青海海西格尔木三校2024届高三第三次联考数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海海西格尔木三校2024届高三第三次联考数学试题（理）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，将集合中的元素代入中，可得.故选：D.2.已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由，若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，则可得，故“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的充要条件．故选：C．3.已知向量，，若，则（）A. B. C.0 D.2〖答案〗B〖解析〗若，有，解得．故选：B．4.执行如图所示的算法框图，则输出的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗根据给定的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件，执行循环；第2次循环：，不满足判断条件，执行循环；第3次循环：，满足判断条件，输出结果.故选：C.5.前项和为的等差数列中，若，则（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗A〖解析〗由，可得．故选：A．6.已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以当时，所以；当时，，可得的最小值为．故选：D．7.如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设铁球的半径为，有，解得，则一个铁球的表面积为．故选：B．8.北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当m时，火箭的最大速度为；当m时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由火箭的最大速度和燃料的质量、火箭的质量的函数关系是，当时，有，所以；当时，有，所以，可得．故选：A．9.现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗6人的全排列有，利用插空法，将余下的三个人全排列，则将甲、乙、丙三人插入到四个空中且他们的顺序为甲乙丙一种，又由甲、乙、丙三人的全排列有种，所以甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的排法有种，故所求概率为．故选：B．10.一条光线从点出发，经轴反射后，若反射光线被圆遮挡，则反射光线的斜率可能为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为，直线方程为，整理为，当反射光线与圆相交时，，解得，可得反射光线的斜率的取值范围为，故选：C．11.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由椭圆，可得，则，又由圆可化为，可得圆心，半径，则，根据椭圆的定义，可得，则，因为，可得为的中点，又因为为的中点，可得.故选：C.12.小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.随着n的增大而增大〖答案〗B〖解析〗由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局，因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，由二项分布的概率公式可得赢局的概率为，赢局的概率为，，赢局的概率为，小王赢的概率为有，有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误；由，又由，可得，可知D选项正确.故选：B.二、填空题13.样本1，4，5，6，7，8，10的平均数为_________．〖答案〗〖解析〗样本的平均数为．故〖答案〗为：14.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为________．〖答案〗〖解析〗因，故，则.故〖答案〗为：.15.已知是定义在上的奇函数，且满足，则_________．〖答案〗0〖解析〗函数是定义在上的奇函数，有，又由和，可得，可得函数的周期为2，则．故〖答案〗为：16.如图，在几何体中，，梯形和梯形为等腰梯形，，若几何体的体积为，则_________．〖答案〗〖解析〗如图所示，取的中点，连接，由，可得四边形为平行四边形，可得，又由，可得，可得为等边三角形，三棱锥为正三棱锥，设，如图，过点作平面，连接，可得，，，又由，可得三棱柱的体积是三棱锥体积的3倍，可得，解得．故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题17.如图，在四边形中，．（1）求；（2）若的面积为，求．解：（1）由，则，又由，所以，又由，可得，在中，又由正弦定理得：，所以，可得；（2）由，可得，又由的面积为，有，可得，在中，由余弦定理有．18.一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．（1）求；（2）求随机变量X的分布列和数学期望．解：（1）当时，这3个球的编号分别有两个为1和6，另一个为2或3或4或5，可得；（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，有，，，随机变量X的分布列为：X2345P则．19.如图是一个平面截底面边长为2的正方形的长方体所得的几何体，与相交于点，，，．（1）证明：；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．（1）证明：如图，连接，四边形为正方形，，，平面，平面，平面，，，，，，，，，，，，，，，，平面，平面，平面，平面，，，，，平面，平面；（2）解：如图，连接EG与HF相交于点M，连接MO，由AB，AD，AE两两垂直，分别以向量，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由，可得四边形为矩形，又由为的中点，为的中点，可得，在梯形中，，，为的中点，为的中点，可得．各点坐标为，，由平面，可得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，，有，取，则，，可得平面一个法向量为，又由，，，所以有，故平面和平面所成的锐二面角的余弦值为．20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）令，若恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由，，①当时，，可得，此时函数在R上单调递增；②当时，，关于x的一元方程的两根为，此时函数的减区间为，增区间为，；（2）若恒成立，必有，可得，下面证明时恒成立.由及，有，要证不等式，只需证，又由，只需证，令，有，令，有，①当时，，，有；②当时，，，有．由①②可知，故函数单调递增，又由，可知当时，即；当时，即，可得函数的减区间为，增区间为，有．由上知，若恒成立，则实数a的取值范围为.21.过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．（1）证明：直线过定点，并求点坐标；（2）在（1）的条件下，为坐标原点，求的最大值．解：（1）设的坐标分别为，点的坐标为，由有，可得直线的方程分别为，又由，直线的方程可化为，同理直线的方程为，又由点在直线上，有，可得点都在直线上，整理为，又由满足方程，故直线过定点，定点的坐标为；（2）直线的方程可化为，联立方程消去后整理为，可得，有，在直线的方程中，令，有，可得，可得点的坐标为，同理可得点的坐标为．有，有．当时，令，有，①当时，（当且仅当时取等号），有；②当时，（当且仅当时取等号），有，有，有，可得．由上知的最大值为．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与圆相交于两点，点的直角坐标为，求的值．解：（1）利用，消去参数，，得到圆的普通方程为，直线的极坐标方程可化为，由，代入直线的极坐标方程，得到的直角坐标方程为.（2）由（1）可知，圆的普通方程化简为；点在上，将的