平面向量同步检测5

第二章2.12.1.5一、选择题1．已知数轴上A点坐标为－5，AB＝－7，则B点坐标是()导学号34340571A．－2 B．2C．12 D．－12[答案]D[解析]∵xA＝－5，AB＝－7，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.2．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实数λ的值等于()导学号3434057A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2[答案]A[解析]∵向量a＋λb与－(b－2a)共线，∴存在实数k，使得a＋λb＝－k(b－2a)＝－kb＋2ka，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1,λ＝－k))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2),λ＝－\f(1,2))).3．已知e1、e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为()导学号34340573A．8 B．－8C．3 D．－3[答案]B[解析]∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝6m,－4＝mk))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),k＝－8)).4．在四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()导学号34340574A．平行四边形 B．梯形C．菱形 D．矩形[答案]B[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴AB∥CD，且AB>CD，∴四边形ABCD为梯形．5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则()导学号34340575A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上[答案]D[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→)).∴点A、P、C三点共线，∴点P在线段AC上．6．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()导学号34340576A．A、B、C B．A、B、DC．B、C、D D．A、C、D[答案]B[解析]∵Beq\o(D,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(D,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴Aeq\o(B,\s\up6(→))与Beq\o(D,\s\up6(→))共线，又∵Aeq\o(B,\s\up6(→))与Beq\o(D,\s\up6(→))有公共点B，∴A、B、D三点共线．二、填空题7．轴上三点A、B、C的坐标分别为1、－1、－5，则AC＋BC＝________，|AC|＋|BC|＝________.导学号34340577[答案]－1010[解析]AC＋BC＝－6＋(－4)＝－10，|AC|＋|BC|＝6＋4＝10.8．设数轴上A、B的坐标分别是2、6，则AB的中点C的坐标是________．导学号34340578[答案]4[解析]∵xA＝2，xB＝6.∴AB中点C的坐标为xC＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(2＋6,2)＝4.三、解答题9．设两个非零向量a与b不共线，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．导学号34340579[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．10.如图，在△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，记eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝m.求证：eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)m＋eq\f(1,4)a.导学号34340580[解析]∵D为BC的中点，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝m－eq\f(1,2)a.又∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE綊eq\f(1,2)AB，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)m＋eq\f(1,4)a.一、选择题1．设a、b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(k、m∈R)，则当A、B、C三点共线时，有()导学号34340581A．k＝m B．km－1＝0C．km＋1＝0 D．k＋m＝0[答案]B[解析]∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn＝1,k＝n))，∴mk－1＝0.2．已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为()导学号34340582A．eq\f(3,4)S B．eq\f(2,3)SC．eq\f(1,2)S D．eq\f(2,5)S[答案]C[解析]如图，由于3eq\o(PA,\s\up6(→))＋5eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则3(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－2(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，则eq\f(3\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→)),2)＝eq\f(－2\o(PB,\s\up6(→))＋\o(PC,\s\up6(→)),2)，设AB、BC的中点M、N，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，即3eq\o(PM,\s\up6(→))＝－2eq\o(PN,\s\up6(→))，则点P在中位线MN上，则△PAC的面积是△ABC的面积的一半．3．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()导学号34340583A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向[答案]D[解析]∵a、b不共线且c∥d，∴eq\f(k,1)＝eq\f(1,－1)，∴k＝－1，此时c＝－d，即c与d反向．4．在△ABC中，P为一动点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()导学号34340584A．外心 B．内心C．重心 D．垂心[答案]C[解析]如图，取BC的中点D，连接AD，并延长AD至点E，使得AD＝DE，连接BE、CE.则四边形ABEC为平行四边形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＝2λeq\o(AD,\s\up6(→))，∴A、P、D三点共线．∵AD是△ABC的BC边上的中线，又∵λ∈[0，＋∞)，∴点P的轨迹通过△ABC的重心．二、填空题5．已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.导学号34340585[答案]eq\f(1,3)或－2[解析]∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，∴k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2＝m(2e1＋3e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝2m,1－\f(5,2)k＝3m))，即3k2＋5k－2＝0，∴k＝eq\f(1,3)或－2.6．已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.导学号34340586[答案]－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b[解析]如图，Deq\o(E,\s\up6(→))＝Deq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→))＋Aeq\o(E,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)Beq\o(C,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Aeq\o(C,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(b－a)－a＋eq\f(2,3)b＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.三、解答题7.如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD，求证：M、N、C三点共线．导学号34340587[解析]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，则：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－e1＋e2，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)e1＋eq\f(1,3)e2，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1＋e2，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e1＋eq\f(1,3)e2＝eq\f(1,6)e1＋eq\f(1,3)e2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e1＋e2)).故eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MC,\s\up6(→))，故M、N、C三点共线．8．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是它的中位线，求证：EF∥AD∥BC且EF＝eq\f(1,2)(AD＋BC)．导学号34340588[解析]在梯形ABCD中，由AD∥BC可知eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且eq\o(AD,\s\up6(→))≠0∴可设eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(λ∈R)．又EF是梯形ABCD的中位线，∴E、F分别是AB、CD的中点，∴eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝0，eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，∴2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(1＋λ)eq\o(AD,\s\up6(→)).∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，又EF与AD没有公共点，∴EF∥AD，∴EF∥AD∥BC．又由2eq\o(EF,\s\up6(→