=2AH=2rsin=2rsin(π-2)=2sin2(cm)．10．(经典题)试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<eq\f(π,2)时，sinα<α<tanα.证明：如上图，单位圆与α终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，连结AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥x轴，交OP于T，则sinα=MP，α=，tanα=AT，由，即，∴<AT.又MP<PA<，因此MP<<AT.即sinα<α<tanα.1．已知eq\f(tan(cosθ),tan(sinθ))＞0，则θ是第________象限角．解析：∵eq\f(tan(cosθ),tan(sinθ))＞0，∴tan(cosθ)与tan(sinθ)同号，又∵－1≤cosθ≤1，－1≤sinθ≤1且sinθ≠0，cosθ≠0，∴θ为第一或第三象限角．答案：一或三2．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα和tanα.解：∵α为第四象限角，∴x>0，且r＝eq\r(x2＋5)