中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【填空题】必考重点10解三角形(原卷版+解析)

【填空题】必考重点10解三角形解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性质或者锐角三角函数的边角关系进行求解，是江苏省各地市中考的必考点，考查形式多样，既有选择题、填空题，也会考查解答题，选择和填空考查时，难度中等或者偏难，综合题考查时难度中等。接此类题目时，要善于运用勾股定理、相似三角形的对应边成比例的性质求三角形的边长，能够运用锐角三角函数的基本知识进行边角互化，从而解出三角形。【2022·江苏南通·中考母题】如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．【考点分析】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在四边形中，，平分．若，，则______．【考点分析】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．【思路分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【2022·江苏南通·中考母题】如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．【考点分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．【思路分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．【2022·江苏无锡·中考母题】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【考点分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【思路分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动，当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，则此时点的横坐标为______．2．（2022·江苏·阳山中学一模）在中，，有一个锐角为60°，AB＝4，若点P在线段AB上（不与点A、B重合），且，则CP的长为______．3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平面内几条线段满足．AB、CD的交点为E，现测得，，，则CD的长度为___________．4．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的最大值为________．5．（2022·江苏镇江·二模）如图，在等腰直角△ABC中，，点D在△ABC内部，连接BD、CD，将△BDC绕点C逆时针旋转90°得到△AEC，点M在边AE上，若，，则线段BM的最小值为______．6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为______．7．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则当EC＝______时，矩形DEFG面积的最大值＝______．8．（2022·江苏南通·二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD的长为______cm．（结果取整数，参考，，）9．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为______．10．（2022·江苏泰州·二模）如图，在等边外侧作直线AD，点C关于直线AD的对称点为M，连接CM，BM．其中BM交直线AD于点E．若，当，时，则等边的边长为______．11．（2022·江苏·无锡市河埒中学二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是CD边上的一点，连接BP，以BP为一边在正方形内部作，过点A作，交BQ的延长线于点E，则______．12．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在中，，则的面积为_______．13．（2022·江苏常州·二模）如图，在中，，．D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则______．14．（2022·江苏南京·一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为_____．15．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形的边长是3．，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列到结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确结论是：__．16．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．（1）若点O到BC的距离为，则点O到EF的距离为_________；（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为_________．17．（2022·江苏·苏州草桥中学一模）如图，将绕斜边的中点旋转一定的角度得到，已知，，则________．18．（2022·江苏徐州·二模）如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值是______．19．（2022·江苏南通·一模）如图，△ABC中，，，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE，DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为_________．20．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为__________；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为__________．21．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中点，连接AD，过点C作CF⊥AD交AB于F，则△ABD的面积为______，BF＝______．22．（2022·江苏无锡·一模）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____．23．（2022·江苏·靖江市实验学校一模）在△ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，AE＝6，把AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，则AC＝________．24．（2022·江苏连云港·一模）如图，在矩形和中，，将绕着点B顺时针旋转，连接，当最大时，的面积为___________．25．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形中，，，点是矩形对角线上的动点，连接，过点作交所在直线与点，以、为边作矩形，当时，则长为______．【填空题】必考重点10解三角形解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性质或者锐角三角函数的边角关系进行求解，是江苏省各地市中考的必考点，考查形式多样，既有选择题、填空题，也会考查解答题，选择和填空考查时，难度中等或者偏难，综合题考查时难度中等。接此类题目时，要善于运用勾股定理、相似三角形的对应边成比例的性质求三角形的边长，能够运用锐角三角函数的基本知识进行边角互化，从而解出三角形。【2022·江苏南通·中考母题】如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．【考点分析】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．【答案】【详解】解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由题意可知：，，在中，，∴，∴，故答案为：【2022·江苏常州·中考母题】如图，在四边形中，，平分．若，，则______．【考点分析】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．【思路分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【答案】【详解】解：过点作的垂线交于，，四边形为矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案为：．【2022·江苏南通·中考母题】如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．【考点分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．【思路分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．【答案】【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，∵，，∴∴AG＝AB＝，∴BG＝，∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，，∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，在△BCM和△FHM中，，∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝，∴BF＝，∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，∴OM＝，EM＝，∵BD＝，△BED是直角三角形，∴EO＝，∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，故答案为：．【2022·江苏无锡·中考母题】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【考点分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【思路分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【答案】80

【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动，当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，则此时点的横坐标为______．【答案】【思路分析】取AD的中点M，，连接OM，CM，利用垂线段最短，再利用三角函数建立等式即可求解．【详解】解：如图1，取AD中点M，连接OM，CM，∴，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，∴DC=AB=4，AD=BC=6，∠CDM=90°，∴，，∴，∴点C到点O的距离最大时，O、M、C三点共线，此时，如图2，过O点作ON⊥AD于N，∴，∴即，即∴，，∴，Rt△ONA中，，∴A点横坐标为，故答案为：．2．（2022·江苏·阳山中学一模）在中，，有一个锐角为60°，AB＝4，若点P在线段AB上（不与点A、B重合），且，则CP的长为______．【答案】或2【思路分析】分∠ABC=60°、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：①当∠ABC=60°时，则BC=AB=2，当点P在线段AB上时，∵∠PCB=30°，∴CP⊥AB，则PC=BCcos30°=2×=；②当∠ABC=30°时，如图，∵∠PCB=30°，∠ACB=90°，∴∠ACP=60°，∵∠BAC=60°，∴△PAC为等边三角形．∴PC=AC，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=2．∴PC=2．综上，PC的长为：2或．故答案为：2或．3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平面内几条线段满足．AB、CD的交点为E，现测得，，，则CD的长度为___________．【答案】【思路分析】延长交于，过作交于，根据“字形”可知，得到相似比，设，在中，根据勾股定理得，结合条件得出，再利用相似比即可求出的长度．【详解】解：延长交于，过作交于，如图所示：，，，，，,,,,,,设，则，在中，根据勾股定理得,，解得，，解得，故答案为：．4．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的最大值为________．【答案】16【思路分析】根据B′点轨迹求得B′到直线BC的最大距离为B′A+AC，再由勾股定理求得AC即可解答；【详解】解：如图，B′的轨迹在以A为圆心，AB为半径的圆上，点D、A、C三点共线，∠ACB=90°，则DC⊥BC，当B′与点A、C不共线时，B′C＜B′A+AC，∵B′C与BC不垂直，由垂线段的性质可得：B′到直线BC的距离小于B′C，∴B到直线BC的距离小于B′A+AC，当B′与点D重合时，B′到直线BC的距离=B′A+AC，∴B′到直线BC的最大距离为B′A+AC，∴当B′与点D重合时，△B′CB的面积最大，Rt△ABC中，AC=，∴△B′CB面积最大值为DC•BC=（5+3）×4=16，故答案为：16；5．（2022·江苏镇江·二模）如图，在等腰直角△ABC中，，点D在△ABC内部，连接BD、CD，将△BDC绕点C逆时针旋转90°得到△AEC，点M在边AE上，若，，则线段BM的最小值为______．【答案】【思路分析】点D在以BC为直径的圆O上，根据垂线段最短，延长BD交AE于点F，证明BF⊥AE，四边形DCEF是正方形，用勾股定理计算BD，BF=BD+DF计算即可．【详解】∵，∴点D在以BC为直径的圆O上，延长BD交AE于点F，∴∠EDF=90°，根据旋转的性质，得∠AEC=∠ACB=90°，∠ECD=90°，CD=CE，∴∠DFE=90°，∴BF⊥AE，∴BF最短，∴当M与点F重合时，BM最小，∵AC=2CD=BC=4，∴DF=CD=2，BD=，∴BF=BD+DF=，故答案为：．6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为______．【答案】【思路分析】过C作CD⊥AB于D，根据30°直角三角形性质求出AB，利用勾股定理求BC，然后利用面积桥求出CD，根据点E为A′C中点求出CE，当点P运动到点D时，C、E、D三点共线时EP最短即可求解．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，∵，，，∴AB=2AC=4，BC=，∴，∴，∵点E是A′C的中点，A′C=AC=2，∴CE=，当点P运动到点D时，C、E、D三点共线时EP最短，EP最短=CD-CE=．故答案为：．7．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则当EC＝______时，矩形DEFG面积的最大值＝______．【答案】

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【思路分析】设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，根据求出，HE，勾股定理求出FH，根据AC=AH+HE+EC得到，进而得到关于矩形DEFG面积的解析式，利用二次函数的性质得到面积的最大值．【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，在Rt△ECD中，∵，∴，∴，∵∠FEH+∠CED=90°，∴∠EFH=∠DEC，∴，∴FH=，∵△AHF是等腰直角三角形，∴AH=FH=，∵AC=AH+HE+EC=，∴=4，∴，∴矩形DEFG面积=xy==，∴当时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为，∴=2，故答案为：2，．8．（2022·江苏南通·二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD的长为______cm．（结果取整数，参考，，）【答案】5【思路分析】过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E．过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．易证四边形AFDE是矩形，那么AE=FD=30cm，DE=AF．解Rt△AEC，求出EC=AE=30cm．再解Rt△BFD，根据正切函数定义可得BF=FD•tan27°≈15.3cm．最后根据CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE，代入数据即可求得CD的长．【详解】解：过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E．过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．在四边形AFDE中，∵AB∥CD，∠AED=90°，∴∠FAE=90°．又∠AFD=90°，∴四边形AFDE是矩形，∴AE=FD=30cm，DE=AF．在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AE=30cm，∴EC=AE=30cm．在Rt△BFD中，∵∠BFD=90°，∠BDF=27°，FD=30cm，∴tan27°=，∴BF=FD•tan27°≈15.3cm．∴CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE≈5cm．故机翼外缘CD的长度约为5cm．故答案为：59．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为______．【答案】【思路分析】作射线BD，根据△DEF为等腰直角三角形，得出DE=DF，再判断四点D、E、B、F共圆，得出∠DEF=∠DFE=45°，得出BD平分∠ABC，可得当AD⊥BD时，AD最短，然后利用AD=ABsin∠ABD=即可．【详解】解：作射线BD，∵△DEF为等腰直角三角形，∴DE=DF，∵∠EDF=∠EBF=90°，∴四点D、E、B、F共圆，∴∠DEF=∠DFE=45°，∴BD平分∠ABC，∴当AD⊥BD时，AD最短，∵AB=5∴AD=ABsin∠ABD=．故答案为．10．（2022·江苏泰州·二模）如图，在等边外侧作直线AD，点C关于直线AD的对称点为M，连接CM，BM．其中BM交直线AD于点E．若，当，时，则等边的边长为______．【答案】【思路分析】设DE交CM于点F，连接AM，CE，过点B作于N，由对称的性质及等边三角形的性质可证，再由三角形外角的知识点求得，通过解直角三角形可得BN、CN的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】设DE交CM于点F，连接AM，CE，过点B作于N，点C关于直线AD的对称点为M，，，，，，为等边三角形，，，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，故答案为：．11．（2022·江苏·无锡市河埒中学二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是CD边上的一点，连接BP，以BP为一边在正方形内部作，过点A作，交BQ的延长线于点E，则______．【答案】【思路分析】连接AP，作EM⊥.PB于M，根据S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD=8即可解决问题．【详解】解：如图，连接AP，作EM⊥PB于M，AE//PB，S△PBE=S△ABP=S正方形ABCD=，，∠EBM=45°，∠EMB=90°.EM=BE，，，故答案为．12．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在中，，则的面积为_______．【答案】【思路分析】过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，过C点作CN⊥AB于N点，在AN上取一点M，使得MN=NB，设CN=a，先求出∠DCB=45°，即在Rt△DCB中，DC=DB=BC，再解含有特殊角的直角三角形即可得到BC=CM=AM=2a，MN=NB=a，根据三角形的面积即可求出a的值，则问题得解．【详解】过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，过C点作CN⊥AB于N点，在AN上取一点M，使得MN=NB，设CN=a，如图，∵BD⊥AC，CN⊥AB，∴∠D=90°=∠CNM=∠CNB，∵∠A=15°，∠ABC=30°，∴∠DCB=45°，∴在Rt△DCB中，DC=DB=BC，∵∠ABC=30°，∴在Rt△CNB中，2CN=BC=2a，BN=CN=a，∴DC=DB=×2a=a，∵CN⊥AB，MN=NB=a，∴有△CMB是等腰三角形，CM=CB=2a，∴∠CMB=∠CBM=30°，∵∠A=15°，∴∠ACM=∠A=15°，∴AM=CM=BC=2a，∴AB=AM+MN+BN=2a+2a，∴△ABC的面积为：，∴，解得，∴△ABC的面积为：，故答案为：．13．（2022·江苏常州·二模）如图，在中，，．D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则______．【答案】4【思路分析】如图，过点作交的延长线于，如图，利用正弦的定义得到，则设，，所以，再根据折叠的性质和平行线的性质得到，所以，接着根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，最后计算的值．【详解】解：如图，过点作交的延长线于，如图，，，，设，，，沿直线翻折得到，，，，，，，，，，，，，，即，，，．故答案为：4．14．（2022·江苏南京·一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为_____．【答案】【思路分析】设PQ与AC交点为O，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线，然后根据和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出，得到PQ的最小值．【详解】解：设PQ与AC交点为O，∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵，，∴△CAB∽△，∴，∴，∴＝，∴则PQ的最小值为2＝，故答案为：．15．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形的边长是3．，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列到结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确结论是：__．【答案】①③⑤【思路分析】由正方形的性质得出条件，先判定△DAP≌△ABQ（SAS），再判定△CQF≌△BPE（ASA）及△ADF≌△DCE（SAS），则可判断①②③是否正确；由勾股定理可判断④是否正确；分别判定△PBE∽△PAD，△PAD∽△QOE，从而可得比例式，求得OE和OA的值，则可判断⑤是否正确．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP和△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝∠ADO+∠FDO＝90°，∴∠DAO＝∠FDO，∴△DAO∽△FDO，∴，∴OD2＝OA•OF，∵OD不一定等于OQ，故②不正确；在△CQF和△BPE中，，∴△CQF≌△BPE（ASA），∴CF＝BE，∴DF＝CE，故①正确；在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF﹣S△DOF＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF，故③正确；∵AQ⊥DP，∴AO2+OE2＝AE2，∵AE＞AB＝BC，∴AO2+OE2＞BC2，故④错误；∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵正方形ABCD中，BC∥AD，∴△PBE∽△PAD，∴，∴BE，∴QE，∵∠P＝∠Q，∠PAD＝∠QOE＝90°，∴△PAD∽△QOE，∴，∴OQ，OE，∴AO＝5﹣OQ，∴tan∠OAE，故⑤正确．综上，正确的有①③⑤．故答案为：①③⑤．16．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．（1）若点O到BC的距离为，则点O到EF的距离为_________；（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为_________．【答案】

6【思路分析】（1）根据题意可得∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，证明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH=BG，AH=OG=，然后根据勾股定理即可解决问题；（2）根据题意证明△HOD∽△GCO，可得，由tan∠OCD=tan30°=，设BG=OH=x，可得CG=x，设HD=k，可得OG=k，根据BC=3AD可得，k=x，然后利用勾股定理可得DO=6，进而可以解决问题．【详解】解：（1）∵两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，∴∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，如图，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，∵四边形BCEF是矩形，∴BC∥EF，∴OH⊥EF，∴∠OHA=∠AOB=90°，∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠BOG=90°，∴∠OAH=∠BOG，在△OAH和△BOG中，，∴△OAH≌△BOG（AAS），∴OH=BG，AH=OG=，∵AB=6．∴AO=BO=AB=3，∴BG=2，∴OH=2，则点O到EF的距离为2，故答案为：2；（2）∵∠OGC=∠DHO=∠DOC=90°，∴∠HOD+∠COG=∠GCO+∠COG=90°，∴∠HOD=∠GCO，∴△HOD∽△GCO，∴，∵∠OCD=30°，∴tan∠OCD=tan30°=，∴，由（1）知：OH=BG，AH=OG，设BG=OH=x，∴CG=x，设HD=k，∴OG=k，∴AH=OG=k，∴AD=AH+DH=（+1）k，∵BC=3AD，BC=BG+CG=OH+CG=（+1）x，∴（+1）x=3（+1）k，∴k=x，∴AH=OG=k=x，在Rt△AHO中，根据勾股定理得：OH2+AH2=AO2，∴x2+（x）2=（3）2，解得x=3，∴HD=k=x=，BG=OH=x=3，在Rt△DHO中，根据勾股定理得：DH2+OH2=DO2，∴（）2+（3）2=DO2，∴DO=6，∴△OCD外接圆的半径为6．故答案为：6．17．（2022·江苏·苏州草桥中学一模）如图，将绕斜边的中点旋转一定的角度得到，已知，，则________．【答案】【思路分析】如图，连接，，作于，于．先证，根据勾股定理求出AB，利用旋转求出EF，然后证明四边形OMCH为矩形，求出即可解决问题．【详解】解：如图，连接，，作于，于．由题意：，，，，，共圆，，，，，，∵，，，，，，∵△ABC绕点O旋转到△FEH，∴AE=CB，FE=AB=，∴，∴∠BAC=∠ACE，∴，∴于，于．∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，∴四边形是矩形，，∵OE=,，故答案为．18．（2022·江苏徐州·二模）如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值是______．【答案】3【思路分析】作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．【详解】解：如下图所示，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC．∴AG=AH，．∴，△DEF周长的最小值是GH．∵三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°．∴∠DAB+∠DAC=60°．∴∠GAB+∠HAC=60°．∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°．∴．∴，．∴．∴当AD取得最小值时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．∴当AD⊥BC时，即点D与点I重合时，△DEF周长取得最小值为．∵AB=2，

∴．∴．∴△DEF周长的最小值是3．故答案为：3．19．（2022·江苏南通·一模）如图，△ABC中，，，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE，DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为_________．【答案】【思路分析】过F作FH⊥BC于H，设AB=5k则AF=3k，BF=2k，解Rt△ABC，Rt△BFH和Rt△CHF求得CF的长，再由△GFE∽△CFB即可解答；【详解】解：如图，过F作FH⊥BC于H，设AB=5k，则AF=3k，BF=2k，，则Rt△ABC中，AC=3k，BC==4k，Rt△BFH中，FH=k，BH==k，∴CH=BC-BH=4k-k=k，Rt△CHF中，CF==k，∵CE=CB，∴EF=CE-CF=4k-k，∴EF∶BF=（4k-k）∶2k=，∵∠E=∠B，∠GFE=∠CFB，∴△GFE∽△CFB，∴=，故答案为：；20．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为__________；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为__________．【答案】

2

或【思路分析】由题意易得，则有，．连接OD，过点O作OM⊥CD于点M，由与⊙O相切，则有OD⊥AD，即∠ADO=90°，，即有∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，则可求出，问题得解；②可分为⊙O与四边形的边相切和⊙O与四边形的边相切两种情况，进而根据切线的性质可进行求解．当⊙O与四边形的边相切于点G时，作OF⊥CD于点F，并延长，交AD的延长线于点P，交AB于点N，利用，，即可求出和其度数，即可求出和其度数，即可求出、，进而求出、、NF，设，则可表示出、，在Rt△DFO中，利用勾股定理得可得到关于r的方程，解方程即可求出r；当⊙O与四边形的边相切时，则切点即为点C，为⊙O的直径，⊙O的半径为．【详解】解：∵在四边形中，，，，∴，∴，，连接OD，过点O作OM⊥CD于点M，如图所示：∵与⊙O相切，∴OD⊥AD，即∠ADO=90°，，∴∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，∴，即⊙O的半径为2；②分两种情况讨论第一种情况：当⊙O与四边形的边相切于点G时，作OF⊥CD于点F，并延长，交AD的延长线于点P，交AB于点N，如图所示：∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴NF=5，设，则有，∴，在Rt△DFO中，由勾股定理得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）；第二种情况：当⊙O与四边形的边相切时，则切点即为点C，∴为⊙O的直径，∴⊙O的半径为；综上所述：当⊙O与四边形的一边相切时，其半径为2或或；故答案：2；或．21．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中点，连接AD，过点C作CF⊥AD交AB于F，则△ABD的面积为______，BF＝______．【答案】

3

【思路分析】过D作DG⊥AB于G，利用勾股定理和三角函数解Rt△ABC，Rt△DBG，Rt△ACD，Rt△ACE，Rt△ADG，Rt△AEF，求得AF即可解答；【详解】解：过D作DG⊥AB于G，∵DB=DC，AC⊥BC，∴S△BDA=S△CDA=S△ABC=；Rt△ABC中由勾股定理得：AB=，∴cos∠B==，sin∠B==，Rt△DBG中，BD=2，则BG=2×cos∠B=，DG=2×sin∠B=，Rt△ACD中，AC=3，CD=