河北省承德市部分示范高中2024届高三三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省承德市部分示范高中2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合,故选：B.2.若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因，所以，即，所以，所以，又，所以向量与的夹角为.故选：B.3.已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A. B.240 C.60 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：二项式系数之和为，可得，其展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为.故选：B.4.已知，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确；对于B中，例如，此时，所以B不正确；对于C中，由函数在上为单调递减函数，因为，所以，可得，所以C正确；对于D中，例如，此时，所以D不正确.故选：C.5.若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗双曲线的渐近线为，的渐近线为，由题可知，所以的离心率.故选：C.6.已知函数，则不等式的解集为()．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，当时，，∴，当时，，∴，综上所述，的解集为．故选:．7.已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，又直线，其过定点，故距离的最大值为.故〖答案〗为：C8.在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗当成等比数列时，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，所以，充分性满足；当时，，而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.则“成等比数列”是的充分不必要条件.故选：A.9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，交于点I，，，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中点，连接，过作的垂线交的延长线于点，取中点，连接，由已知，、分别为、中点，因为是直三棱柱，所以，且，所以其，所以四边形为平行四边形，又，所以为矩形，所以，又，平面，平面，，所以平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长度，设为；，在中，，所以，设角，则有，因为四边形为平行四边形，所以，又因为因为是直三棱柱，所以，且，所以，，又因为平面，平面，所以，所以，即，解得，所以点到平面的距离是，故选：B.10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，建立平面直角坐标系，设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，因为，可得，由题意可知：均与y轴垂直，且，作垂足为，则，因为，即，解得；又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.故选：B.第二部分（非选择题）二、填空题11.若是纯虚数，则实数a的值为__________.〖答案〗〖解析〗，因为是纯虚数，所以，得.故〖答案〗为：12.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为__________.〖答案〗或〖解析〗设，则，则，此时，所以或，又由已知，直线AB的方程为或，整理得或.故〖答案〗为：或.13.使成立的一组a，b的值为__________，__________.〖答案〗2（〖答案〗不唯一）2（〖答案〗不唯一）〖解析〗若，则，可得，例如符合上式.故〖答案〗为：2；2.（〖答案〗不唯一）14.已知函数，若是偶函数，则__________；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗因为偶函数，则，且，所以；可得，设的最小正周期为，因为和均关于y轴对称，可知圆面在y轴右侧仅覆盖图象的1个最低点，对于，令，解得（不妨只考虑y轴右侧，舍负）；可得，解得，且，则，解得，所以的取值范围是，故〖答案〗为：；.15.已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是__________.〖答案〗②〖解析〗对于①：，则，则，即，假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，则为斜边，所以，所以，所以或，与矛盾，故①错误；对于②：，当且仅当等号成立，所以，所以，所以，②正确；对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误；对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误.故〖答案〗为：②.三、解答题16.如图，四边形ABCD为菱形，，把沿着BC折起，使A到位置.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D到平面的距离.（1）证明：取线段的中点，连接，因为四边形ABCD为菱形，且，所以，为等边三角形，所以，又面，所以面，又面，所以；（2）解：由，为边长为2的等边三角形可得，所以，结合面可得两两垂直，如图建立空间直角坐标系，，，设面的法向量为，直线与平面所成角为，则，取得，，即直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：由（2）得点D到平面的距离为.17.已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.解：（1）由题意可知：，因为函数的最小正周期为，且，所以.（2）由（1）可知：，因为，则，可知当，即时，取到最大值3，即.若条件①：因为，由正弦定理可得，又因为，可得，且，则，可得，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；若条件②；因为，由正弦定理可得：，则，因为，则，可得，即，且，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为；若选③：因为，则，整理得，且，所以，由正弦定理可得，可得，则，因为锐角三角形，则，解得，可得，则，可得所以的取值范围为.18.某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值.解：（1）设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为，用频率估计概率可得：，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件，所以.（2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有：，，所以X的分布列为X210.5P0.30.50.2X的期望（元）.（3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为，由题意可知：Y的可能取值为，则有：，，，所以Y的期望（元），令，即，解得，例如符合题意.19.已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率.（1）求椭圆C的方程和短轴长；（2）点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积.解：（1）设，上下顶点分别为.由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即.因为，即，所以，由点在C上，得，，解得，所以，则，短轴长.（2）根据题意，画出图象如图所示：因为，所以，又，则，即，.设，由得，即，因为点在椭圆上，所以，即，两式相减得，即，，又点在轴的上方，所以.又得，即.于是.20.已知函数.（1）若曲线在处的切线为x轴，求a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数的单调性；（3），若是的极大值点，求a的取值范围.解：（1）由已知，则，由于曲线在处的切线为x轴，所以，所以；（2）当时，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，恒成立，，，所以当时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增；（3）由已知，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，恒成立，且，当时，，即在上有且只有一个零点，设为，当，即，解得，此时若，解得，在上单调递减，若，解得或，在上单调递增，此时在处取极小值，不符合题意，舍去；当，即，解得，此时若，解得，在上单调递减，若，解得或，在上单调递增，此时在处取极大值，符合是的极大值点，当时，即，解得，此时恒成立，无极值点，综上所述：a的取值范围为.21.给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.（1）若，，，，，求和；（2）求证：，；（3）求的最小值.（1）解：以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和.所以，.（2）证明：对，由于是的一个排列，故.若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，得到一个以为首项的更长的递增子列，所以