大学数学练习题

大学数学习题及答案一填空题:1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3方程的基本解组是_________.4一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5方程的常数解是________.6方程一个非零解为x1(t),经过变换_______7若4(t)是线性方程组的基解矩阵,则此方程组的任一解4(t)=___________.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11一阶线性方程有积分因子().12求解方程的解是().13已知(为恰当方程,则=____________.14,,由存在唯一性定理其解的存在区间是().15方程的通解是().16方程的阶数为_______________.17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w(x)=____________.18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.19．方程所有常数解是____________________．20．方程的基本解组是____________________．21．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．22．函数组在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．23．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．二单项选择:1方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面(B)平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面2方程()奇解.(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个3在下列函数中是微分方程的解的函数是().(A)(B)(C)(D)4方程的一个特解形如().(A)(B)(C)(D)5连续可微是保证方程解存在且唯一的()条件．（A）必要（B）充分(C)充分必要(D)必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间7方程过点(0,0)有().(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8初值问题x,在区间,上的解是().(A)(B)(C)(D)9方程是().(A)一阶非线性方程(B)一阶线性方程（C)超越方程(D)二阶线性方程10方程的通解是().(A)(B)(C)(D)11方程的一个基本解组是().(A)(B)(C)(D)12若y1和y2是方程的两个解,则（e1,e2为任意常数）(A)是该方程的通解(B)是该方程的解(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13方程过点(0,0)的解为,此解存在().(A)(B)(C)(D)14方程是().(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程15微分方程的通解是().(A)(B)(C)(D)16在下列函数中是微分方程的解的函数是().(A)(B)(C)(D)17方程的一个数解形如().(A)(B)(C)(D)18初值问题在区间上的解是().(A)(B)(C)(D)19．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）20.方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三21．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1（C）+1（D）+222．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解23．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定三求下列方程的解:1求下列方程的通解或通积分:(1)(2)(3)(4)(5)2求方程的解3解方程:并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解4求方程:5求方程:的通解6求的通解.7求解方程:8求方程:的解9求方程的通解10求下列方程组的通解11求初值问题的解的存在区间并求出第二次近似解12求方程的通解(1)(2)(3)(三种方法)(4)13计算方程的通解14计算方程15求下列常系数线性微分方程:16试求x的基解矩阵17试求矩阵的特征值和对应的特征向量.18试求矩阵的特征值和特征向量19解方程组20．求下列方程组的通解．四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5条件6线性相关五证明题1在方程中已知p(x);q(x)在上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3设f(x)在[0；+]上连续且f(x)=0求证：方程的一切解y(x)；均有y(x)=04在方程中p(x)、q(x)在（）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（）上的严格单调函数。5证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6证明：函数组（其中当时）在任意区间（a,b）上线性无关。7．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．8．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．练习题答案一填空题:1、22、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、ex;xex4、开5、6、7、,c为常数列向量8、y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c为任意正常数13、/14、15、16、417、018、；其中c是确定的n维常数列向量19．20．21．，（或不含x轴的上半平面）22．充分23．没有二单项选择1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D19．D20．B21．A22.C23．D三求下列方程的解1(1）解：当时，分离变量取不定积分，得通积分为1ny=Cex（2）解：令y=xu,则代入原方程，得分离变量，取不定积分，得（）通积分为：（3）解：方程两端同乘以y-5,得令y-4=z，则代入上式，得通解为原方程通解为（4）解：因为，所以原方程是全微分方程。取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为即（5）解：原方程是克莱洛方程，通解为：y=cx+2c32解：设则方程化为，积分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3,c4,c5为任意常数==f1(t)+f2(t)故x1(t)+x2(t)为方程=f1(t)+f2(t)的解。3解：将变量分离，得到两边积分，即得

因而，通解为这里c是任意常数。以x=0,y=1代入通解中以决定任意常数c，得到c=-1因而，所求特解为4解：以及代入，则原方程变为即将上式分离变量,即有两边积分,得到这里是任意函数,整理后,得到令,得到sinu=cx5解:令z=y-1得代入原方程得到这是线性方程,求得它的通解为代回原来的变量y,得到这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0。6解：这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，这时因此方程是恰当方程。现在求u，使它同时满足如下两个方程由（1）对x积分，得到为了确定，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得于是=4y4积分后可得=y4将代入（3），得到u=x3+3x2y2+y4因此，方程的通解为x3+3x2y2+y4=c这里c是任意常数7解：特征方程即特征根i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、tsint故通解为x=(c1+c2t)cost+(c3+c4t)sin其中c1;c2;c3;c4为任意常数8解：令则方程化为：积分后得y=ct即于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t1+c5其中c1;c2…c5为任意常数，这就是原方程的通解。9解对应齐次方程的特征方程为，特征根为齐次方程的通解为y=C1+C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1(x)=x（Ax2+Bx+C）代入原方程，比较系数确定出A=，B=，C=原方程的通解为10解：先解出齐次方程的通解=C1+C2令非齐次方程特解为=C1(t)+C2(t)满足=解得积分，得通解为11解：M=max=4故解的存在区间为2)q0(x)=0q1(x)=0q2(x)=0+=12求方程的通解:1)解:变形(1),将y看作自变量,x为未知函数解齐线性方程,通解为x=cy令x=c(y)y…..(2)微分得,由(1)(2)知,积分得故(是任意常数)2)解:令则,于是则原方程变为即将上式分离变量有积分得为任意常数。整理令得方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx(c为任意常数)3）(三种方法)解：法一，这里M=y-3x2,N=-(4y-x)=4-4y因此此方程是恰当方程现求u使（1），（2）对（1）中x积分得（3）对（3）中y求导积分得，代入（3）得故通解为，c为任意常数法二，重新组合得，即于是通解为其中c是任意常数。4）解：令则对x求导得积分得于是方程通解为（p=0）13方程的通解解：齐次方程是由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式代入原方程故通解为，其中c1c2为任意常数14解：特征方程有重根因此对应齐线性方程的通解为，其中c1,c2为任意常数。因为不是特征根，现求形如的特征解，代入原方程化简于是故故通解为其中c1,c2为任意常数15求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为特征方程为特征根为a不是特征根，故原方程有形如y*=(ax+b)e2x的特解代入原方程得故原方程通解为，（为任意常数）16解：因为=+而且后面的两个矩阵是可交换的得到t={E+t+但是，=所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是17解：特征方程为因此，是A的二重特征值.为了寻求对应于的特征向量,考虑方程组因此,向量是对应于特征值的特征向量,其中是任意常数.18解A特征方程为特征根为对应于1=3+5i的特征向量满足解得u=a为任意常数对应于特征向量满足解得为任意常数19解:的特征方程为1=1,2=4为特征根,为方程组解a为任意常数.为方程组解.这样为方程的解20．解方程组的特征方程为即特征根为，对应的解为其中是对应的特征向量的分量，满足可解得．同样可算出对应的特征向量分量为．所以，原方程组的通解为四名词解释1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。2如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。3形如的方程，称为变量分离方程，这里分别是x,y的连续函数。4形如的方程，称为伯努利方程，这里为x的连续函数，是常数5函数f(x,y)称为在R上关于y满足条件，如果存在常数L>0,使得不等式对于所有都成立,L称为常数.6定义在区间上的函数,如果存在不全为零的常数c1,c2,….ck使得恒等式对于所有都成立,称这些函数是线性相关的.五1在方程中,已知p(x),q(x)在上连续,求证:该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切.证明：方程，设是它的任一非零解。若p(x),q(x)在上连续，假设在平面上与轴相切。则与方程有非零解矛盾。故与x轴不相切。2由已知得把x1(t)+x2(t)代入方程由左端得=3证明设y=y(x)是方程任一解，满足y(x0)=y0，该解的表达式为取极限4证明设y1(x),y2(x)是方程的基本解组,则对任意,它们朗斯基行列式在上有定义,且.又由刘维尔公式由于,于是对一切,有或故是上的严格单调函数5答案略6证明:已知函数组的行列式为W(x)==上述最后的行列式为范德蒙受行列式它等于由题设知由此行列式不为零.从而由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.7．证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．（10分）8．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．显然，该方程有零解．