高中数学：2-2 基本不等式（第1课时）（分层作业）

2.2基本不等式（第1课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

一、单选题

4

1.（2021・广东・江门市广雅中学高一期中）函数y=x+—。>0）的最小值为（）

x

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为x>0,所以丫=1+&22、[耳=4,当且仅当x=9,即x=2时取等号；

XVXX

故选：D

2.（2022.宁夏•青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数X，V满足x+y=4,则孙的最大值（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为正数Hy满足x+y=4,

所以有4=x+yN2而=向42=肛£4,当且仅当x=y=2时取等号，

故选：B

3.（2021♦吉林•延边二中高一阶段练习）若a>b>0,则下列不等式成立的是（）

,a+hr-r「,

A.a>b>-------->y/abB.a>-

22

-a+b.f—r-〃+.

C.a>------>b>yjabD.------>a>\[ab>b

22

【答案】B

【分析】利用不等式的性质及基本不等式比较.

【详解】因为。>6>0,则。>誓>6>0,

乂"">yfab>=b,

2

所以〃>b>b.

2

故选：B.

【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用.属于简单题.

4.（2021・全国•高一专题练习）若实数。，b满足0<“<匕，且a+6=l.则下列四个数中最大的是

（）

A.%B.a2+h2C.labD.a

【答案】B

【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.

【详解】由题知：且。+。=1,所以0<a<g,：<人<1,故排除D.

因为02+从>反血=_1,故排除A.

22

因为/+6>2",故排除C.

故选：B

5.（2021•江苏・星海实验中学高一阶段练习）若0>。>匕，有下面四个不等式：（1）（2）2+£>2,

ab

（3）a+b<ab,（4）则不正确的不等式的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由已知结合不等式的性质可以推理得到（1）不正确，（4）不正确，（3）正确：由基本不等式可

判断（2）正确.

【详解】因为0>。>6,所以片<从，力成立，所以（1）不正确，（4）不正确；

因为a+h<0<a6,所以（3）正确；

都大于。且不等于1,由基本不等式可知（2）正确.

bb

故选：C

6.（2021.湖北黄石.高一期中）若x>l,则函数>=》+红¥的最小值为（）

X-I

A.4B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】利用基本不等式计算可得;

【详解】解：因为x>l,所以x—1>0,

所以y…互邛=x+2(l?+4

x-1x-l

=X+2+=(XT)+昌+322+3=7'

当且仅当(x-l)=W，即x=3时取等号，

所以函数y=x+2'的最小值为7；

X-I

故选：C

14

7.(2022♦青海青海•高一期末)已知x,y都是正数，若x+y=2,则一+一的最小值为()

“y

7913

A.-B.-C.—D.1

424

【答案】B

【分析】利用基本不等式求解.

［详解］因为x+y=2,所以,+&=('+±］.不=；(1+4+)+竺.

Xy(Xyj22(Xy)

因为x,y都是正数，由基本不等式有：-+—>2^.-=4,

xyxy

.y4xy=2x,?

t1+4+二+—当且仅当

xy4x+y=2,

2

3，

\时取“=”.故A,C,D错误.

4

y=-

3

故选：B.

二、多选题

8.(2020♦黑龙江・哈尔滨市第一二二中学校高一期中)已知。>0/>0,且〃+h=4.则下列不等式恒成立的

是()

A.a2+b2>8B.4ab>2

C.—>-D.-+-<1

ab4ab

【答案】AC

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】当。=1，。=3时，“石所以BD选项错误.

ab

A,=8,当且仅当a=A=2时，等号成立，A正确.

一2

C,0<a/7<f—=4,二21，当且仅当。=6=2时，等号成立，C正确.

（2Jab4

故选：AC

9.（2022♦江西•高一期末）已知CGR,则下列不等式成立的是（）

__,_,11_ci+bI~~

A.a-c>b-cB.ac>bcC.—<—D.------>7ab

ab2

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质判断A,B,根据比较法判断C,根据基本不等式判断D.

【详解】对于A,因为。>人>0,CGR,所以。一c>b-c,所以A正确；

对于B,由。>b>0,当cvO时，ac<bc,所以B不正确；

对于C,因为。>。>0,ceR,所以=故所以C正确；

ababab

对于D,因为所以均值不等式得@?>打，所以D正确；

故选：ACD.

10.（2022・全国•高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等

号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“V”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式

的发展影响深远.若a,b,ceR,则下列命题正确的是（）

A.若a>b>0,则L：B.若aheR,贝U3a2+/22行或

ab

C.若a>b>0,c>0,则ac-bc>0D.若a<b,则同

【答案】ABC

【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.

【详解】对于A,因为。>b>（）,所以,一,=。<0,故A正确；

abab

对于B,3a2+b2-2>/3ab=（-j3a-b^>0,故B正确；

对于C,若Q>Z?>0,c>0,MOac>be,HPac-bc>0,故C正确；

对于D,当a=—2,6=1时，满足a<6,但时>向，故D不正确.

故选：ABC.

三、填空题

11.（2022.广西柳州.高一期末）若了>-2,则〃x）=x+*的最小值为.

【答案】0

【分析】构造f（x）=x+2+—1-2,利用基本不等式计算即可得出结果.

x+2

【详解】由x>-2,得x+2>0,^—>0,

x+2

所以/（x）=x+-l-=x+2+-^—-2>2j（x+2）x--2=0,

x+2x+2Vx+1

当且仅当犬+2=-1即x=-l时等号成立.

x+2

故答案为：0

12.（2022•四川•成都七中高一期末）已知点3,力在直线x+y=l上，当。>0⑦>0时，L+：的最小值为

ab

【答案】3+2庭

【分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】因为点（。，力在x+y=l上,所以a+6=L

所以L2=（a+b）d+2）=3+必+”3+20，

ababba

当且仅当年=2时等号成立.

ba

故答案为：3+20

13.（2022•福建省龙岩第一中学高一阶段练习）若函数/（幻=依+仇4>0力>0）在区间［1,2］上的最小值为3,

则时的最大值为.

【答案】4

4

【分析】先根据一次函数单调性及最小值求出。+6=3,再利用基本不等式“和定积最大”，求解最大值.

【详解】/（幻=以+伙。>0力>0）单调递增，所以在区间［1,2］上/（xL=/（l）=a+b=3,所以

等j=（1）=（,因为”>0力>0,所以当且仅当a=b=T时，等号成立.

9

故答案为：—

4

14.（2021・江苏・无锡市市北高级中学高一期中）已知x,y>0,且满足x+y=2,则肛+x+y的最大值为

【答案】3

【分析】根据基本不等式求解即可

【详解】因为x,y>0,且满足x+y=2,

贝i]xy+x+y=Ay+2„（苦马，+2=3

当且仅当x=y=i时取等号，

所以孙+x+y的最大值为3.

故答案为：3

15.（2022・全国•高一）已知a>0,6>0,a+b=2,则在下列不等式①，力<1；②"十6>2：③8+韭<41；

@-+7>2；⑤/+方323其中恒成立的是.（写出所有正确命题的序号）

【答案】①②④

【分析】对①，可以利于基本不等式证明；对于②③④⑤可以分析判断得解.

【详解】①，。+〃=222病,.•."41（当且仅当a=b=I时等号成立），所以正确；

②，要证〃+〃22,只需证3+力2-2而42,只需证而41,显然成立，所以正确;

③，只需证4+6+2j^42,只需证只需证质=0,与己知不符，所以错误；

要证只需证a+6N2"，只需证必41,显然成立，所以正确；

ab

⑤，要证，+腔3,只需证他+力伍2-“"/"在只需证/-必+从2天只需证（。+切2-3"2天只需证

而。,与①不符，所以错误.

O

故答案为：①②④

16.（2020.江苏•高一单元测试）若”>0,b>0,且“+Q4,则下列不等式恒成立的是（填序号）.

①二4；；②，+941；®>/ab>2;@a2+/?2>8.

ab4ab

【答案】④

【分析】结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.

【详解】因为4=。+622而（当艮仅当〃=%时，等号成立），

即疝W2,”*4,4，故①③不成立;

11a+b

—I—=---=齐1故②不成立;

ahab

2+b2=(a+b)2-2。/?=16-24》28,故@成立.

故答案为：④.

四、解答题

17.（2021.全国•高一专题练习）利用基本不等式证明：已知〃也。都是正数，求证：（a+6）（6+c）（c+a）“"c

【分析】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.

【详解】5,6,c都是正数，.•“+622而>0（当且仅当时取等号）；6+CW2痴>0（当且仅当匕=c

时取等号）；c+a22而>0（当且仅当c=。时取等号）；

.,.（a+/?）（&^-c）（c+a）>2^/aft-2^/fec-2^/ra=Sabc（当旦仅当a=8=c时取等号），

即（a+6）（A+c）（c+a"846c.

18.（2022・全国•高一）已知a>0,b>0,c>0,^.ijEa2+b2+c2>ab+bc+ca.

【分析】直接写出三个重要不等式相加即得证.

【详解】Va2+b2..2ab,①

h2+c2..2hc,②

c2+a2..2ac,③

①+②+③得；2片+2〃+2c2..2ab+2hc+lac.

a2+尸+c2..〃0+Z>c+ca（当且仅当a=，=c等号成立）.

19.（2021・江苏•高一课时练习）证明：

（1）X~H—z21；

X'+1

【分析】(1)X'+-x2+l+-1,利用基本不等式即可证明.

xl+\X+1

(2)l--->Jx-+2+—,.利用基本不等式即可证明.

\jx+2Jjr+2

【详解】(1)x2+^-=P+l+

■212+1),21—1»

x2+\x2+ir7x2+i

当且仅当f+1=1时,即x=()时,等号成立.

，-、d+3X2+2+1/I-;

'-'/-Z---12+2:+」-22y/x2+2—jJ==2,

Vx+2Vx+2\lx2+2VJf+2

当且仅当J*+2=jx1+2

时取等号，此时Y=-l,

显然x的值不存在，所以等号不成立,

所以总

>2.

20.(2022•内蒙古巴彦淖尔•高一期末)请解决下列两个问题：

⑴求函数〃力=/+9的最小值；

(2)已知关于x的不等式/+法+。<0的解集为(_2,3),求关于x的不等式fer+c<0的解集.

【答案】(1)8；

(2){x|-3<x<2)

【分析】利用基本不等式求函数的最小值

易知-2,3是方程Y+云+c=()的解，求出4c,就可求出下一个不等式的解.

/(1)=/+•-2^x2-=8,

(1)当且仅当丁=4时・，等号成立.故/(x)的最小值为8.

(2)因为关于/的不等式V+法+cv0的解集为(一2,3),所以方程/+法+”()的实数根为一2和3,所以

b=-l9c=-6f代入不等式X2_法+。<0,得丁+>6<0,解得一3<x<2.故不等式/一"+°<0的解集为

{x|-3<x<2}.

21.(2022•江苏省如皋中学高一期末)已知集合。={(5,当)区+电=1，％>。，七>°}.

(1)设〃='与，求〃的取值范围;

1V19

⑵对任意(%[,不)£。，证明：X---/--------~-

\%八X2)

【答案】(1)(0，

(2)证明见解析

【分析】(I)依题意可得〃=-¥+为，0<x,<l,再根据二次函数的性质计算可得;

(2)依题意xix2+2,再结合(1)即可证明.

所以片-呼+%在(og上单

(1)解：若"=为工2，又占+工2=1，则

调递增’在1)上单调递减’所以当寸;时’广-取得最大值f

故W的取值范围

为用

（2）证明：邛右_斗中2+，」_±"%+1―K+-2）=书+]―（*+切_+2g=中,+2="+2=2,

I士人x2）x,x2x2x,x,x2'-x也4

当且仅当%=x?=g时取等号.

22.（2022.全国•高一课时练习）（1）设0<x<2,求的最大值；

14

（2）已知。>0,b>0,若a+b=2,求"；+-―的最小值.

1+。1+6

9

【答案】（1）72:（2）了.

4

【分析】（1）将J=Jx（4-2x）转化为y=*."x（4-2x），用基本不等式求最大值即可；

⑵将士+号变形为占+备=:（占+£）[（"”）+（"川’整理后用基本不等式求最值，

【详解】（1）因为0cx<2,所以4-2x>0,

所以y=Jx（4-2x）=-J2x（4-2x）<-，，二：——=0>

当且仅当2x=4—2x,即x=l时等号成立，

所以3=Jx（4-2x）的最大值为&；

(2)因为〃>0,b>0,所以。+1>(),/?+!>().

又a+b=2,所以〃+1+人+1=4,

14

-----+------

1+41+/7=；（£+1加+|）+（"打

1fsxZ，+L4(a+1)

46Z+1b+\

1

a=3149

;时取等号，所以丁|一+三的最小值为:

,51+。\+b4

h=—

3

23.（2022•全国•高一课时练习）（1）已知x>l,求4x+l+」一的最小值;

X-1

（2）已知0<x<l,求x（4-3x）的最大值.

4

【答案】（1）9；（2）y.

【分析】（1）由于x-l>0,则4x+l+-1=4（x-l）+—1+5,然后利用基本不等式求解即可，

x-lX-1

（2）由于0<x<l,变形得x（4-3x）=g-（3x）-（4-3x）,然后利用基本不等式求解即可.

【详解】（I）因为x>l,所以x—l>0,

所以4x+1H---=4（x-1）-1-----F522小4（x-1）----1-5=9,

X1X~~1yX1

13

当且仅当4（x-l）=-三,即x=9时取等号，

所以4x+l+—1的最小值为9.

x-l

（2）因为Ovxvl,所以x（4-3x）=g・（3x）・（4一3x）=g,

2

当且仅当3x=4—3x,即x=§时取等号，

故x（4-3司的最大值为:

24.（2022♦全国♦周一*单兀，则试）若。>0,b>0求证：-7+尸+:■22.

9a~h~2

【分析】连续使用两次基本不等式即可求证

【详解】因为。>（）,b>o,所以，■。匙

当且仅当，=*,即。=方时，等号成立.

又2+学22,当且仅当二=学时等号成立，

ab2ab2

11ab、2ab、A

所以下+工7+?N7+?之2，

ab2ab2

a=b

当且仅当2.而，即〃=匕=近时取等号.

益一万

25.（2021♦新疆•和硕县高级中学高一阶段练习）（1）证明：若c<6,b<a,贝ijc<a.

（2）利用基本不等式证明：已知。涉,。都是正数，求证：［a+6）（b+c）［c+a）>^abc

【分析】（1）利用不等式的性质证明即可，

（2）根据题意利用基本不等式可得a+，b+c>2\/bc>0,c+a>2\［ca>0>再利用不等式的

性质可证得结论

【详解】（1）证明：因为c<6,b<a,

所以。一/7〈（），h-a<0,

所以（c-b）+（b-a）<0,BPc-a<0,

所以c<a,得证；

（2）因为。，友c都是正数,

所以°+/2而>0（当且仅当a=b时取等号）；6+cN2痴>0（当且仅当匕=c时取等号）；

c+a>2^>0（当且仅当c=”时取等号）；

所以(4+〃)(b+c)(c+“)22j^-2>/^-2\/^=84bc(当且仅当a=b=c时取等号)，

即(a+6)(b+c)(c+a)28abe

【能力提升】

一、单选题

1.（2022・全国•高一课时练习）若x<0,则x+'~-2有（）

4x

A.最小值-1B.最小值-3C.最大值TD.最大值-3

【答案】D

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【详解】因为x<0,所以x+-?--2=-1-x+-!-1-24-2j—木-^--2=-3,当且仅当一》=』，即*=一:

4xI-Ax）V-4x-4x2

时等号成立，故X+3-2有最大值-3.

4x

故选：D.

2.（2021•河南・商丘市第一高级中学高一阶段练习）在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天

平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质

量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为〃，b,设物体的真实质量为G,则

（）

a+b_八a+b,八-a+b-,-----

A.-----=GB.------<GC.------->GD.sja+b<G

222

【答案】C

【分析】利用杠杆原理和基本不等式即可求解.

【详解】设天平的左、右臂长分别为《，4,物体放在左、右托盘称得的质量分别为。，h,真实质量为G,

由杠杆平衡原理知；/「G=La,=

由上式得G2=M，即6=益，

由于，尸总故〃*由基本不等式，得手>疯=6.

故选：C.

3.（2021.辽宁•沈阳二中高一阶段练习）若a",c均为正实数，则三个数，匕+LC+1（）

bca

A.都不大于2B.都不小于2

C.至少有—（b不大于2D.至少有一个不小于2

【答案】D

【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定

b

b+~,c+,至少有一个不小于2,从而可以得结论.

ca

【详解】解：A.都不大于2,结论不一定成立，如。=2力=3,c=4时，三个数a+。，b+~,c+4都大于2,

所以选项A错误；

B,都不小于2,即都大于等于2,不•定成立，如。=1力=2,则〃+?<2,所以选项B错误；

b

C.至少有一个不大于2,不一定成立，因为它们有可能都大于2,如。=2,6=3,c=4时，三个数。+1，b+-,

bc

C+1都大于2,所以选项C错误.

a

由题意，・・・小b,c均为正实数，

.1711111、rcc*

・・a+-+h+-+c+—=a+—+h7+—+c+->2+2+2=6.

bcaabc

当且仅当a=b=c时，取"="号，

若a+，<2,b+-<2,c+-<2,则结论不成立，

bac

.•.〃+5，h+-,c+,至少有一个不小于2,所以选项D正确；

bca

故选：D.

4.（2022•广东•华南师大附中高一期末）若正实数满足a+6=l,则（）

A.而有最大值5B.■!■+：有最大值4

4ab

C.必有最小值:D.:有最小值2

4ab

【答案】A

【分析】结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.

【详解】因为正实数a*满足。+。=1

所以劭4（包丫=2，当且仅当。+6=1,a=b,即a=6=［取等号，故A正确、C错误.

I2J42

—+-=—2--------=41

abab：+,当且仅当a+b=l,a=b,即0=6=5取等号，故B、口错误•

故选：A

5.（2022・湖北恩施•高一期末）若。>2,h>3,则工+心一的最小值是（

）

a-2b-3

A.16B.18C.20D.22

【答案】c

【分析】化简金+工=a-2+）一+b-3+_2-+10,再根据基本不等式求最小值即可

a-2h-3a-2b-3

【详解】因为a>2,b>3,所以

a^_^a<-44^-99_9

+=±+±=a2++6—3+——+10

a-2b-3a-2b-3a-2b-3

22、（a-2〉」一+2,心一3）+—2—+io=2O（当且仅当a=4,匕=6时，等号成立），所以工-+-^-的最小值

Va-2Vb-3a-2b-3

是20.

故选：C

二、多选题

6.（2022•全国•高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运

动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱.甲、乙、丙三名学生同

时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为刀，T2,T3.甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）

匕奔跑，另一半的时间以速度匕奔跑；乙全程以速度厢奔跑；丙有一半的路程以速度K奔跑，另一半的

路程以速度匕奔跑.其中K>0,K>0.则下列结论中一定成立的是（）

A.Tt<T2<T3B.Tt>T2>T3

111

C.卬3rD—I—=—

.T、T,1\

【答案】AC

【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可

判断选项.

11100100T_50f50_100

【详解】由题意彳7；耳+不7；匕=100,所以/1一不/,(=万/,3一匕7,-2yM,

22—y-匕+匕

根据基本不等式可知巧及2厢聆>0,故7；4(4%,当且仅当吊=匕时等号全部成立，故A选

2V\+V2

项正确，B选项错误；

J00_J00__100^2v+匕型1

13M+匕2VzMvv2,故c选项正确；11v,+KJvy,i,故D选项错误.

,,•/十十zp.—

2K+匕7；7；100100100T2

故选：AC.

7.(2021•徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)高一期中)设。>0,b>0,则

()

12

A.(a+26)(-+-)>9B,a2+b2^2(a+b+l)

ab

a2b2a2+b2r-r

nC.F—2a+bD.------>yjab

baa+b

【答案】ACD

【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断.

【详解】A.(〃+孙■1+5=5+攻+学》5+2、/竺孕=9,当且仅当竺=当时，等号成立，故正确;

B.因为/-2a+/-2b-2=(a-l)2+(b-l)2-4,正负不定，故错误；

C.《+〃+贵+622、叵；+2、陌=2a+力，当且仅当《=力，时，等号成立，故正确；

ba\b\aba

a2+b2^a4+b4-a'b-ab3

D.-ab=>0,故正确;

a+b)(a+/?)2(“+3

故选：ACD

8.(2021・辽宁•高一期中)下列说法中，正确的有()

y=x+：的最小值是2

A.

B.的最小值是2

C.若“，b,ceR,则°2+从+6;244力+4+左

D.若a,b,CG(0,+oo),则(4+〃)S+c)(a+c)28“历

【答案】CD

【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.

【详解】对于A,当x<0时，y=x+-<0,故A错误;

x

y=4JT2+-^==>2,当且仅当序3=］士,即d=_i时取等号，显然不可能，故B错

对于B,

误;

a2+b2>2ab

对于C,由"+c”226c,可得2(“2+〃-+广)之2ai>+2ac+2i>c,l!|Ja2+b2+c2>ab+ac+be>故C正确;

a2+c2>2ac

时于D,由“，b,ce(0,+oo),可知a+bN2&i^,b+c22屈,a+cN2庇，所以(a+6)3+c)(a+c)28abc,

故D正确.

故选：CD.

9.（2021•新疆•沙湾县第一中学高一期中）下列命题正确的是（）

A.VxeR,x2+X+1>0

B.若x<0,则x+士的最小值为4

X

C.若xeR,则Y+3+H；的最小值为3

x2+2

D.若。>0力>0,々+2/?=4,则他的最大值为2

【答案】AD

【分析】由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.

【详解】对于A,x2+x+l=fx+1J+|>0,A正确;

对于B,若x<0,则/+：=-卜+白卜-2卜*4当且仅当_=白即12时取等，B错误；

对于C,炉+3+-一=/+2+/一+122、/（丁+2）•一一+1=3,当且仅当*2+2=^^时取等,

x2+2X2+2VV）X2+2x'+2

o1

由于f+2=^_^无解,的最小值取不到3,C错误;

X2+2

对于D,a+2b=4>24^2b整理得"M2,当且仅当a=%即a=2,b=l时取等，D正确.

故选：AD.

三、填空题

QO

10.（2022•全国•高一课时练习）当时，求函数y=x+^―^的值域为________.

22x-3

【答案】（7，-|1

Q9_QQa

【分析】首先根据x<9判断2x-3的正负，再将函数式转化为、=笑r2+丁三+：,根据均值不等式求解.

222x—32

3

【详解】因为所以2%—3＜0,BP3-2x＞0,

b1।82x-3833-2x83

所以＞二»不------------F-----------1—------------1------------+f

22x-3223-2x2

3-2x8,3-2x8

又因为------------1------------>2,x=4,

23-2x3-2x

当且仅当空=展’即、时等号成立,

355

所以yW-4+5=—j，则函数的值域为（一双一]].

故答案为：（-00,-

11.（2022・全国•高一课时练习）若。£区，b＞0,a+h=3,则当。=时，一~i+卑取得最小值,

3

【答案】

2

【分析】由题知。＜3,进而分0〈av3和。＜0两种情况，结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为Q+Z?=3,b＞。,所以〃=3—〃＞0,即。＜3.

、i，八c21\a\a+ba1ba,[b~~a7

当0vav3时，----+口=----+—=一+—+->-+2J--------=-

3\a\h9ab99ab979ab9

33野号取得最小吗;

当且仅当。二时取等号，所以当。丁时,

1p|_a+ba

当avO时,

3[a]b9ab

当且仅当-53时取等号，所以当…53时，丽1+l非ai得最小吗5.

综上所述，当〃二-93时，犷1+?取得最小值.

23网b

3

故答案为：-]

122

12.（2022•吉林・长春市第二中学高一期末）已知。＞0,b＞0,且--+-~贝Ij2a+力的最小值

a+2b—43

为.

【答案】12

【分析】2a+b=2（a+2）+3-4）=|x[2（a+2）+3-4）]（，/+£）,展开后利用基本不等式可求.

i22

【详解】7.>0,+—

.・.2〃+人=2(〃+2)+S_4)=gx[2(〃+2)+S-4)]]+总

Z?-44(。+2)3

=，4+>|x(4+4)=12,

2a+2b-4

4(a+2)j17

当且仅当能即〃=；,6=号时取等号,

b-4

故2a+b的最小值为12.

故答案为：12.

13.（2022・广东广州•高一期末）在,,ABC中，记角A,B,C所对的边分别是。，b,e,面积为S,则，〜

a-+2hc

的最大值为

【答案】B

12

【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.

hesinA

S1sinA

【详解】2—x-----------------------

222obc

a+2bcb+c-2bccosA+2bc2-+-+2-2cosA

ch

Iqin4

,当且仅当6=c时取等号）.

令sinA=y,cosA=x,

5<*y

故s—x------

a2+2bc4x-2

因为f+y2=1,且y>0,

故可得点（x,y）表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示:

,即A=60。时，取得最小值一走

由数形结合可知，当旦仅当目标函数过点”

3

故可得Z士[44

乂^^4一:故可得^^勺一:/一等二聆,

当且仅当A=6（F,b=c,即:角形为等边三角形时，取得最大值.

故答案为：且

12

【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.

四、解答题

14.（2022・全国•高一课时练习）已知a,均为正实数.

2b+3c-<7a+3c-2ba+2b-3c

⑴求证:-----++>3.

a2b3c

111、3

⑵若a+A+c=3,证明:----------1------------1---------->—.

a+bb+cc+a2

【分析】⑴将去»2、”2、亲亲2式相加可证明;

（2）由条件可得

1(a+b)+伍+c)+(c+〃)(a+Z?)+(Z?+c)+(c+〃)(a+Z?)+(Z?+c)+(c+a)

L+-L+J------------------------------------------