沪教版九年级数学考试满分全攻略第05讲二次函数的概念及图像(5大考点)(原卷版+解析)

第05讲二次函数的概念及图像（5大考点）考点考向考点考向1.二次函数的概念解析式形如的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况直线时，开口向上，顶点是最低点；时，开口向下，顶点是最高点；当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.直线直线直线直线考点精讲考点精讲一．二次函数的定义（共3小题）1．（2021秋•奉贤区校级期中）下列函数是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x22．（2021秋•奉贤区校级期中）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝（a2+1）x2 D．y＝ax23．（2019秋•虹口区期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝．二．二次函数的图象（共6小题）4．（2022•上海模拟）已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A． B． C． D．5．（2020秋•嘉定区期末）二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞06．（2020秋•虹口区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．7．（2020秋•金山区期末）抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）8．（2019秋•奉贤区期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．9．（2019秋•庐阳区校级月考）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．三．二次函数图象与系数的关系（共8小题）10．（2021秋•闵行区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．11．（2020秋•金山区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．（m，﹣n） B．（﹣m，n） C．（m，n） D．（﹣m，﹣n）12．（2020•宝山区二模）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为．13．（2020秋•杨浦区期末）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是．14．（2020秋•徐汇区校级期中）已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向．15．（2020秋•松江区月考）已知抛物线y＝（1﹣k）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．16．（2020•长宁区二模）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是．17．（2020秋•浦东新区期末）已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．四．二次函数图象上点的坐标特征（共6小题）18．（2020秋•长宁区期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．19．（2020秋•崇明区期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．20．（2020秋•普陀区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），那么f（﹣1）0．（填“＞”、“＜”或“＝”）21．（2020秋•松江区期末）已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．22．（2020秋•奉贤区期末）如果二次函数y＝（x﹣1）2的图象上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．23．（2019秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．五．二次函数图象与几何变换（共9小题）24．（2021秋•奉贤区校级期中）将二次函数y＝3x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，沿x轴方向向右平移3个单位的函数解析式为．25．（2021秋•虹口区月考）抛物线y＝﹣2x2+3向左移动a（a＞0）个单位后经过点（﹣1，﹣5），则a的值为．26．（2020秋•崇明区期末）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．27．（2022•徐汇区校级模拟）将抛物线y＝2x2下平移2个单位后的抛物线解析式为y＝．28．（2021秋•奉贤区校级期中）将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是．29．（2021秋•普陀区期中）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．30．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝．31．（2020秋•黄浦区期末）将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．32．（2020秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．巩固提升巩固提升一、选择题1.（长宁金山2020一模1）下列函数中是二次函数的是（）A.y＝；B.y＝（x+3）2﹣x2；C.y＝；D.y＝x（x﹣1）2.（松江2020一模2）如果点A（1，3）、B（m，3）是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（）A.2 B.3 C.4 D.53.（闵行2020期末6）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.4.（闵行2020期末3）k为任意实数，抛物线的顶点总在()A.直线上 B.直线上 C.x轴上 D.y轴上5.（长宁金山2020一模3）将拋物线向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A.；B.；C.；D.6.（奉贤2020一模5）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：…01345……-5-5-…根据上表，下列判断正确的是（）A.该抛物线开口向上 B.该抛物线的对称轴是直线C.该抛物线一定经过点 D.该抛物线在对称轴左侧部分是下降的二、填空题7．（浦东新区2020一模10）如果二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，那么k的值是．8.（2019新竹园9月考10）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是___________．9.（长宁金山2020一模10）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是_____．10.（崇明2020一模12）如果将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为___________．11.（普陀2020一模11）将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于．12.（嘉定2020一模14）已知抛物线经过点和，那么y1y2(从“>”或“<”或“=”选择）13.（长宁天山2019期中11）抛物线的图像与轴的交点坐标是______________.14.（奉贤2020一模9）若一条抛物线的顶点在轴上，则这条抛物线的表达式可以是___________（只需写一个）15．（浦东新区2020一模13）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）16.（奉贤2020一模10）如果二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么的取值范围是__________.17.（奉贤2020一模11）抛物线与轴交于点，如果点和点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值是_________.18.（静安2020一模14）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．19．（浦东新区2020一模17）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么当x＝5时，该二次函数y的值为．20.（黄浦2020一模14）如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．三、解答题21.（奉贤2019期中19）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．22.（长宁天山2019期中19）已知二次函数的图像经过点.求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标.23.（普陀2019期中20）已知二次函数的图像经过、、三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求出图像的顶点坐标.24.（奉贤2020一模19）已知函数.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.…………25.（静安2020一模21）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．26.（闵行2020期末19）已知二次函数图像的最高点是A(1，4)，且经过点B(0，3)，与轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).求△BCD的面积.27.（普陀2019期中21）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点、与轴交于点，且.（1）求的值；（2）如果点是抛物线上一点，联结交轴正半轴于点，，求的坐标.28.（普陀2019期中24）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线.（1）求抛物线的表达式；（2）如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且△的面积是.求点的坐标.29.（黄浦2020一模22）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且，求点B坐标．30.（奉贤2019期中22）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不低于20且不超过60件时，求获得的利润w与x的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？31.（松江2020一模20）已知二次函数.（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶点B坐标；（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.32.（闵行2020期末24）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=-2的抛物线经过点C(0，2)，与x轴交于A(-3，0)、B两点(点A在点B的左侧).(1)求这条抛物线的表达式.(2)连接BC，求∠BCO的余切值.(3)如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO=∠BCO，求点P的坐标.33．（浦东新区2020一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且∠PAB＝∠ACB，求点P的坐标．34.（崇明2020一模24）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，联结交线段于点．（1）求这条抛物线解析式，并写出顶点坐标；（2）求的正切值；（3）当与相似时，求点的坐标．35.（青浦2020一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．第05讲二次函数的概念及图像（5大考点）考点考向考点考向1.二次函数的概念解析式形如的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况直线时，开口向上，顶点是最低点；时，开口向下，顶点是最高点；当时，抛物线在对称轴（直线）左侧的部分下降，在右侧上升；时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.直线直线直线直线考点精讲考点精讲一．二次函数的定义（共3小题）1．（2021秋•奉贤区校级期中）下列函数是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、当a＝0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2．（2021秋•奉贤区校级期中）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝（a2+1）x2 D．y＝ax2【分析】利用二次函数定义可得答案．【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项合题意；D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．3．（2019秋•虹口区期末）如果函数y＝（m+1）x+2是二次函数，那么m＝2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+2是二次函数，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键．二．二次函数的图象（共6小题）4．（2022•上海模拟）已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A． B． C． D．【分析】根据正比例函数和二次函数的性质即可判断．【解答】解：当m＞0时，y＝mx的图象是经过原点和一三象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴，当m＜0时，y＝mx的图象是经过原点和二四象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴，故选：D．【点评】主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．（2020秋•嘉定区期末）二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0【分析】根据顶点所处的位置确定m、k的符号．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k∴顶点为（﹣m，k），∵顶点在第四象限，∴﹣m＞0，k＜0，∴m＜0，k＜0，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．6．（2020秋•虹口区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．【解答】解：A．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；B．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；C．由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；D．由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x＝＝＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．故选：D．【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．（2020秋•金山区期末）抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．8．（2019秋•奉贤区期末）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，∴a＞0，故答案为a＞0．【点评】本题主要考查二次函数的图象，解题关键是要熟练掌握二次函数的性质．9．（2019秋•庐阳区校级月考）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【解答】解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．三．二次函数图象与系数的关系（共8小题）10．（2021秋•闵行区校级期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝﹣，与y轴的交点坐标为（0，c）．【解答】解：A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．11．（2020秋•金山区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．（m，﹣n） B．（﹣m，n） C．（m，n） D．（﹣m，﹣n）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y＝﹣2（x﹣m）2+n，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（m，n），故选：C．【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．12．（2020•宝山区二模）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为﹣1＜m＜0．【分析】求出函数的顶点坐标为（m，m+1），再由第二象限点的坐标特点的得到：m＜0，m+1＞0即可求解．【解答】解：∵y＝（x﹣m）2+（m+1），∴顶点为（m，m+1），∵顶点在第二象限，∴m＜0，m+1＞0，∴﹣1＜m＜0，故答案为﹣1＜m＜0．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合平面象限内点的坐标特点求解是关键．13．（2020秋•杨浦区期末）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是a＜1．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数1﹣a＞0．【解答】解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，所以1﹣a＞0，即a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．14．（2020秋•徐汇区校级期中）已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向向上．【分析】先写出对称轴为直线x＝﹣m，根据顶点在y轴的右侧，且am＜0可得答案．【解答】解：y＝a（x+m）2的对称轴为直线x＝﹣m，∵顶点在y轴的右侧，∴﹣m＞0，m＜0，∵am＜0，∴a＞0，开口方向向上，故答案为向上．【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是对二次函数的图象与系数的关系的一个清晰的理解．15．（2020秋•松江区月考）已知抛物线y＝（1﹣k）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是k＞1．【分析】由二次函数图象与系数的关系可得．【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣k）x2+3x的开口向下，∴1﹣k＜0，∴k＞1．故答案为：k＞1．【点评】本题主要考查了二次函数图象的开口方向和二次项系数a的关系，a＞0，开口向上，a＜0，开口向下．然后解不等式就可．16．（2020•长宁区二模）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是a＜1．【分析】根据抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．故答案为：a＜1．【点评】考查了二次图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．17．（2020秋•浦东新区期末）已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），再利用第二象限点的坐标特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）．四．二次函数图象上点的坐标特征（共6小题）18．（2020秋•长宁区期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1＞y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y1与y2的值，然后比较它们的大小．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），∴y1＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝3+c，y2＝22﹣2×2+c＝c，∵y1﹣y2＝3＞0，∴y1＞y2，故答案是：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．19．（2020秋•崇明区期末）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为（0，﹣5）．【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣5，故答案为：（0，﹣5）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．20．（2020秋•普陀区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），那么f（﹣1）＞0．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】根据图象可知当x＝﹣1，y＞0．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），对称轴在y轴的左侧，∴当x＝﹣1，y＞0，∴f（﹣1）＞0，故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．21．（2020秋•松江区期末）已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】先求得开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质，能熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．22．（2020秋•奉贤区期末）如果二次函数y＝（x﹣1）2的图象上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】根据二次函数的性质即可判断y1、y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵2＜4，∴y1＜y2．故选：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键．23．（2019秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．【分析】（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2；（2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到A1（x，x2﹣x），然后代入y＝x2﹣2，得到x2﹣x＝x2﹣2，解得x＝2，即可求得点A1的坐标；（3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入y＝x2﹣n，得到x2﹣nx＝x2﹣n，解得x＝1，即可求得点A2的坐标．【解答】解：（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2，如图：（2）由题意，得点A（x，y）的“关联点”为A1（x，y﹣x），由点A（x，y）在抛物线y＝x2上，可得A（x，x2），∴，又∵A1（x，y﹣x）在抛物线y＝x2﹣2上，∴x2﹣x＝x2﹣2，解得x＝2．将x＝2代入，得A1（2，2）；（3）点A（x，y）的“待定关联点”为，∵在抛物线y＝x2﹣n的图象上，∴x2﹣nx＝x2﹣n，∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1，当x＝1时，x2﹣nx＝1﹣n，故可得A2（1，1﹣n）．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标．五．二次函数图象与几何变换（共9小题）24．（2021秋•奉贤区校级期中）将二次函数y＝3x2的图象沿y轴方向向上平移1个单位，沿x轴方向向右平移3个单位的函数解析式为y＝3（x﹣3）2+1．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：二次函数y＝3x2的图象沿y轴向上平移1个单位所得函数解析式为：y＝3x2+1；二次函数y＝3x2+1的图象沿x轴向右平移3个单位所得函数解析式为：y＝3（x﹣3）2+1．故答案为：y＝3（x﹣3）2+1．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．25．（2021秋•虹口区月考）抛物线y＝﹣2x2+3向左移动a（a＞0）个单位后经过点（﹣1，﹣5），则a的值为3．【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式，再利用函数图象上点的坐标特征得出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+3向左移动a（a＞0）个单位后经过点（﹣1，﹣5），∴平移后解析式为：y＝﹣2（x+a）2+3，把（﹣1，﹣5）代入得：﹣5＝﹣2（﹣1+a）2+3，解得a＝3或a＝﹣1（舍去），故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握平移规律是解题关键．26．（2020秋•崇明区期末）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．故答案为y＝（x+1）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．27．（2022•徐汇区校级模拟）将抛物线y＝2x2下平移2个单位后的抛物线解析式为y＝2x2﹣2．【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．【解答】解：∵将抛物线y＝2x2下平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝2x2﹣2，故答案是：2x2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便．28．（2021秋•奉贤区校级期中）将抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是y＝3（x+2）2﹣2．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝3x2﹣2向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y＝3（x+2）2﹣2．故答案为：y＝3（x+2）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．29．（2021秋•普陀区期中）将抛物线y＝2（x+1）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2﹣3向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3；再向上平移3个单位为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3+3，即y＝2（x﹣1）2．故答案是：y＝2（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．30．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案为．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．31．（2020秋•黄浦区期末）将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式，然后根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，得到函数y＝（x+1﹣3）2+2，即y＝（x﹣2）2+2，∵二次函数y＝（x+1）2+2的图象在x＞﹣1时，y随x的增大而增大，二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象在x＜2时，y随x的增大而减小，∴当﹣1＜x＜2时，两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．32．（2020秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【分析】（1）根据平移规律和待定系数法确定函数关系式；（2）将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标是15．【解答】解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，∴新抛物线经过点（1，5），∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，∴（1﹣m）2＝4，∴1﹣m＝±2，∴m1＝﹣1，m2＝3．∵m＞0，∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3．（2）∵与y轴的交点坐标，∴设交点为（0，y），∴将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，∴与y轴的交点坐标为（0，15）．【点评】此题主要考查了待定系数法，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键．巩固提升巩固提升一、选择题1.（长宁金山2020一模1）下列函数中是二次函数的是（）A.y＝；B.y＝（x+3）2﹣x2；C.y＝；D.y＝x（x﹣1）【答案】D；【解析】解：二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），排除A,C;B.y＝（x+3）2﹣x2=6x+9,化简后为一次函数；D.y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，为二次函数；故答案选D．2.（松江2020一模2）如果点A（1，3）、B（m，3）是抛物线上两个不同的点，那么m的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B；【解析】解：∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线上两个不同的点，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴由顶点式可知对称轴是，对称轴位于A点的右侧，∴，∴，解之得：，故答案选B.3.（闵行2020期末6）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.【答案】B；【解析】解：①根据图像，开口向下，得出，正确；②根据图像，对称轴为，，与y轴的交点为（0,c），，错误；③根据图像，以及对称轴，，，正确；④根据图像，顶点坐标均大于0，即，，错误；故答案为B.4.（闵行2020期末3）k为任意实数，抛物线的顶点总在()A.直线上 B.直线上 C.x轴上 D.y轴上【答案】B；【解析】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，∴该点总在直线上，故答案选B.5.（长宁金山2020一模3）将拋物线向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A.；B.；C.；D.【答案】A；【解析】解：∵将抛物线向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y＝（x＋1−2）2−3＝（x−1）2−3，故答案选A．6.（奉贤2020一模5）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：…01345……-5-5-…根据上表，下列判断正确的是（）A.该抛物线开口向上 B.该抛物线的对称轴是直线C.该抛物线一定经过点 D.该抛物线在对称轴左侧部分是下降的【答案】C；【解析】解：∵抛物线过点（1，），（3，），∴该抛物线的对称轴是：直线，故B错误；∵由表格可知：当x≤2时，y随x的增大而增大，∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，D错误；∵该抛物线的对称轴是：直线，点（5，）在抛物线上，∴该抛物线一定经过点，故C正确.故选C.二、填空题7．（浦东新区2020一模10）如果二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，那么k的值是．【答案】3；【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+k﹣3的图象经过原点，∴k﹣3＝0，解得k＝3.8.（2019新竹园9月考10）已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是___________．【答案】直线;【解析】解：∵点、的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线．故答案为：直线．9.（长宁金山2020一模10）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是_____．【答案】a＞﹣1;【解析】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．10.（崇明2020一模12）如果将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为___________．【答案】;【解析】解:∵＝（x＋1）2−2，∴抛物线y＝x2＋2x−1的顶点坐标为（−1，−2），∴把点（−1，−2）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（1，1），即新抛物线的顶点坐标为（1，1）．11.（普陀2020一模11）将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于．【答案】1；【解析】解：因为，其顶点为（1，1），向下平移m个单位后，顶点为（1，1-m）在x轴上，则1-m=0即m=1.12.（嘉定2020一模14）已知抛物线经过点和，那么y1y2(从“>”或“<”或“=”选择）【答案】；【解析】由题意可知，抛物线的开口向上（a>0)，对称轴为直线，所以当时，y随x的增大而减小，即.13.（长宁天山2019期中11）抛物线的图像与轴的交点坐标是______________.【答案】（0，3）；【解析】解：与y轴的交点坐标的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式可得y=3，故交点坐标为（0，3）.14.（奉贤2020一模9）若一条抛物线的顶点在轴上，则这条抛物线的表达式可以是___________（只需写一个）【答案】;【解析】解：∵一条抛物线的顶点在y轴上，∴，即：b=0，∴这条抛物线的表达式可以是：.15．（浦东新区2020一模13）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）【答案】上升；【解答】解：∵﹣2＜0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．16.（奉贤2020一模10）如果二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么的取值范围是__________.【答案】;【解析】解：∵二次函数的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，∴二次函数的图像开口向上，∴.17.（奉贤2020一模11）抛物线与轴交于点，如果点和点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值是_________.【答案】-2;【解析】解：∵抛物线与y轴交于点A，∴点A的坐标是：（0，2），∵点和点A关于该抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴是：直线x=1，即：，∴，解得：b=-2.18.（静安2020一模14）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．【答案】(或);【解析】解：设增长率为x，则五月份的营业额为：，六月份的营业额为：；故答案为：或.19．（浦东新区2020一模17）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y＝ax2+bx+c…﹣3010﹣3…那么当x＝5时，该二次函数y的值为．【答案】-8；【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1），设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，从表格可知过点（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1，解得：a＝﹣1，即y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，故答案为：﹣8．20.（黄浦2020一模14）如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．【答案】；【解析】解：设AH与DG交于点K，则可知，因为DG//BC，所以，所以即，解得，故.三、解答题21.（奉贤2019期中19）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．【答案】（1）(1,0)；（2）y=x2﹣2x;【解析】解：（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1，所以抛物线解析式为=；∴抛物线的顶点坐标为（1，0）.（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1，而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2，所以A（0，0），B（2，0），所以新抛物线的解析式为即．22.（长宁天山2019期中19）已知二次函数的图像经过点.求这个二次函数的解析式，开口方向，对称轴和顶点坐标.【答案】；开口向下；对称轴：直线；顶点坐标【解析】解：将代入二次函数解析式得，解得∴函数解析式为∵，∴抛物线开口向下，对称轴为，将x=-1代入解析式得y=9，所以顶点坐标为（-1,9）.23.（普陀2019期中20）已知二次函数的图像经过、、三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求出图像的顶点坐标.【答案】（1）；（2）；【解析】解：（1）设一般式y=ax2+bx+c，由题意得，解得，∴；（2）∵，∴顶点坐标.24.（奉贤2020一模19）已知函数.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.…………【答案与解析】解：（1）∵a=-1<0，∴函数图像的开口向下，∵，∴顶点坐标是：，∵抛物线的对称轴是：直线x=2，∴当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小；（2）当x=-1，0，1，2，3，4时，y=-8，-3，0，1，0，-3；(如图所示).25.（静安2020一模21）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．【答案】（1）；（2）（-6，49）；（3）答案见解析.【解析】解：（1）∵对称轴为，∴．∴；∴抛物线的表达式为．（2）∵点A（8，m）在该抛物线的图像上，∴当x=8时，．∴点A（8，49）．∴点A（8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．（3）列表，如下：抛物线图像如下图：26.（闵行2020期末19）已知二次函数图像的最高点是A(1，4)，且经过点B(0，3)，与轴交于C、D两点(点C在点D的左侧).求△BCD的面积.【答案】S△BCD=6;【解析】解：设所求的二次函数解析式为，把B(0，3)代入得解得：.令，那么，解得：.∴CD=4.在△BCD中，·CD·OB=.27.（普陀2019期中21）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点、与轴交于点，且.（1）求的值；（2）如果点是抛物线上一点，联结交轴正半轴于点，，求的坐标.【答案】（1）1（2）（4，12）【解析】解：（1）当x=0时，y=ax2-4=-4，则B（0，-4），所以OB=4，在Rt△OAB中，OA==2，∴A点坐标为（-2，0），把A（-2，0）代入y=ax2-4得4a-4=0，解得a=1;（2∵a=1，∴抛物线解析式为y=x2-4.设P（x，x2-4）∵，∴，作PH⊥x轴于点H，则AH=x+3，PH∥BC,∴,∴，∴x=4,∴y=x2-4=12,∴P（4，12）.28.（普陀2019期中24）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线.（1）求抛物线的表达式；（2）如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且△的面积是.求点的坐标.【答案】（1）;（2）;【解析】解：（1）把x=0代入得，y=5；把y=0代入得，x=5；∴B(0，5)，A(5，0)，将A、B两点的坐标代入

，得

，解得

,∴抛物线的解析为

;（2）过Q点作QC⊥x轴于点D，并延长交直线

于C，设点Q

，C(m,-m+5)，=

，∵

，，∴

，∴

，

∴Q(1,0)(舍去)，Q（4，-3）.29.（黄浦2020一模22）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且，求点B坐标．【答案】(1)开口向下，A；在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降；（2）；【解析】解：（1）抛物线的开口方向向下，顶点A的坐标是，抛物线的变化情况是：在对称轴直线左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．（2）设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则．∴点B的坐标可表示为．代入，得．解得（舍），．∴点B的坐标为．30.（奉贤2019期中22）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不低于20且不超过60件时，求获得的利润w与x的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，y=20；（2）一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元【解析】解：（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，；（2）当且x为整数时，，∴，∴∴∵∴当x=34时，w最大，最大值为578；答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．31.（松江2020一模20）已知二次函数.（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶点B坐标；（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A