等式与不等式的性质 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

2.1等式与不等式的性质

一、不等关系与不等式

1.两个实数a,b,其大小关系有三种可能，即a>。，a=b,a<b.

a>b^q—b>0.

依据a=b=a—b=O.

a<b^q—b<0

要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与Q的大

结论

小

思考f+1与2x两式都随龙的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能

想个办法，比较f+1与2x的大小吗？

2.重要不等式

X/a,b《R,有层+庐三2a0,当且仅当a=6时，等号成立.

二、等式性质与不等式性质

1.等式的基本性质

(1)如果那么b=a.

(2)如果a=0,b=c,那么a=c.

(3)如果那么a士c=。土c.

(4)如果那么ac=bc.

nh

(5)如果a=。，HO,那么工=工.

2.不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b<^b<a=

2传递性a>b,b>c=>a>c不可逆

3可加性+c>b+c可逆

a>b,c>O^ac>bc

4可乘性C的符号

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6同向同正可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd同向

7可乘方性a>b>O^>an>b'\n^N,疟2)同正

思考1若a>b,c>d,那么〃+c>b+d成立吗？a-c>b—dB/B?

思考2若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗？

考点一：等式性质

[例1]（2019•全国高一课时练习）下列变形中错误的是（）

A.若彳=儿则x+5=y+5B.若则x=V

aa

C.若—3x=—3y,则x=yD,若％=儿则土='

mm

1.1（2019・全国高一课时练习）根据等式的性质判断下列变形正确的是（）

2x3

A.如果2%=3,那么」=三B.如果％=，，那么%—5二5—y

aa

C.如果gx=6,那么x=3D.如果x=y,那么-2x=-2y

考点二：不等式性质

【例2】（2020.河北省曲阳县第一高级中学高一期末）对于任意实数a,b,

则下列四个命题：

①若a>b,c。0,则ac>be；

②若a>b,则讹2>北2；

③若0<?>历2,则°>人；

④若a>b,则工<；

ab

其中正确命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

2.1（2020.全国高一开学考试）若。、b、。为实数，则下列命题正确的是（

A.若a>Z?,则-2>加2B.若a</?<0,则/>">/

C.若a</?<0,则,D.若a</?<0,贝

abab

考点三：比较大小

【例3】（2020.全国高一课时练习）已知a,》均为正实数，试利用作差法比较

/+户与日+加的大小.

3.1（2020.全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）3/—x+1与2r+尤—1;

（2）当a>0,b>OKalb时，废沙与\。.

考点四：求代数式的取值范围

【例4】（2020.山东济宁.高一月考）若2<a<5,3<6<10,则a-2b的范围为

4.1（2019•全国高一课时练习）已知x—2y=6,x—3y=4,则犬―5盯+6/的值

为.

4.2已知iWa-6W2,2<a+b<4,则4a-25的取值范围是（）

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

4.3（2019广东高考模拟（文））设°海次，且1是一元二次方程加+於+c=0的

一个实根，则£的取值范围为（）

a

A.[—2,0]B.——?0C.-2,-^D.-1,

L2JL2j[2.

考点五：不等式的证明

【例5】（2020•全国高一课时练习）已知c<0,求证：->y.

ab

5.1（2020•全国高一课时练习）证明不等式次+炉发曲〃，bRR）.

厂111

5.2已z知史1,y>l,证明：%+丁~1--V—H---xy

xyxy

课后练习

1.设a,bER,a>b,则下列不等式一定成立的是（）

11

22

A.a>bB.a-<-b

C.a2>abD.2a>2b

（高二下•绵阳期中）已知，且

2.2018a,b,c,dERab>0,ab

则下列各式恒成立的是（）

A.be<adB.be>ad

D.3

c.c->-dcd

3.已知一l<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的范围是（）

AV，T）B-H，7）

D-（-l，

4.设a,b为正实数，则“a<b"是成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2017高一上•上海期中）已知a2>ai>0,b2>bi>0,>ai+a2=bi+b2=l,

记人=2加1+22b2,B=aib2+a2bi,C=1,则按A、B、C从小到大的顺

序排列是—.

6.（2019高二下•兴宁期中）已知aEa2,bi>b2,贝！Jaibi+a2b2与aib?十

a2bl的大小关系是.

7.（2016高一下•无锡期末）设M=5a2-a+l,N=4a2+a-1,则M,N的大小

关系为—.

24.（2018高三上•东区期末）不等式1的解集为—.

25.（2020高二上•咸阳期末）设％CR,M=3/-x+l,=x2+x-

1,则M与N的大小关系为.

8.（2020高一上•天门月考）已知a>b>0,c<d<0,e<0,比较

—a—c与的b—a大小.

QQ

39.已知a>b>0,c<0,求证：一a〉三b.

9.（2018高一下•六安期末）若a=2x2+1,b=x2+2x,c=­x—

3,比较Q，b，c的大小.

41.(2018高三上•连云港期中)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)

—x的两个零点为m,n(m<n).

(1)若m=-Ln=2,求不等式F(x)>0的解集；

若且比较与的大小

(2)a>0,0<x<m<n<-a,f(x)m

42.(2020高一上•延寿期中)比较大小：(x+5)(x+7)与(X+6)2.

43.(2021高一下•南充期末)比较N+y+i与2。+了一1)的大小.

精讲答案

思考

答案作差：J?+l—2x=(%—1)2>0,所以/+1N2X.

思考1若a>0,c>d,那么a+c>O+d成立吗？c>。一d呢？

答案a+c>Z?+d成立，。一。>。一1不一定成立，但。一1>。一,成立.

思考2

答案不一定，但当a>0>0,0d>0时，一定成立.

[例1]

【答案】D

【解析】根据等式的性质易知A,B,C正确；对于D,当加=0时，》=丁两边

都除以加无意义，故本选项错误.故选:D.

1.1

【答案】D

【解析】对于A,没有awO的条件，等式的两边不能都除以。，故选项A不正

确；对于B,等式的左边减去5,等式的右边乘以-1后加上5,等式不成立，

故选项B不正确；对于C,等式的左边乘以2,等式的右边除以2,等式不成

立，故选项C不正确；对于D,等式的两边都乘以-2,等式成立，故选项D

正确.故选:D.

【例2】

【答案】C

【解析】时，若c<0,则ac<A,①错误；

若c=0,则砒2=a2,②错误；

22

若ac>be，贝U°?>o,：.a>b,③正确；

a>b,若a〉0>/?,仍然有!④错误.

ab

正确的只有1个.故选：C.

2.1

【答案】B

【解析】对于A选项，若c=0,则砒2=左2,故A不成立；

对于B选项，Qa<b<0,在不等式a<b同时乘以。(。<0),得a?>ab，

另一方面在不等式a</?两边同时乘以Z?,得ab>。？，皿2>油>及,故B成

立；

对于选项C,在a<b两边同时除以"(必>0),可得!<工，所以C不成立；

ba

对于选项D,令a=—2,b=-l,则有色=a=2,~=\,所以D不

b-1a2ab

成立.

故选B.

【例3】

【答案】a3+b3>a2b+ab2

［解析］・・・〃3+/—+〃")=,3_+仅3_^2)

=〃2(〃一匕)+52s-a)=(a-^)(^a2-b2^=(a-b)2(a+b).

又e。均为正实数，

当a二Z?时，a-b=Q,a3+b3=a2b+ab2；

当a】〃时，（a-Z?）2>o,〃+人〉o,

贝1J**+3>crb+ab2-

综上所述，a3+b3>crb+ab2-

3.1

【答案】⑴货―九+1>27+%—1；(2)aabb>abba.

【解析】(1)-.-(3X2-X+1)-(2X2+X-1)=X2-2X+2=(X-1)2+1>0,

因止匕，3光2—九+1>2—+九一1；

ab(]y-6/、a-b

nhabbaaba

(2)^-=a-b-=a-

abba

①当a>b>0时，即〃一/?>0,/>1时,aabb>abba;

b

/、。一。(、0

②当6>a>0时，即a-b<0,0(一<1时，—>—=1,aabb>abba.

b⑴⑴

综上所述，当a>0,Z?>0且球6时，aabb>abba.

【例4】

【答案】（—18,-1）

【解析】依题意可知-20<-28<-6,由于2<a<5,由不等式的性质可知

-18<a-2〃<-1.故填：(-18,-1).

4.1

【答案】24

【解析】由题得f—5盯+6/=（%_2丁）0-3）0=6*4=24.故答案为：2

4.2已知iWa-6W2,2<a+b<4,则4a-2Z?的取值范围是（）

【答案】B

,*fx+y=4,

【解析】令4a-2b=x（a-b）+y（a+b）,即《解得：x=3,y=l,即

-x+y=-2

4a-2b=3(a-b)+(a+b).

Vl<a-b<2,2<a+b<4,/.3<3(a-b)<6,/.5<(a-b)+3(a+b)<10

故选：B.

4.3

【答案】C

【解析】又因为1是一元二次方程狈2+桁+c=0的一个实根，

所以有a+Z?+c=O,^.a>b>c,所以a>0,c<0,

c

所以一<0,所以排除A、B两项，

a

当Z?>0时，c=—(a+b),所以同<卜区2时，此时—249<—1,

c

当〃=0时，c=-a,此时—=—1,

a

]c1

当/?<0时，c=一(〃+/?),所以]问(卜|<同，此时一1<—<——,

c1

所以一£-2,--,故选C.

aL2_

【例5】

【答案】证明见解析.

【解析】£_£=幺二竺=必二@,

ababab

因为a>Z?>0,c<0,所以/?—a<0,c(b-a)>Q,">0故")〉0,即

ab

、十cc

证：—

ab

5.1

【答案】证明见详解.

【解析】•.•/+/—2"=(a—5)2NO,.-.a2+b2>2ab，当且仅当时，等号

成立.

5.2

【证明】

(―+—+xy)-(x+y+—)=—[(x+y+x2j^2)-(x2^+xy2+1)]

xyxyxy

11

二——[犬9y9-\+x+y-xy(x+y)]^—[(xy+l)(xy-1)-(xy-l)(x+y)]

xyxy

(xy+l-x-)；)(xy-l)=—(x-l)(j；-l)(xy-l)

xyxy

因为xNl,yNl,所以1—GO,1>O,xy>l,所以一(x-1)(-l)(xy-1)>0

孙

故(W孙)一(%+y+,)NO,所以％+y+'vW孙

xyxyxyxy

练习答案

1.【答案】D

【考点】不等关系与不等式，不等式比较大小

【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质

中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当a,b都是负数时，

A,B,C都不成立，当然只能选D,事实上由于函数y=2x是增函数，故D是正确

的.

2.【答案】B

【考点】不等式比较大小

【解析】因为ab>0,——<―三,两边同时乘以ab,得到—be<—ad,

ab

两边再同时乘以-1,变号，即be>ad,

故答案为：B.

【分析】不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数,

不等号方向要改变。

3.【答案】D

【考点】不等关系与不等式，不等式比较大小

【解析】由题意将2a+3b用（a+b）和（a-b）分别表示出来，然后根据-l〈a+bV3

且2<a-b<4,求出2a+3b的取值范围.

j5

设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),贝U可知J'**"*'*=至

，解得”一

]r-r=i

3

所以《<

-(a+b)<T（a-b）<-L两式相加可知2a+3b的范围是（一

9岁），选D.

2

【点评】本题用的方法很重要，不要把a,b的范围分别求出来，那样就放大了

2a+3b的范围，这是一个易错点.

4.【答案】C

【考点】充分条件，必要条件，充要条件，不等式比较大小

【解析】因为a而为正实数且a,所以工>：,所以」<Y，所以

ababa

b

若a—工<b—9，即上二〈匕二，两边同乘以ab,得a2b—b<加一

a,即（a-b）（ab+1）<0因为a,b为正实数，所以ab+l>0,所以a-b<

0,即a<b

【分析】熟练掌握不等式的性质是做本题的前提条件。尤其要注意不等式的两

边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向要改变。

5.【答案】B<C<A

【考点】不等式比较大小

【解析】解：•.,a2>ai>0,b2>bi>0,Mai+a2=bi+b2=l,

不妨令a1=|,a2=|,bi=|,b2=|,

A=aibi+a2b2=-1+-4=5B=aibz+a2bl=-2+-2=4

•・1_415

,~2~9

AB<C<A

故答案为：B<C<A.

【分析】特值法，代入比较大小即可.

6.【答案】aib+a2bzWaibz+a2bl

【考点】不等式比较大小

【解析】aibi+a2b2—(aibz+a2bD=(ai—a2)(b〕-b2),因为aEa2,bi>b2,

所以ai—azWO,bi—b2>0,于是⑶一a2)(bi—b2)W0,故aibi+a2bzWaibz+a2bl.

故答案为aibi+a2bzWaibz+a2bl.

【分析】比较大小，首先考虑作差法.由aibi+a2b(aibz+a2bi)=(ai—a2)(bi

—b9,判断该式的正负，就可以得出答案.

7.【答案】M>N

【考点】不等式比较大小

【解析】【解答解：M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+l>l

>0,

AM>N.

故答案为：M>N.

【分析】作差后，利用配方法判断差的符号，即可比较出大小关系.

24.【答案】{x\x<0或x>1}

【考点】不等关系与不等式

【解析】试题分析：—<1=—1<0Q—-<0Q-~->0Q久<0,OYX>

xxx

1,故应填：{%|%<0班>1}

【分析】把不等式的右边的移项到左边，通分合并后，在不等式两边同时除以-

1,不等号方向改变，得到X-1与x的商大0,根据两数相除同号得正、异号得

负的取符号法则转化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集的并集，即

为原不等式的解集.

25.【答案】M>N

【考点】不等式比较大小

【解析】M—N-3x2—x+1—(x2+%—1)

=2x2—2x+2—2(x2—%+1)=2[(x—|)2+|]>0,

：.M>N

故答案为：M>N.

【分析】利用作差法和不等式的性质即可得到答案。

O[公:安]解._2____L_e(b-d-a+c)=[(b-a)+(c-d)]e

6.‘口水,肿：a-cb-d一(a-c)(b-d)—(a-c)(b-d)

a>b>0,c<d<0

.,*b—CL[0,b—d)0,a—c>0,c—d<0.又e<0,:・—。

ee

--->---.

ct—cb—d

【考点】不等式比较大小

【解析】对于比较大小常用方法是作差，所以两个公式作差，通分，再根据不

等式的性质判断正负性，从而比较两个分式大小.

39.【答案】汨bc-ac_c(b-a)

abab

因为a>b>0,c<0,所以b—a<0,c(b—a)>0,ab>0

故会>0,即证：

【考点】不等式比较大小

【解析】利用已知条件结合作差法和不等式的基本性质，从而证出(>(成

立。

9.【答案】解：