高中数学巧学巧解方法很好

高中数学巧学巧解大全

第一部分高中数学活题巧解方法总论

一、代入法

若动点P（x,y）依赖于另一动点。（/，打）而运动，而。点的轨迹方程已知（也可能易

于求得）且可建立关系式/=/*）,凡=g（x），于是将这个。点的坐标表达式代入已知（或

求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关

点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：y=/与直线/：x—y+2=0交于两点

4。.，力）和3（》8，%），且以<与，记曲线C在点/和点8之间那一段,与线段仍所围

成的平面区域（含边界）为〃设点「（$/）是£上的任一点，且点尸与点｛和点6均不重合.

若点。是线段45的中点，试求线段网的中点"的轨迹方程；

【巧解】联立y=x2与y=x+2得XA=-L'B=2,则A8中点

15

一+s-+t

设线段P。的中点M坐标为（x,y）,则苫二^万一广二？］一,

即s=2x-；,f=2y-1,又点P在曲线C上，

51.11

・・・2y一一二（2x一一）02化简可得y=/一％+一,又点P是L上的任一点，

228

且不与点A和点8重合，则-1<2X—L<2,即一4<X<&,

244

中点M的轨迹方程为y—x2—xH—（—<x<一）.

844

【例2】（2008年，江西卷）设尸（%,%）在直线x=m（yH土机上，过点P作双

曲线/一）2=1的两条切线PA、PB,切点为A、8,定点M（卜0）。过点A作直线x-y=0

的垂线，垂足为N,试求A4MN的重心G所在的曲线方程。

【巧解】设4（%,y）,8（%2，%），由已知得到必必工。，且x；-y；=l,%；一y；=i,⑴垂

线AN的方程为：y-y\=-x+Xj,

由得垂足N（土5,土土&）,设重心GQ,y）

x-y=022

co3

9x-3y---

1/1x,+y..

X=-(X]+—+—_—)*一4

所以13m2解得＜

1zcX1+2%1、

y=T(^1+o+^5)9y-3x+—

IT1

y'=4

由x；_y；=］可得（3x—3y--）（3x+3y---）=2

mm

io

即a-」一）2-y2=*为重心G所在曲线方程

3m9

巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线C:y=，的焦点为F,动点p在直线

/:冗-）〉-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B

两点.，求aAPB的重心G的轨迹方程.

巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以6（0,-6）和尸2（°，6）

为焦点、离心率为立的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点尸在，上，C在点、P

2

处的切线与小y轴的交点分别为尔B,且向量而=而+无，求点M的轨迹方程

二、直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、

严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近儿年全国

各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项

特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，

验证、筛选而迅速确定答案。

22

【例1】（2009年高考全国II卷）己知双曲线C:1―鼻=1（4>0/>0）的右焦点为F,

ah

过F且斜率为6的直线交C于A、B两点。若赤=4万，则C的离心率为（）

（A）-（B）-（C）-（D）-

5555

【巧解】设4工”月），^（马，乃），尸（c，0），由Ab=4尸5,得（。一天］,一乂）=4（%2-。,为）

y

・・.％=-4为，设过户点斜率为V3的直线方程为x-—产+c，

73

224

由<X-g+C消去X得：(2--a)y+^=Ly+b=0,

6b2c6b2c

y+%=—T=：...-一3为

>/3(b2-3a2)V3(/>2-3a2)

，将凶=-4%代入得，化简得

3b,3b,

~b2-3a2

2b2c

224

J，=^3(b-3a).4b%2=3b

'.2」3/，3(b2-3a2)2~~4(b2-3a2),

为~~4(b2-3a2)

2

化简得：16c2=9(3。2-/)=9(3/—。2+。2),二25/=36/,e=||,即6='。

故本题选（A）

【例2】（2008年，四川卷）设定义在R上的函数/（x）满足/（x）-/（x+2）=13,若

"1)=2,则/(99)=()

132

(A)13(B)2(C)—(D)—

213

【巧解】•；/(x+2)=士13一,/*+4)=丁巴13一=41f3-=/(x)

〃x)/(x+2)―

/(x)

1313

，函数/(x)为周期函数，且7=4,.../(99)=/(4x24+3)=/(3)

7(1)

故选（C）

巧练一：（2008年，湖北卷）若/（x）=—+〃ln（x+2）在（―1,+8）上是减函数，则人的取

值范围是（）

A.[-l,+oo）B.（-l,4-oo）C.（-oo,—l]D.（-oo,-l）

巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD—ABCDi的8个顶点在同一个球面上，且AB2

AD=y/3,44尸1,则顶点力、。间的球面距离是（）

叵兀

A.2血兀B.叵兀

三、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，

凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和

第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线V=2px（p〉0）的焦点F作倾斜角为45°的

直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8,则。=.

【巧解】依题意直线AB的方程为〉=》一"，由＜，="一]消去y得：

,2-2px

2

x-3px+^-=0,设A（X]，x）,B（x2,y2'）,x]+x2-3p,根据抛物线的定义。

IBF1=9+gIAF1=x,+y,IA81=X]+x,+p=4p=8,:.p=2,

故本题应填2。

【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆G的离心率为2,焦点在x轴上且长轴长为26.若

曲线G上的点到椭圆G的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线G的标准方程为（）

=1

52

(D)八•'__1

132122-

【巧解】由题意椭圆的半焦距为C=5,双曲线。2上的点P满足

IIPF,\-\PF2\\=S<\FlF2I,...点尸的轨迹是双曲线，其中c=5,4=4,6=3,故

v-22

双曲线方程为三—二v=1,...选（A）

4232

巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线£?一；？=1（。〉0/>0）的左、右焦点分别是R,Fz,

过R作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为

（）

A.-S/GB.5/3C.,\/2D.

3

巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线=2x上的一个动点，则点P到点（0,2）

的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

V17r9

（A）-—（B）3（C）J5（D）-

22

四、向量坐标法

向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之

间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到

多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形然切中，AC与即交于点、0,£是线段⑺的中点，

的延长线与必交于点E若就=a,~BD=b,贝U9=（）

A.—a+—bB.—a+—C.—a+-b

423324

【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABC。

13

则3(2,0),C(2,2),£>(0,2),0(1,1),E(-,-),

，直线AE的方程为y=3x,联立，得吗z

.2....

AAF=(-,2),设AR=xAC+yB。，则=x(2,2)+y(—2,2)=(2x—2y,2x+2y)

2

2x—2y=§解之得x=2,y—•2—-1—2-1-

,AAF=-AC+-BD=-a+-b,故本题选B

2x+2y=233333

【例2】已知点。为A48C内一点，且04+2。6+3。。=0,则A4O8、A4OC、\BOC

的面积之比等于

A.9：4：1B.1：4：9C,3：2：1D.1：2：3

【巧解】不妨设A48C为等腰三角形，ZB=90°

AB=BC^3,建立如图所示的直角坐标系，则点5(0,0)

4(0,3),C(3,0),设。(x,y),

,**OA+20B+3OC=0,即(一x,3—y)+2(—x,—y)+3(3—x,—y)=(0,0)

:"二;解之得x=|,y=:，即O（|，＜）

,又直线AC的方程为x+y—3=0,则点。

I—I----31nzI9

到直线AC的距离％=3口^=丫一，•；IACI=3近，因此S0OB=，1ABI-lxl=2,

了TF2MOB24

1313

=-\BC\-\y\=-fSM0C=-\AC\-h=-f故选C

巧练一：（2008年，湖南卷）设I）、E、F分别是aABC的三边BC、CA、AB上的点，且

皮=2访，3=2而，而=2而，则诟+诟+斤与前（）

A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直

巧练二：设。是AABC内部一点，且而+而=—2而，则AAO8与A4OC面积之比

是.

五、查字典法

查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比

较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的

味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高

位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“2”位

中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有

充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全

而出错。

【例1】（2007年，四川卷）用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000

大的五位偶数共有（）

（A）288个（B）240个（0144个（D）126个

【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，①个位为0,即xxxxO型，首位是2,3,4,5

中的任一个，此时个数为②个位为2,即xxxx2,此种情况考虑到万位上

不为0,则万位上只能排3,4,5,所以个数为③个位为4,xxxx4型，此种

特点考虑到万位上不为0,则万位上只能排2,3,5,所以个数为故共有

+2小：=240个。故选（B）

【例2】（2004年全国H卷）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，

大于23145且小于43521的数共有（）

A.56个B.57个C.58个D.60个

【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即3xxxx型，此特点

只需其它数进行全排列即可。有种，

（2）查前2位：只考虑前“2”位中比3既大又小的数，有4种情况：

24xxx,25xxx,41xxx,42xxx型，而每种情况均有种满足条件，故共有4A；

种。

（3）查前3位：只考虑前“3”位中既比1大又小于5的数，有4种情况：

234xx,235xx,431XX,432xx型，而每种情况均有种满足条件，故共有4用种。

（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有

23154和43512两种情况满足条件。故共有+4用+4A；+2=58个，故选C

巧练一：用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（）

A.110种B.109种C.108种D.107种

巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五

位偶数共有（）

（A）48个（B）36个（024个（D）18个

六、挡板模型法

挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当

元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，

同时也难以解决问题。

【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中，要求每个箱子放球的个

数不少于其编号，则不同的放球方法有（）

A.8种B.10种C.12种D.16种

【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排

为：。。。。。。，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：。。|。。|。。，每一

种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为=10种.故选B

【例2】两个实数集A=%o}，B=他也，…％}，若从卜到B的映射f使得B中

每个元素都有原象，且/（《）2/（%）2…2/（%0），则这样的映射共有（）个

A.B.盘C.或D.娟

【巧解】不妨设4中山两个集合中的数都是从小到大排列，将集合A的50个数视为50个相

同的小球排成一排为：。。。。。。。……00,然后在50个小球的49个空位中插入24块木

板，每一种插法对应着一种满足条件/（%）2/（2）2…2/（%o）对应方法，故共有不同映

射共有和L故选B

巧练一：两个实数集合A={ai,&,a3,—,&5卜与B={bi,b2）b3,bio）,若从A到B的是映

射/•使B中的每一个元素都有原象，且f（a,）Wf（az）W…WfEoXfQ”）〈…〈以水），则这样

的映射共有（）

A.0个B.C；个C.IO*个D.51°

巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空

的放法有()种

A.24B.84C.120D.96

七、等差中项法

等差中项法是根据题目的题设条件(或隐含)的特征，联想到等差数列中的等差中项，构

造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。

【例1】(2008年，浙江卷)已知a20/20,且a+8=2,则()

(A)ab<-(B)ab>-(C)a2+h2>2(D)a2+b2<3

22

【巧解】根据a+b=2特征，可得a,l,〃成等差数列，1为a与6的等差中项。可设

a=\-x,b=\+x,其中一14x41；则=1a2+b2=2+2x2,

又04*241,故owabwi,2<a2+b2<4,由选项知应选（C）

【例2】(2008年，重庆卷)已知函数y=>/匚1+J7TG的最大值为日最小值为必，则"■的

M

值为()

(A)-(B)-(C)—(D)—

4222

【巧解】由y=J匚1+JUG可得，擀为丁心与47々的等差中项，

令-yjl—X——+t>Jx+3——--t,其中

222

2

则(2+f)2+(t-f)2=1—x+x+3=4,即产=2—匕，又贝I」

2242

0<t2故042-二〈亍，解之得2Wy<2后，即M=2五,m=2

.m_2_V2

'•瓦=*"彳故选(C)

巧练：(2008年，江苏卷)x,y,zwR*,x—2y+3z=0,2-的最小值

xz

八、逆向化法

逆向化法是在解选择题时，四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是

解题重要的信息。逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时.，要“盯住选项”，

着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻

辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。

【例1】(2008年，湖北卷)函数[(x)='ln(Jx2—3卜+2+，一口2-3x+4)的

x

定义域为()

A.(F,-4]U[2,+8)B.(-4,0)U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取x=l，出现函数的真数为0,不满足，排

含有1的答案C,取x=-4代入计算解析式有意义，排不含有-4的答案B,取x=2出现二

次根式被开方数为负，不满足，排含有2的答案A,故选D

评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特

值法代入验证快速确定选项。

【例2】(2008年，江西卷)已知函数/,(幻=2机/一2(4—机)x+l,g(x)=Mx,若对于任一

实数x,/(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数机的取值范围是()

A.(0,2)B.(0,8)

C.(2,8)D.(-00,0)

【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2,那么就取加=2代入验证是否符合题意即可，

22

取机=2,则有/(X)=4x-4x+l=(2x-l),这个二次函数的函数值/(x)〉0对

了€/?且》=；恒成立，现只需考虑g(x)=2x当x=g时函数值是否为正数即可。这显然

为正数。故机=2符合题意，排除不含m=2的选项A、C、Do所以选B

2X+1

巧练一：(2007年，湖北卷)函数)，=]1工(x<0)的反函数是()

A.y=log）X+1（水-1）B.y=log,S3）

~x-1x-1

D.y=log,±l3）

C.y=log2—―-（x<-1）

x+\x+1

2

巧练二：（2004年，重庆卷）不等式上＞2的解集是（）

X+1

A.(-l,0)U(l,+8)B.(-8,-l)U(0,l)

c.(-1,0)u(0,1)D.(-oo,-l)U(l,+oo)

九、极限化法

极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势

进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算，以此来判断选择的结果.这种通过

动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.

AFCF

【例1】正三棱锥A—BCOU」，E在棱ABh,尸在棱CO匕使•一=——=%(2>0),

EBFD

设a为异面直线E尸与AC所成的角，，为异面直线EE与所成的角，则a+/的

值是()

7T„7T„r兀

A.—B.—C.—D.—

6432

【巧解】当4—0时.,E-4,且尸fC,从而EFfAC。因为AC，80,排除选

择支A,£C故选D(或；1->+8时的情况，同样可排除A,8,C),所以选D

【例2】若a=(2>,b=/,c=log?x,当/>1时，。力,c的大小关系是()

33

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

2

【巧解】当x—>0时，a—»—,/?—>1,c—>0,故c<a<〃，所以选B

3

JT

巧练一：若0<x<一,则2x与3sinx的大小关系()

2

A.lx>3sinxB.2x<3sinxC.2x-3sinxD.与x的取值有关

巧练二：对于任意的锐角a,夕，下列不等关系式中正确的是()

(/)sin(a+/7)>sina+sin，(B)sin(a+/?)>cosa+cos/?

(C)cos(a+夕)>sina+sin/?(〃)cos(a+/?)<cosa+cosp

十、整体化法

整体化法是在解选择题时，有时并不需要把题目精解出来，而是从题目的整体去观察，分

析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果，例如,对函数问

题，有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式，对函数图象,有时可以从

它的整体变化趋势去观察，而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结

论，或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等，都可以缩短解题过程,这是一种从

整体出发进行解题的方法.

【例1】已知。是锐角，那么下列各值中，sin。+cos。可能取到的值是（）

A.-B.-C.-D.-

4332

【巧解】•.•sin6»+cose=J^sin（6+2）,又。是锐角，0<。<巳

42

-<<?+-<—,：.—<sin（6»+-）<1,即l<&sin（（9+工）4血，故选B

444244

【例2】（2002年，全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001

年国内生产总值达到95933亿元，比上一年增长7.3%.”如果“十•五”期间（2001-2005年）

每年的国内生产总值按此年增长率增长，那么，到‘'十•五"末，我国国内生产总值约为（）

（A）115000亿元（B）120000亿元

（C）127000亿元（D）135000亿元

【巧解】注意到已知条件给出的数据非常精确，2001年国内生产总值达到95933亿元，精确

到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值，精确到千亿元,即后三位都是0,因此，可以从整

体上看问题，忽略一些局部的细节.

把95933亿元近似地视为96000亿元,又把0.0732近似地视为0.005,这样一来,就有

95933x（l+7.3%）4«96000（1+4x0.073+6x0.0732）

»96000x（1+0.292+6x0.005）=126720»127000.

TT

巧练一：如图所示为三角函数y=Asin（如+夕），（I。1<耳，A〉0）的图象的一部分，则此

巧练二：（全国卷）如图，在多面体/况妍中，已知面仍或是边长为3的正方形，EF//AB,

3

EF=L"与面然的距离为2,则该多面体的体

2

AB

十一、参数法

在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些

新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法

叫参数法。

22

【例1】（2008年，安徽卷）设椭圆C:j+==1（。＞6〉0）过点M（、巧,1）,且左焦点为

耳（一友,0）

（I）求椭圆C的方程；

（II）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆。相交于两不同点时，在线段AB上取点Q,满

足|还,丽|=|而,而卜证明：点Q总在某定直线上。

,c1=2

21v.2v2

【巧解】（1）由题意：^—+4=1，解得/=4,〃=2,所求椭圆方程为—+^-=1

a~b~42

c2=a2-b2

（2）由|Q|J而|=|而|J而|得：丝设点Q、A、B的坐标分别为

而

（x,），）,（％,3）,（4,当）。由题设知|而|,|而而|,口司均不为零，记％

/1〉0且；1/1,又A,P,B,Q四点共线，从而而=一4而，而=2丽，

于是心一4,]=XF.,工=.+4,X+办2

从而土二卒.=4x,……①]一今；...②

又点A、B在椭圆C上，即

x；+2y；=4,.....③x；+2y；=4,....④

①+②X2并结合③，④得4x+2y=4,即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上。

【例2】（2004年，辽宁卷）设椭圆方程为1+二=1,过点M（0,1）的直线/交椭圆于点

4

A、B,。是坐标原点，点P满足而=’（豆+而），点N的坐标为（,,▲）,当/绕点M旋转

222

时，求动点P的轨迹方程；

【巧解】直线/过点M（0,1）设其斜率为k,则/的方程为y=H+l.

记A（x-%）、8（%,为），由题设可得点八、8的坐标（4，），1）、（修，力）是方程组

y=H+l①

的解.

x2+—=1(2)

4

将①代入②并化简得，（4+公）/+2乙—3=0,所以

2k

X1+%2K于是

8

而1丽+丽=（岩X+乃)=(-k4

2'4+炉’4+*

设点P的坐标为（x,y）,则

-k

X=Y,

4)消去参数k得4x2+y2-y=o③

4+公,

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0,0）,也满足方程③，所以点P的轨迹方程

为4x2+y2=0.

巧练一：（2008年，全国I卷）直线与+2=1通过点”（cosa,sina）,则有（）

ab

A.a2+b2<\B.a2+b~>1C.>1D.-4-+-4-<1

a2h2a2b2

巧练二：如图，已知直线/与抛物线/=4y相切于点P（2,1）,且与x轴交于点儿。为坐

标原点，定点8的坐标为（2,0）.

(I)若动点M满足嘉•前+亚|俞1=0,求点M的轨迹C；

(II)若过点B的直线(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E

在B、F之间)，试求AOBE与AOBF面积之比的取值范围.

十二、交轨法

如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数,

写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情

况。

【例1】已知椭圆G二+亡=1(“>/,>())的离心率为逅，短轴一个端点到右焦点尸的距离

a2b之3

为6

(I)求椭圆c的方程；

(II)设直线/经过椭圆的焦点F交椭圆C交于A、B两点,分别过A、B作椭圆的两条切线，

A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。

•\/6

【巧解】(I)设椭圆的半焦距为c,依题意《解之得。=啦

:.b=\,.■・所求椭圆方程为土+y2=l.

3

（Il）由（I）知产（亚,0）,设A®,%）,B（x2,y2）,P（x0,y0）,对椭圆5+y

/XYY

求导：三+2yy'=0,即,则过A点的切线方程PA为y—%=-一匚(x-x.)

33y3%

整理得》/+3%>=3①同理过B点的切线方程PB为/尤+3y2y=3②，又

P(%,%)在两切线PA、上，.\占％+3%汽=3

;;

x2x0+3y2y0=3,因此，A（x1,y｝）,8（12，为）两点在均在直线尤（）%+3）0）=3上,

又•••/（、历,0）在直线XoX+3y0y=3上，x。、历+3y0xO=3,即/为交点尸的

轨迹方程

【例2】过抛物线C：y=/上两点M,N的直线/交y轴于点P（0,b）.

（I）若NMON是钝角（0为坐标原点），求实数b的取值范围；

（II）若b=2,曲线C在点M,N处的切线的交点为Q.证明：点Q必在一条定直线上

运动.

【巧解】（I）设点M,N坐标分别为（x”x：）,（x2芯）区W%）,则丽=（匕鬲）,丽=（巧芯）.由题

A=42+4b>0

意可设直线/方程为y=kx+b，山Jy=/.

由,泪去y得x2-kx-Ab=0,:.<x+x=k

[y=kx+bl2.

Xy'X2=-b

QM.ON

NMON是钝角,cos/MON=<0,且cosNMON工一1.

IOMI/ONI

由苏'•加3％+x㈤=-〃+/<0,得

此时O,M,N三点不共势,cosNMON=-1不成立.

的取值范围是（0,1）.“…6分

（II）当b=2时，由（I）知「>巧=”'

x1-x2=—b=-2,

・・,函数y=x'的导数y'=2x,

抛物线在M（X”X；）,N（X2，X；）两点处切线的斜率分别为=2X],&N=2/,二在点M,N处

的切线方程分别为

lM-y-x,=2xl（x-xl）,

lN:y-x1=2X2（X-X2）.

由Iy-xj=2占。-占）,“尸之）,解得交点。的坐标®y）满足

y-x1-2x2（x-x2）

'X,+^ik

-W2（

）="2，[y=-2,

。点在定直线y=-2上运动.

巧练一：已知定点A（1,0）和定直线X=-l上的两个动点E、F,满足耗J.而，动点P

满足EP//OA,FO//OP（其中0为坐标原点）.

(I)求动点P的轨迹c的方程;

(II)设直线/经过点”(1,0)与轨迹C交于A、B两点,分别过A、B作轨迹C的两条切线,

A、B为切点，求两条切线的交点P的轨迹方程。

巧练二：如图，在以点。为圆心，/冽=4为直径的半圆中，ODLAB,P是半圆弧上一点,

NA0庐30°.曲线C是满足|例|一|,监||为定值的动点〃的轨迹，且曲线C过点A

D

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线。的方程；Z^TAn

“铅'寸占〃的育舛…曲纬「相六的两“〃(――S

(II)设过点〃的直线/与曲线，相交于不同的两点£、F.AoB

分别过£、£作轨迹C的两条切线，E、式为切点，

求两条切线的交点Q的轨迹方程。

十三、几何法

利用平面儿何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规