山东省菏泽市2024届高三信息押题卷数学试题（解析版）（二）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省菏泽市2024届高三信息押题卷（二）数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，而，所以.故选：B2.设向量，，若，则实数的值为（）A. B. C.2 D.1〖答案〗D〖解析〗，故，解得.故选：D3.已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗因为抛物线为,则其焦点在轴正半轴上,焦点坐标为,由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3,所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得,故选：C.4.在△中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若，则或，即或，所以在△中，“”是“”的不充分条件若，则，则，所以在△中，“”是“”的必要条件.故选：B.5.过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗圆的圆心，半径，连接，依题意，，则，于是，整理得，所以或.故选：D6.若函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在上单调递增，，令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D.7.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（）A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.8〖答案〗D〖解析〗令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，则，于是，所以该列车为和谐号的概率为.故选：D8.已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令给定的正三棱台为正三棱台，，令正的中心分别为，而，则，解得，的外接圆半径，的外接圆半径，显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则，因此，解得，所以该正三棱台的外接球表面积为.故选：C二、选择题9.已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，则复数在复平面内对应的向量为，且，，，所以四边形为菱形，且，又，与轴正半轴所成的角为，所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称，所以，则，所以，故B正确；因为，所以，故A错误；，故C正确；，故D错误.故选：BC10.已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（）A.函数的最小正周期为1B.函数图象的一条对称轴为C.函数在上单调递减D.函数在上恰有5个零点〖答案〗AC〖解析〗由函数为偶函数，得，而，则，因此，，由，得，于，解得，则，对于A，函数的最小正周期为，A正确；对于B，，函数图象关于不对称，B错误；对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，C正确；对于D，由，得，解得，由，解得，因此函数在上恰有6个零点，D错误.故选：AC11.已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，若，且，只能，有，则，，所以，故A正确；对于B，举反例：当时，则，，此时，故B不正确；对于C，易知，且．若，且，则有：（ⅰ）当时，有，则，，且，所以；（ⅱ）当时，，且，则．综上所述：，故C正确；对于D，若，则．若，且，分类讨论．（ⅰ）当时，有，从而，，则；（ⅱ）当时，则，，因为，则，从而．综合所述：，故D正确．故选：ACD．三、填空题12.已知变量与的10对观测数据为，且，，若关于的经验回归方程为，则变量的平均值______；______．〖答案〗109〖解析〗依题意，，又，则，解得，由，得.故〖答案〗为：10；913.已知，，，则______．〖答案〗2〖解析〗由，得，即，整理得，由，得，则，，于是，又，所以.故〖答案〗为：214.已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗正项数列中，由，得，则，即数列是以4为周期周期数列，而，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：四、解答题15.在中，为边的中点．（1）若，，求的长；（2）若，，试判断的形状．解：（1）依题意，，在中，由正弦定理得，即，解得，则，在中，由余弦定理得，即，所以.（2）由，得，在中，，在中，，又，两式作商得：，即，则，于是或，而，即，因此，，所以为非直角的等腰三角形.16.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，．（1）证明：；（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：在中，，则，即，由平面，得平面，又平面，则，又平面，于是平面，又平面，则，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，两两垂直，显然，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记次交换后，盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为．（1）求；（2）求的数学期望．解：（1）依题意，每次交换共有4种情况，其中有2种情况交换后、B盒子中仍为一黑一白两个小球，另外2种情况交换后，盒子中有两个黑球或两个白球，再次交换后，B盒子中必为一黑一白两个小球，则，，即有，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即，所以.（2）依题意，的可能取值为0，1，2，，，，所以.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设椭圆的焦距为，依题意，，则，四边形为平行四边形，其面积，得，即，联立解得，所以椭圆的方程为.（2）存在.由消去得，当时，恒成立，设，则，，则当，即时，为定值，所以.19.如果三个互不相同的函数，，在区间上恒有或，则称为与在区间上的“分割函数”．（1）证明：函数为函数与在上的分割函数；（2）若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数的取值范围；（3）若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值．解：（1）设，则，当时，在上单调递增，当时，在单调递减，则在处取得极大值，即为最大值，即，则当时，；设，则，当时，在上单调递咸，当时，在上单调递增，则在处取得极小值，即为最小值，即，则当时，，于是当时，，所以函数为函数与在上的“分割函数”.（2）因为函数为函数与在上的“分割函数”，则对，恒成立，而，于是函数在处切线方程为，因此函数的图象在处的切线方程也为，又，则，解得，于是对恒成立，即对恒成立，因此，解得，