上海市南汇区2005学年度第一学期期未考试

上海市南汇区2005学年度第一学期期未考试高三数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）考生注意：本试卷为文、理合卷，题首标有“文”、“理”分别是文科生、理科生做的题目，没有标记的是共同做的题目。题号1-1213-16171819202122总分得分一、填空题：（本题满分48分，每小题4分）1、已知集合A=,B=,则AB=。2、若sin=-,则cos2=。3、方程的解是4、已知函数f(x)的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则f(9)=__2__。5、复数的共轭复数＝6、在数列中a=-13,且3a=3a-2,则当前n项和s取最小值时n的值是__20__。7．集合，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,则所取两数m>n的概率是_0.6_。8、在△ABC中三边之比a:b:c=2:3:,则△ABC中最大角=。9、（理）在的展开式中，的系数是和的系数的等差中项，若实数，那么.（文）设实数x,y满足条件则的最大值是_1_。10、在棱长为4厘米的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，那么点B到平面B1EF的距离是厘米。11、在R上定义运算△：x△y=x(1-y)若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是。．．．．．．．．．．．．．．．．．．的各项排成三角形状，如图所示．记表示第m行，第n列的项，则=二、选择题：（本题满分16分，每小题4分）13、设a,b,c表示三条直线，表示两个平面，下列命题中不正确的是（D）(A)(B)(C)(D)14、函数y=cos2x的图象的一个对称中心是（B）(A)()(B)()(C)(-)(D)(0,0)15、函数y=（B）(A)在(-,+)上单调递增。(B)在上是减函数，在上是增函数。(C)在上是增函数，在上是减函数。(D)在上是减函数，在上是增函数。16、某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又沿原路返回千米（，再前进千米，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（C）（A）（B）（C）（D）三、解答题：17、（12分）设为虚数，且满足2，求。解：设，______2分则_________6分由已知得，∴=0________8分∴________10分∴=1_______12分18、（13分）已知向量，定义函数f(x)=。（1）求函数f(x)的最小正周期。（2）xR时求函数f(x)的最大值及此时的x值。解：f(x)=-1=2sinx×cosx+2cosx-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)——7分（1）T==——9分（2）f(x)=2sin(2x+)∴当2x+=+2k(kZ)即x=+k(kZ)时，f(x)取最大值为2∴当x=+k(kZ)时f(x)=2——12分19、（本题满分13分）（文）直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，BAC=900，AB=AC=2，AA=2，E,F分别是BC、AA1的中点。求（1）异面直线EF和A1B所成的角。（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的体积。ACACBA1EFC1B1则∥，∴∠DFE即为所求。——2分由题意易知，，，由DE⊥AB、DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A∴△DEF为直角三角形，∠EDA=900∴tan∠DFE=——9分∴,即异面直线EF和A1B所成的角为。——10分ACACBA1EFC1B1xyzo以A为坐标原点以AB、AC、AA1所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立如图所示的直角坐标系，则A(o,o,2)B(2,0,0)E、F分别是BC、AA1中点∴E(1,1,0)F(0,0,)——5分∴设的夹角为∴cos=∴——9分∴异面直线EF和AB所成的角为——10分（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的体积——13分ABDCMC1D1B1A1（理）如图，直四棱柱中，底面是直角梯形，，，异面直线与互相垂直。（1）求直棱柱棱的长；（2）若点在线段上，，求直线与平面所成的角的大小。ABDCMC1D1B1A1解：（1）方法1:以A为坐标原点以AB、AD、AA1所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系，设棱的长为则A(0,0,0)，B(5,0,0)，C(5,2,0),D(0,8,0),A1(0,0,a),B1(5,0,a),C1(5,2,a),D1(0,8,a).∴，——3分又，——6分得，∴棱的长为4。——8分方法2、设棱的长为在A1D1上取点E1，使A1E1=2，则点E1即为点C1在平面AA1D1D上的射影，AE1⊥A1D。连C1E、AE1,易知A1D⊥平面AC1E1，在平面AA1D1D中，由Rt△AA1D～Rt△AA1E∴，即。∴∴棱的长为4。——8分（2）由（1）知，M点即为AE1与A1D的交点，由题意显然∠MAD即为所求。——10分又∠MAD=∠AE1A∴——12分∴直线与平面所成的角的大小是。——13分20、（本题满分14分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，（）（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象。解：（1）设小时后蓄水池中的水量为吨，则；——3分令＝；则，即；——5分∴当，即时，，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨。—8分（2）依题意，得——11分解得，，即，；即由，所以每天约有8小时供水紧张。——14分21、（本题满分16分）已知数列的前n项和S=50n-n(n)（1）求证是等差数列。（2）设b=,求数列的前n项和Tn（3）求()的值解：（1），因此，当时有所以………………3分∴，故是首项为49，公差为的等差数列…………6分（2）若，则……………7分设，当时，则，此时，；……9分当时，，而所以综合所得………14分（3）lim()=()=-1…………16分22、(本题满18分)设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。（理）（3）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。解：（1）f(-1)=0∴由f(x)0恒成立知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0——（理）2分----(文)3分∴a=1从而f(x)=x+2x+1——（理）4分----(文)6分∴F(x)=—（理）6分-----(文)9分（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1—（理）8分-----(文)12分由于g(x)在上是单调函数,知-或-——（理）10分---(文)16分得k-2或k6——（理）12分-----(文)18分（3）f(x)是偶函数∴f(x)=f(x)而a>0∴在上为增函数对于F(x)当x>0时-x<0F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)——（理）14分当x<0时-x>0F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)∴F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数—（理）16分m>0,n<0由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)