北师大版七年级数学下册常考题专练专题05整式乘除的综合运用(原卷版+解析)

专题05整式乘除的综合运用题型一整式乘法中的化简求值1．已知，求代数式的值．2．化简求值：，其中．3．已知，求代数式的值．4．先化简，再求值：，其中，5．已知，求代数式的值．题型二整式乘除的几何背景6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是A． B． C． D．7．如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重盘无缝隙），则矩形的面积为A． B． C． D．8．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）方法．方法．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立；（3）已知，，请利用（2）中的等式，求的值．9．如图1，两种长方形纸片的长分别为和，宽都为，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形和四边形都为正方形，设空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为．（1）直接写出，，的等量关系式；（2）用含，的代数式表示图中阴影部分的面积；（3）若，求与的数量关系．

10．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立A． B． C． D．11．我们知道，可以利用直观的几何图形形象地表示有些代数恒等式．例如：，可以用图1的面积关系来表示．还有许多代数恒等式也可以用几何图形面积来表示其正确性．（1）根据图2写出一个代数恒等式；（2）已知等式：，请你在图3的方框内画出一个相应的几何图形，利用这个图形的面积关系来表示等式的正确性．12．在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形（如图，通过不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：．（1）根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为：；利用图3可以验证的等式为：；（2）利用（1）中所得结论，解决下面的问题：，，求的值；（3）如图4，有、、三类长方形（或正方形）卡片，其中甲同学持有、类卡片各一张，乙同学持有、类卡片各一张，丙同学持有、类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是．（直接写出结果）13．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：，，求的值；②计算：．14．对于任意有理数，，，，我们规定．（1）填空：对于有理数，，，若是一个完全平方式，则；（2）对于有理数，，若，．求的值；将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值．15．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为的正方形、1张边长为的正方形和2张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：（1）图2所表示的数学等式为；（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若，，求的值；（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分面积．题型三整式运算中的归纳猜想17．探索规律：，，．请运用你发现的规律解决问题：若，则．18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了，2，3，4，的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）121331464请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是．19．观察下列各式，寻找规律：已知，计算：（1）根据上面各式可得规律：（2）根据（1）中规律计算的值．（3）求的个位数字．20．观察下列各式的规律：；；；，则第五个式子为，第个式子为．（其中为正整数）21．阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算：．22．观察下列等式：利用你的发现的规律解决下列问题（1）（直接填空）；（2）（直接填空）；（3）利用（2）中得出的结论求的值．23．观察下面各式的规律：；；；（1）写出第2021个式子；（2）写出第个式子，并验证你的结论．题型四新定义运算与阅读理解题型24．对于任意有理数，，现用★定义一种运算：★．根据这个定义，代数式★可以化简为A． B． C． D．25．定义运算“”，其法则为，则方程的解是．26．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则．27．阅读：计算：．解：设，则原式．请按照上述的解题思路，解答下列问题：计算：．28．我们定义：三角形，五角星，若，则的值．29．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．（1）填空：，．（2）计算：①；②；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，，为实数），求，的值．（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．30．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．（1）若，，则的值为．（2）“若满足，求的值”．阅读以下解法，并解决相应问题．解：设，则这样就可以利用（1）的方法进行求值了．若满足，求的值．（3）若满足，求的值．31．若我们规定三角表示为；方框表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：（2）代数式：为完全平方式，则常数（3）当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？32．若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算；（2）代数式为完全平方式，则；（3）当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？33．阅读理解并完成下面问题：我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的因式分解：，是正整数），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：（其中．例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．（1）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，若是一个完全平方数，求的值；（2）如果一个两位正整数，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为18，那么我们称这个两位正整数为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；（3）在（2）中的所有“吉祥数”中，求的最小值．专题05整式乘除的综合运用题型一整式乘法中的化简求值1．已知，求代数式的值．【解答】解：，把代入得：原式．2．化简求值：，其中．【解答】解：原式，，，，，，原式．3．已知，求代数式的值．【解答】解：原式，当时，原式．4．先化简，再求值：，其中，【解答】解：，当，时，原式．5．已知，求代数式的值．【解答】解：．，．原式．题型二整式乘除的几何背景6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是A． B． C． D．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是，第二个图形的面积是．．故选：．7．如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重盘无缝隙），则矩形的面积为A． B． C． D．【解答】解：矩形的面积是．故选：．8．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）方法．方法．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？请说明这个等式成立；（3）已知，，请利用（2）中的等式，求的值．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：或，故答案为：；．（2），成立．证明：．．（3）由（2）得：．，，．．9．如图1，两种长方形纸片的长分别为和，宽都为，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形和四边形都为正方形，设空白部分的面积之和为，阴影部分的面积之和为．（1）直接写出，，的等量关系式；（2）用含，的代数式表示图中阴影部分的面积；（3）若，求与的数量关系．【解答】解：（1）由图知；（2）；（3），，，，又，．10．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立A． B． C． D．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，，故选：．11．我们知道，可以利用直观的几何图形形象地表示有些代数恒等式．例如：，可以用图1的面积关系来表示．还有许多代数恒等式也可以用几何图形面积来表示其正确性．（1）根据图2写出一个代数恒等式；（2）已知等式：，请你在图3的方框内画出一个相应的几何图形，利用这个图形的面积关系来表示等式的正确性．【解答】解：（1）；（2）如图所示：．12．在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形（如图，通过不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：．（1）根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为：；利用图3可以验证的等式为：；（2）利用（1）中所得结论，解决下面的问题：，，求的值；（3）如图4，有、、三类长方形（或正方形）卡片，其中甲同学持有、类卡片各一张，乙同学持有、类卡片各一张，丙同学持有、类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是．（直接写出结果）【解答】（1）；；故答案为：；；（2），，即，又，，；（3）画树状图如图所示：共有6个等可能的结果，能拼成一个正方形的结果有2个，能拼成一个正方形的概率为；故答案为：．13．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：，，求的值；②计算：．【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：，故答案为：；（2）①，，，，；②．14．对于任意有理数，，，，我们规定．（1）填空：对于有理数，，，若是一个完全平方式，则；（2）对于有理数，，若，．求的值；将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在边上，连接，．若，，图中阴影部分的面积为174，求的值．【解答】解：（1），是一个完全平方式，，解得；故答案为：．（2）方法，，解得；方法2：依题意有，解得，，则；，，，，，解得．故的值为2．15．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为的正方形、1张边长为的正方形和2张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1），验证：，（2），所需、两种纸片各2张，种纸片5张，（3）设，则，，，，，，，．16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：（1）图2所表示的数学等式为；（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若，，求的值；（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分面积．【解答】解：（1）由图可得，；故答案为：；（2）由（1）可得：；（3）．题型三整式运算中的归纳猜想17．探索规律：，，．请运用你发现的规律解决问题：若，则41204．【解答】解：，，，则，故答案为：41204．18．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了，2，3，4，的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）121331464请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是．【解答】解：展开式中含项的系数，由可知，展开式中第二项为，展开式中含项的系数是，故答案为：19．观察下列各式，寻找规律：已知，计算：（1）根据上面各式可得规律：（2）根据（1）中规律计算的值．（3）求的个位数字．【解答】解：（1）由规律可知：，故答案为；（2）原式；（3）原式，，，，，，个位数按3，9，7，1进行循环，原式，的个位数字是7．20．观察下列各式的规律：；；；，则第五个式子为，第个式子为．（其中为正整数）【解答】解：由题意知第五个式子为，第个式子为，故答案为：，．21．阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算：．【解答】解：根据题意，总结规律得：，当，时，，，原式，故答案为：．22．观察下列等式：利用你的发现的规律解决下列问题（1）（直接填空）；（2）（直接填空）；（3）利用（2）中得出的结论求的值．【解答】解：（1）故答案为：；（2）故答案为：；（3）．23．观察下面各式的规律：；；；（1）写出第2021个式子；（2）写出第个式子，并验证你的结论．【解答】解：（1）根据题意得：第2021个式子为；（2）以此类推，第行式子为．理由：左边，右边，．题型四新定义运算与阅读理解题型24．对于任意有理数，，现用★定义一种运算：★．根据这个定义，代数式★可以化简为A． B． C． D．【解答】解：★，★，故选：．25．定义运算“”，其法则为，则方程的解是1或．【解答】解：根据题意，得：，解得：或，故答案为：1或．26．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则6．【解答】解：由题意可得：，，，，，故答案为：6．27．阅读：计算：．解：设，则原式．请按照上述的解题思路，解答下列问题：计算：．【解答】解：设，则．28．我们定义：三角形，五角星，若，则的值32．【解答】解：根据题意得：，所以，即，所以，，故答案为：32．29．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．（1）填空：，．（2）计算：①；②；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，，为实数），求，的值．（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．【解答】解：（1），，，（2）①；②；（3），，，，；（4）．30．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．（1）若，，则的值为40．（2）“若满足，求的值”．阅读以下解法，并解决相应问题．解：设