高中数学《条件概率》教案、导学案与同步练习

《7.1.1条件概率》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布

列》，本节课主本节课主要学习条件概率.

学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型(如古典概型、几何概

型)已经有所了解。条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型。

一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究独立事件打下良好基

础。这一概念比较抽象，学生较难理解。遇到具体问题时，学生常因分不清是P(B|A)还

是P(AB)而导致出错。基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生

成，借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.通过实例，了解条件概率的概念；1.数学抽象：条件概率的概念

B.掌握求条件概率的两种方法；2.逻辑推理：条件概率公式的推导

C.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；3.数学运算：运用条件概率公式计算概率

D.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思4.数学建模：将相关问题转化为条件概率

维方法.

【重点与难点】

重点：运用条件概率的公式解决简单的问题

难点：条件概率的概念

【教学过程】

教学过程教学设计

一、问题导学

在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A开门见山，提出问

与B同时发生(积事件AB)的概率的问题，当事件A与B相互独立时，题.

有

P(AB)=P(A)P(B)

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具

体问题入手.

一、新知探究

问题1.某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人

数如表所示，通过生活中的问题

在班级里随机选一人做代表，情境，引发学生思

(1)选到男生的概率是多大？考积极参与互动，

(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？说出自己见解。从

团员非团员合计而建立条件概率的

概念，发展学生逻

男生16925

辑推理、数学运

女生14620算、数学抽象和数

学建模的核心素

合计301545

养。

随机选择一人作代表，则样本空间。包含45个等可能的样本点.用A表

示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可

以得出n(Q)=45,n(A)=30,n(B)=25.

(1)根据古典概型知识可知选到男生的概率

p(B)=幽=至=三

(2)“在选择团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的

条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当以A为样本空

间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB,包含

了样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知：P(B|A)=嘤=

n(A)

16__8_

30-15,

问题2.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，

随机选一个家庭，那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又

是多大？

观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Q=

{bb,bg,gb,gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有

女孩”，8表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩"，A=

{bg,gb,gg},B={gg}.

(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率

P(B)=喘=

n(Q)4

(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就

是在“事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A),

此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB,根据古典概型知识可知

P(B1A)=需.

分析：求P(B|A)的一般思想

让学生亲身经历了

从特殊到一般，获

得条件概率概念的

过程。发展学生逻

辑推理，直观想

因为已经知道事件A必然发生，所以只需在A发生的范围内考虑问

象、数学抽象和数

题，即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B发生，

学运算的核心素

等价于事件A和事件B同时发生，

养。

即AB发生.所以事件A发生的条件下，事件B发生的概率

P(B|A)=丛吧.

n(A)

为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W,则有

n(AB)

P(B|A)=疆=鬻

nm

一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条

件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A),

而且P(B|A)专翁.

问题1.如何判断条件概率？

题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等

关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.

问题2.P(B|A)与P(A|B)的区别是什么？

P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.

通过概念辨析，让

P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.

学生深化对条件概

条件概率与事件独立性的关系

率的理解。发展学

探究1：在问题1和问题2中，都有P(B|A)WP(B).一般地，P

生逻辑推理，直观

(B|A)与P(B)不一定相等。如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件

想象、数学抽象和

A与B应满足什么条件？

数学运算的核心素

直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发

养。

生的概率，

这等价于P(B|A)=P(B)成立.

事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),

且P(A)>0,则

P(B|A)=霭=殁舞P(B)；

反之,若P(B|A)=P(B),且P(A)>0,则

PQ4B)

P(B)=^T^=P(AB)=P(4)P(B)

探究2：对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何

计算P(AB)呢？

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(B|A).

我们称上式为概率的乘法公式(multiplicationformula).

条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.

设P(A)>0,则

⑴P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|

A)；

(3)设B和月互为对立事件，则P(分|A)=1-P(B|A).

三、典例解析

例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道

题，抽出的题不再放回.求：

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个通过典例解析，让

事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先学生体会利用二项

求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概式系数的性质，感

率，再用乘法公式求积事件的概率.受数学模型在数学

解法1：设A="第1次抽到代数题"，B=”第2次抽到几何题”。应用中的价值。发

(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试展学生逻辑推理，

题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Q包含20个等可能直观想象、数学抽

的样本点，即n(0)=魅=5x4=20。象和数学运算的核

因为n(AB)=AlXAl=3x2=6心素养。

P(AB)=嘤=2=三.

n(Q)2010

(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就

是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P(A)=|.利用条件

概率公式，得P(BA)=喑=|=今

解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，

这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生

的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)=i.

又P(A)=|,利用乘法公式可得

P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=—

5210.

从例1可知，求条件概率有两种方法：

方法一：基于样本空间。，先计算P(A)和P(AB),再利用条件概率

公式求P(B|A)；

方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本

空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。

例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回

地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？

解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=/B,C=

4B.PQ4)*;

211

P(B)=P(方B)=P(J)P(Bm)=-x-=-

__211

P(C)=P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=-

因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。

例3:银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱

时，忘记了码的最后1位数字.求：

(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。

解：(1)设Ai="第i次按对密码"(i=l,2),则事件“不超过2次

就按对密码”可表示为人=人1司人.

事件A与事件不'A互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得

112

P(A)=P(A)+P(兀A)=P(A)+P(北)P(A|A：)

1121121

1,911

——HX-=一

101095

因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为2

(2)设8="最后1位密码为偶数”，则

P(A|B)=P(A|B)+P(A7A|B)=!+%~

11255x45

因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为|.

跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管，任取两次,每次

取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的

概率.

解:方法一(定义法)

设A：=｛第i只是好的｝(i=l,2).由题意知要求出P(AzA).因为

P(A=2,P(AA)=3

10510X93

所以P(A.Ai)=胎竽=：.

方法二(直接法)

因为事件Ai已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可,在A.发生的

条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以

P(A2|A,)=^=^.

n(A)9

三、达标检测

1.已知P(AB)=1,P(A)=|,则P(BIA)等于()通过练习巩固本节

所学知识，通过学

A.-B.-C.-D.-

6101010

生解决问题，发展

解析:P(B：A)=^=]=a

r\A)-O学生的数学运算、

5

答案:A逻辑推理、直观想

2.下列说法正确的是()象、数学建模的核

A.P(A|B)=P(B|A)心素养。

B.P(B|A)>1

C.P(ADB)=P(A)•P(B|A)

D.P((AAB)|A)=P(B)

解析：由P(B|A)丹黑知,P(AAB)=P(A)•P(B|A).

答案:c

3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为白在事件A发生

10

的条件下,事件B发生的概率为今则事件A发生的概率为__________.

解析：由题意知,P(AnB)磊,P(B|A)=|.由P(B1A)=今等,得

P(A)=e=2

P(BA)5

答案:|

4.某气象台统计,该地区下雨的概率为白刮四级以上风的概率为既刮

四级以上的风又下雨的概率为9设A为下雨,B为刮四级以上的风,求

P(B|A).

解：由题意知P(A)=,P(AnB)=,故P(B|A)=?^=^=W

1510PS)M8

5.在100件产品中，有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两

次,每次任取1件产品.试求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

分析：由题意可知，100件产品中共有5件不合格品,不合格率为高.在

第一次取到不合格品的条件下，第二次又取到不合格品的概率为条件概

率.

解:设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合格品为事件B,则

⑴P(A)端=0.05.

(2)方法一:第一次取到一件不合格品,还剩下99件产品,其中有4件不

合格品,95件合格品，于是第二次又取到不合格品的概率为总由于这是

99

一个条件概率，所以P(B|A)=.

99

方法二:根据条件概率的定义,先求出事件A,B同时发生的概率

P(AB)=-^-=—,

495'

所以P(B|A)=^=^=2

100

6.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其

中的4道题即可通过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能

答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成

绩的概率.

解:设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中

5道题而另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题

答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这

次考试中获得优秀”，则A,B,C两两互斥，且D=AUBUC,E=AUB,由古典

概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

=单+娶!!+立黛=空誉,P(E|D)=P(AUB|D)=P(AD)+P(B|D)

C20QoC20Qo

2102520

二"2,+则L-__£lo_।0%,一12即所求概率为U

P(D)+P(D)一中十中—58'叩力水慨手力58.

C20C20

四、小结

r条件概率的定义通过总结，让学生

条件

进一步巩固本节所

概率

条件概率公式学内容，提高概括

能力。

【教学反思】

本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教

师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说

出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要

学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、

数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。

《7.1.1条件概率》导学案

【学习目标】

1.通过实例，了解条件概率的概念；

2.掌握求条件概率的两种方法；

3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；

4.通过条件概率的形成过程，体会由特殊到一般的思维方法.

【重点与难点】

重点：运用条件概率的公式解决简单的问题

难点：条件概率的概念

【知识梳理】

1.条件概率

一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的

概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)岑粤.

2.概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(BA).

我们称上式为概率的乘法公式(multiplicationformula).

3.条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.

设P(A)>0,则

(1)P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1-P(BA).

【学习过程】

一、问题探究

在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生(积事

件AB)的概率的问题，当事件A与B相互独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.

问题1.某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示,

在班级里随机选一人做代表，

(1)选到男生的概率是多大？

(2)如果己知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？

团员非团员合计

男生16925

女生14620

合计301545

问题2.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭,

那么

(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

(2)如果己经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

分析：求P(B|A)的一般思想

因为己经知道事件A必然发生，所以只需在A发生的范围内考虑问题，即现在的

样本空间为A.

因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，

即AB发生.所以事件A发生的条件下，事件B发生的概率P(BA)=嚅.

n(A)

为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为肌则有

n(AB)

P(BIA)=墨=需.

n(R)

一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的

概率,称为条件概率,记作P(BA),而且P(B|A)=^.

问题1.如何判断条件概率？

问题2.P(BA)与P(A|B)的区别是什么？

条件概率与事件独立性的关系

探究1：在问题1和问题2中，都有P(B|A)WP(B).一般地，P(B|A)与P(B)不一

定相等。如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？

探究2：对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢？

二、典例解析

例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再

放回.求：

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.

他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？

例3:银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最

后1位数字.求：

(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。

跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管，任取两次,每次取一只，每一次取后

不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.

【达标检测】

1.已知P(AB)总P(A)=1则P⑻A)等于()

2B-wC4D.茄

2.下列说法正确的是()

A.P(AiB)=P(B|A)B.P(B|A)>1

C.P(AnB)=P(A)•P(B|A)D.P((ACB)|A)=P(B)

3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为卷,在事件A发生的条件下,事件B发

生的概率为*则事件A发生的概率为.

4.某气象台统计,该地区下雨的概率为七,刮四级以上风的概率为於,既刮四级以上的风又下

雨的概率为*设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A).

5.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产

品.试求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

6.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其中的4道题即可通

过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次

考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.

【课堂小结】

「条件概率的定叉

条件

概率

♦条件概率公式

【参考答案】

学习过程

一、问题探究

问题1.随机选择一人作代表，则样本空间。包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选

到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可以得出n(Q)=45,n(A)=30,

n(B)=25.

(1)根据古典概型知识可知选到男生的概率

p(B)=n(B)_^5_5

,n(O)459

(2)“在选择团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发

生”的概率，记为P(B|A).此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本

空间中事件B就是积事件AB,包含了样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知：P

问题2.观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间。={bb,bg,bg,gg},

且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩”，B表示事件“选择家庭

中两个孩子都是女孩"，A=(bg,gb,gg),B={gg}.

(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率

P(B)=喘=；.

n(Q)4

(2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是在“事件A发生

的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A),此时A成为样本空间，事件B就是积

事件AB,根据古典概型知识可知

P(BIA)=畸小

问题1.题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词，表

明这个前提已成立或条件已发生，此时通常涉及条件概率.

问题2.P(BA)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.

P(AB)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.

条件概率与事件独立性的关系

探究1：直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概

率，

这等价于P(BiA)=P(B)成立.

事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,则

P(B|A)=^=嗡〜(B)；

反之，若P(B|A)=P(B),且P(A)>0,则

P(AB)

P(B)==P(AB)=P(A)P(B)

P(A)

探究2：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则

P(AB)=P(A)P(B|A).

我们称上式为概率的乘法公式(multiplicationformula).

二、典例解析

例1.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问

题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公

式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.

解法1：设A="第1次抽到代数题"，B="第2次抽到几何题”。

(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地

随机抽取2道，试验的样本空间Q包含20个等可能的样本点，即n(。)=A2=5x4=

20o

因为n(AB)=A3XA2=3x2=6

P(AB)=丛竺2=2=2_.

n(。)2010

(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件

下，事件B发生的概率。显然P(A)=|.利用条件概率公式，得

P(B1A)=^=f=l

解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，这时

还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下,

事件B发生的概率为

P(B|A)=i.

2

又P(A)=*,利用乘法公式可得

P(AB)=P(A)P(BA)=-x-=—

5210.

从例1可知，求条件概率有两种方法：

方法一：基于样本空间。，先计算P(A)和P(AB),再利用条件概率公式求

P(BA)；

方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A,求P

(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。

例2：解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则13=五8工=五豆"缶)=5；

___211

P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=-

________211

P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=-x-=-

因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。

例3:解：(1)设Ai="第i次按对密码"(i=l,2),则事件“不超过2次就按对密

码”可表示为A二AUA?A.

112

事件A与事件X；A互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得

I12

P(A)=P(A)+P(日)=P(A)+P(A7)P(A|A；)=-？-+-X-=-

1121121101095

因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为三.

(2)设8="最后1位密码为偶数”，则

P(AB)=P(AB)+P(A；A|B)=i+—=-；

i1255x45

因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为1.

跟踪训练1.解:方法一(定义法)

设人,=｛第i只是好的｝(i=l,2).由题意知要求出P(Az血).因为P(AI)磊=|,P(AIA2)=^=

1

所以P&IAJ爷竽.

方法二(直接法)

因为事件A.已发生(已知)，故我们只研究事件凡发生便可,在Ai发生的条件下,盒中仅剩9

只晶体管,其中5只好的，即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A?|A)=噜=1

n(A)9

达标检测

1.解析:P(BA)=^=?=j.

P(A)-6

答案:A

2.解析：由P(B|A)邛黑•知,P(ADB)=P(A)•P(BA).

P(A)

答案:c

3.解析:由题意知,P(AGB)磊,P(B|A)g

由P(B|A)耳瞿，得P(A)q^M=|.

答案:|

4.解：由题意知P(A)g,P(AAB)q,

,1

故P(B|A)岑黑=里=|.

15

5.分析：由题意可知，100件产品中共有5件不合格品，不合格率为高.在第一次取到不合格

品的条件下，第二次又取到不合格品的概率为条件概率.

解:设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合格品为事件B,则有：

⑴P(A)1=0.05.

100

(2)方法一:第一次取到一件不合格品,还剩下99件产品,其中有4件不合格品,95件合格

品,于是第二次又取到不合格品的概率为点,由于这是一个条件概率，

所以P(B|A)裔.

方法二:根据条件概率的定义,先求出事件A,B同时发生的概率P(AB)=-3-=

CJoo495

所以P(B|A)卷需=套=套

100

6.解:设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道

答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次

考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A,B,C两两互斥，且D=AUB

UC,E=AUB,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)

=go+cf^|o+c^c|o=i2^80p(E|D)=p(A(JB|D)=p(A|D)+P(B|D)

C20C20C20C20

2102520

二温+^=串+辜=M即所求概率为K

C20C20

《7.L1条件概率》基础训练

一、选择题

1.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一

次点数是5"，则P（N|M）等于（

25clD.1

A.-B.-C.一

392

2.一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为1、2、3、4、

5、6,从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况

下，S能被3整除的概率为（）

3.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准

确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测

资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明

节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（）

A.0.63B.0.7C.0.9D.0.567

4.已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放若,

现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口

灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（）

5.学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加报告会，其中三个年级参会同学中女生

人数分别为5、6、7,学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学,

则该名女同学来自高三年级的概率为（

6.（多选题）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2

个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4，4和A3表示由甲罐取出的球是

红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以〃表示由乙罐取出的球是红球

的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）

A.P（M）=gB.P（M|4）=t

c.事件M与事件4不相互独立D.A，A2>A3是两两互斥的事件

二、填空题

7.若一个样本空间^={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},6={1,2,4,5,6},则

P（B\A）=.

8.某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，

在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为.

9.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增

大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的

主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000

次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已

经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.

10.电报发射台发出“•”和“-”的比例为5：3,由于干扰，传送“•”时失真的概率

为2,传送“-”时失真的概率为《，则接受台收到“•”时发出信号恰是“•”的概率

为.

三、解答题

11.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

（1）求男生甲被选中的概率；

（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

12.袋子中放有大小、形状均相同的小球若干.其中标号为0的小球有1个，标号为1的

小球有2个，标号为2的小球有〃个.从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率

哈

(1)求”的值；

(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1,求另一个小球的标号也是1的

概率.

答案解析

一、选择题

1.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一

次点数是5”，则P(N|M)等于()

2511

A.-B.-C.一D.一

3923

【答案】B

【详解】事件M为“两次所得点数均为奇数”，则事件为(U),(1,3),(1,5),

(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),故〃(M)=9：N为“至少有一次点数

是5"，则事件MN为(1,5),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),n(MN)=5,所以

尸必⑼].故选:B.

2.一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分别为1、2、3、4、

5、6,从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况

下，S能被3整除的概率为()

【答案】B

【详解】记"S能被3整除”为事件A,“S为偶数”为事件3,事件5包括的基本事

件有{1,3},件5},{3,5},{2,4},{2,6},{4,6}共6个.事件包括的基本事件有

{1,5}、{2,4}共2个.

~,c、21

则P(A[8)=.=£=故选:B.

63

3.下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准

确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测

资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是0.63,若该地某年清明

节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是()

A.0.63B.0.7C.0.9D.0.567

【答案】B

【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，由题意可知，

P(A)=0.9,P(AB)=0.63,所以P(B|A)=彳帚=而=0.7.故选：B.

4.已知盒中装有3只螺口灯池与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置,

现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口

灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()

【答案】C

【详解】方法一：因为电工师傅每次从中任取一只且不放回，且第1次抽到的是螺口灯

泡，

所以第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率等价于：从装有2只螺口

99

灯池与9只卡口灯泡中抽取一只，恰为卡口灯泡的概率，即为==77，

2+911

方法二：设事件A为：第1次抽到的是螺口灯泡，事件B为：第2次抽到的是卡口灯泡，则

第1次抽到的是螺口灯泡，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为

3x9

===S故选：C

P（A）311

12

5.学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加报告会，其中三个年级参会同学中女生

人数分别为5、6、7,学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，

则该名女同学来自高三年级的概率为（）

779