沪教版九年级数学考试满分全攻略第24章相似三角形(基础、典型、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)

第24章相似三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海市进才中学一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（

）A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形2．（2022·上海市青浦区教育局二模）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cm B．500cm C． D．4．（2022·上海宝山·九年级期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（

）A． B． C． D．5．（2022·上海崇明·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（

）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166．（2022·上海青浦·九年级期末）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（

）A． B． C． D．与方向相同7．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，点分别在的边、上，下列各比例式不一定能推得的是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2022·上海金山·二模）已知在中，点、分别在边、上，//，如果和四边形的面积分别为4和5，，那么______．10．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）计算______．11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，，请你再添加一个条件______，使得．12．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝8，那么AP＝_____．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）实数9和6的比例中项是_____．14．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝______．15．（2022·上海闵行·九年级期末）为单位向量，与的方向相同，且长度为2，那么_________16．（2022·上海黄浦·九年级期末）计算：如果，那么_________17．（2022·上海杨浦·九年级期末）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为米，那么这根旗杆的高度为____________米．18．（2022·上海虹口·九年级期末）已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为______．19．（2022·上海青浦·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．20．（2022·上海崇明·九年级期末）计算：____________．21．（2022·上海奉贤·九年级期末）如果,那么________．22．（2022·上海静安·二模）在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）三、解答题23．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，EF是的中位线，设，．（1）求向量、（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）24．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）25．（2022·上海黄浦·九年级期末）已知：如图，在中，(1)求证(2)如果，求的长．26．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知实数x、y、z满足，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．27．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．28．（2022·上海金山·九年级期末）已知：如图，直线MN，垂足为，，点是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：；（2）如果，，求关于的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．29．（2022·上海松江·九年级期末）已知：如图，梯形ABCD中，DCAB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．(1)如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；(2)如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．【典型】一、填空题1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’、B’、D’，当A’落在边CD的延长线上时，边A’D’与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．2．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm.点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？3．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______．4．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，四边形是三个正方形、__________5．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________二、解答题6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）连接BD，求∠DBC的正切值．7．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）已知直角三角形斜边上的高为，且斜边上的高把斜边分成两段，则斜边上的中线长是__________【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022春•闵行区校级期末）已知：，那么下列等式中，不一定成立的是（）A．5x＝3y B． C．x+y＝8 D．2．（2021秋•金山区期末）已知＝，那么下列等式中成立的是（）A．2a＝3b B．＝ C．＝ D．＝3．（2021秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A． B． C． D．4．（2021秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）5．（2021秋•普陀区期末）如果x：y＝2：3，y：z＝9：4，那么x：y：z＝．6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是．8．（2022•静安区二模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8，判定这两个三角形是否相似．．（填“相似”或“不相似”）9．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为．10．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是．三．解答题（共5小题）11．（2021秋•奉贤区期末）已知：x：0.5＝：4，求x的值．12．（2021秋•奉贤区期末）已知：a：b＝3：4，b：c＝，求：a：b：c．（写成最简整数比）13．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．14．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．（1）求证：AB2＝AC•AE；（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值．15．（2022•青浦区模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．【压轴】一、填空题1．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．2．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．3．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．二、解答题4．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，平分．（1）求证：四边形是菱形；（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）5．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF(1)求证：AE＝AC；(2)设，，求关于的函数关系式及其定义域；(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．第24章相似三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海市进才中学一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（

）A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形【答案】A【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是60°∴它们是相似图形，符合题意；B、两个矩形四个角都是90°，但对应边的比不一定相等∴它们不是相似图形，不符合题意；C、两个菱形角不一定相等∴它们不是相似图形，不符合题意；D、两个等腰梯形对应边的比不一定相等，∴它们不是相似图形；故选：A．【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．2．（2022·上海市青浦区教育局二模）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.向量的模只有大小，没有方向，则不成立，故该选项不正确，不符合题意；

B.单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；D.单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．3．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cm B．500cm C． D．【答案】B【分析】根据成比例线段的性质求解即可．【详解】解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm的线段实际长为500cm，故选B．【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．4．（2022·上海宝山·九年级期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据比例中项的概念（如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项）可得，则可求得的值．【详解】解：∵，b是a和c的比例中项，即，∴．故选：D．【点睛】本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的定义是解题关键．5．（2022·上海崇明·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（

）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个相似三角形的相似比为1：4，再由相似三角形的对应边的中线比等于相似比，即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的对应边的中线比等于相似比是解题的关键．6．（2022·上海青浦·九年级期末）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（

）A． B． C． D．与方向相同【答案】D【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】解：A、正确，不符合题意．因为所以；B、正确，不符合题意．因为（均为非零向量），所以与是方向相反的向量，即∥；C、正确，不符合题意．由可得D、错误，符合题意．因为（均为非零向量），所以与是方向相反的向量，故选：D．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．7．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，点分别在的边、上，下列各比例式不一定能推得的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得答案.【详解】解：A、∵，∴DE∥BC，不符合题意；B、由，不一定能推出DE∥BC，符合题意；C、∵，∴DE∥BC，不符合题意；D、∵，∴DE∥BC，不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行，理解对应线段是解答此题的关键.8．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例逐项判断即可．【详解】∵，∴，，所以A，D，不正确；C正确．B中的线段不是对应线段，所以不正确.故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分得的线段中，对应线段成比例是解题的关键．二、填空题9．（2022·上海金山·二模）已知在中，点、分别在边、上，//，如果和四边形的面积分别为4和5，，那么______．【答案】6【分析】根据题意：，可得．通过相似三角形的性质可知：两个相似三角形的面积比等于相似比的平方．已知，，所以，所以相似比．所以，已知DE=4，则可求出BC=6．【详解】如图，相似比，DE=4BC=6故答案为6．【点睛】本题考查知识点为相似三角形的性质．两个三角形相似，则它们的面积比等于相似比的平方，它们的周长比等于相似比．掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．10．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）计算______．【答案】【分析】直接利用平面向量的运算法则，先去括号再合并求出答案．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的混合运算，掌握正确的运算法则是关键．11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，，请你再添加一个条件______，使得．【答案】（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角或对应边成比例即可．【详解】解：∵，∴，即，∴当或或或时两三角形相似．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．12．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝8，那么AP＝_____．【答案】【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可．【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴，故本题答案为：．【点睛】本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）实数9和6的比例中项是_____．【答案】【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内向的是两条相同的线段，即或，那么线段b是a和c比例中项”，设实数9和6的比例中项是x，列式9：x＝x：6进行解答即可得．【详解】解：设实数9和6的比例中项是x，9：x＝x：6，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了比例中项，解题的关键是掌握比例中项的定义．14．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝______．【答案】3：2【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，故答案为：3：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．15．（2022·上海闵行·九年级期末）为单位向量，与的方向相同，且长度为2，那么_________【答案】2【分析】两向量方向相同可做线性运算，单位向量长度为1，故可得二者的数量关系．【详解】解：∵长度为1，长度为2，二者方向相同∴做线性运算可得故答案为：2．【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量．16．（2022·上海黄浦·九年级期末）计算：如果，那么_________【答案】【分析】根据，可得，再代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．17．（2022·上海杨浦·九年级期末）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为米，那么这根旗杆的高度为____________米．【答案】15【分析】设这根旗杆的高度为h米，根据竹竿的影长∶竹竿的长度等于旗杆的影长∶旗杆的高度，即可求解．【详解】解：设这根旗杆的高度为h米，根据题意得：，解得：即这根旗杆的高度为15米．故答案为：15【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．（2022·上海虹口·九年级期末）已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为______．【答案】48【分析】由直角三角形确定其三边长的比，然后根据相似三角形的性质可求得的三边比，再结合条件可分别求得的三边长，即可得出结果．【详解】解：∵，的两直角边之比为，∴由勾股定理可得：的三边之比为，∴的三边之比为，又∵的最大边长为20，∴的另外两边分别为，，∴的周长为，故答案为：48．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题关键．19．（2022·上海青浦·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．【答案】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．【详解】∵两个相似三角形的周长比为，∴两个相似三角形的相似比为，∴对应高线的比为，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．20．（2022·上海崇明·九年级期末）计算：____________．【答案】【分析】先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】题目主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．21．（2022·上海奉贤·九年级期末）如果,那么________．【答案】【分析】由，设则再代入求值即可.【详解】解：，设则故答案为：【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.22．（2022·上海静安·二模）在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）【答案】不相似【分析】求出，利用，即可求出两个三角形不相似．【详解】解：∵，，，∴，∵，，，∴，∴这两个三角形不相似．故答案为：不相似【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．三、解答题23．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，EF是的中位线，设，．（1）求向量、（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）；；（2）作图见解析．【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得；（2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量．【详解】解：（1）∵EF是的中位线，．∴==，∵，∴（2）如图，过点E作EM∥AC，则与即为向量在、方向上的分向量．【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．24．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【答案】，作图见解析【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【详解】解：如图，即为所求，【点睛】此题考查了平面向量的运算法则以及作法，注意作图时利用三角形法则是关键．25．（2022·上海黄浦·九年级期末）已知：如图，在中，(1)求证(2)如果，求的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据DE∥BC，可得，从而得到，进而得到，可证得△AEF∽△ACD，从而得到∠AFE=∠ADC，即可求证；（2）根据△AEF∽△ACD，可得，从而得到AF=12，即可求解．(1)证明：∵DE∥BC，∴，∵，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD，∴∠AFE=∠ADC，∴EF∥CD；(2)∵△AEF∽△ACD，，∴，∵，∴AF=12，∴DF=AD-AF=3．【点睛】本题主要考查了平行分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行分线段成比例，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．26．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知实数x、y、z满足，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．【答案】【分析】设，则，代入即可求得答案．【详解】解：设，则，【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．27．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【答案】（1）；（2）0【分析】（1）设代入求值即可；（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论．【详解】解：（1）由设∴（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得整理得，∴∴∴【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．28．（2022·上海金山·九年级期末）已知：如图，直线MN，垂足为，，点是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：；（2）如果，，求关于的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】（1）根据直线MN，，可得，再由BF平分，可得，即可求证；（2）作垂足为点H，根据，可得，从而得到，进而得到，再由角平分线的性质定理，可得．再证得，可得，即可求解；（3）根据题意可得：点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似．然后分两种情况讨论即可求解．【详解】解：（1）∵直线MN，，∴，，∴，∵BF平分，∴，∴；（2）作垂足为点H，∵，∴，∵，∴，∴；∵BF平分，，，∴．∵，直线MN，∴，∴，∴，即，解得：；（3）如图，连接DF，设，由，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，即以点D、E、F为顶点的三角形与相似．∵，若，则，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，由（2）得：，∴，解得：（舍去负值），∴．若，则，∴，即，∵∠BED=∠AEF，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE=∠BDE，由（2）得：，∴是锐角，而是直角，所以这种情况不成立．综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，AE的长为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．29．（2022·上海松江·九年级期末）已知：如图，梯形ABCD中，DCAB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．(1)如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；(2)如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．【分析】（1）通过证明△DEC∽△CEB，可得，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，可得，由相似三角形的性质可得，可得，通过证明△ADE∽△ACD，可得，可得结论．(1)证明：（1）∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CAB，∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵∠DEC＝∠BEC，∴∠DEC＝∠BCE＝∠BEC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠CBE＝∠DCE，BE＝BC，∴△DEC∽△CEB，∴，∴CE2＝DE•BE＝DE•CB；(2)证明：（2）∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，∴△BCE∽△ACB，∴，∵△DEC∽△CEB，∴，∠CDE＝∠BCE＝∠CED＝∠BEC，∴，CD＝CE，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴，∴，∴AD＝BC．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．【典型】一、填空题1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’、B’、D’，当A’落在边CD的延长线上时，边A’D’与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．【答案】【分析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D=A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，对应边成比例即可求出DE的长，再由△A'DF∽△CDE求出DF的长，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.【详解】解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4∴由勾股定理可知：A'C=，∴A'D=A'C-CD=2，又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，∴△ECD∽△A'CB'，∴，代入数据：，∴，又A'F∥CE，∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，∴△A'DF∽△CDE，，代入数据：，∴，在Rt△DFC中由勾股定理可知：.故答案为：.【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.2．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm.点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？【答案】0.8或2【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【详解】设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．则AP=2xcm，BQ=4xcm．∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=（8﹣2x）cm，分两种情况讨论：①BP与BC边是对应边，则=，即=，解得：x=0.8；②BP与AB边是对应边，则=，即=，解得：x=2．综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．故答案为0.8或2．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．3．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______．【答案】【分析】根据三角形相似的性质得到面积比，设较小三角形的面积为4S，则较大三角形的面积为9S，列出等量解出S的值即可求出结果．【详解】解：∵两个三角形的周长比是2：3，∴两个三角形的面积比等于4：9，设较小的三角形的面积为4S，则较大的三角形面积为9S，∴9S-4S=3，解得S=∴较小三角形的面积为4S=．故答案为：【点睛】本题考查三角形相似的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，熟记相关性质内容是解题关键．4．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，四边形是三个正方形、__________【答案】90º【分析】根据正方形的性质得∠1=45°，先求出线段AD、AF、AH的长度（用a表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ADF∽△HDA，问题即可解决．【详解】由已知得∠1=45°设正方形的边长为a，则AD=，∵，，∴，∵∠ADF=∠ADH∴△ADF∽△HDA，∴∠3=∠DAF，∵∠DAF+∠2=45°，∴∠3+∠2=45°∴．故答案为90º．【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．5．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【详解】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，∵，∴FP：IE：PH=1：2：3，∴AI：IE：EC=1：2：3，∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，S△ABC：S△FDP=36：1，∴S△ABC=36×3=108．故答案为:108．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方．二、解答题6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）连接BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）．【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到，即可求出梯形的面积；(2)过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求解．【详解】解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示：∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3，∴CE==6，∴梯形ABCD的面积=×(5+8)×6=39，故答案为：39．(2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示：∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD===10，∴，∴CH=3，∴BH===6，∴∠DBC的正切值===．故答案为：．【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）已知直角三角形斜边上的高为，且斜边上的高把斜边分成两段，则斜边上的中线长是__________【答案】【分析】设两段分别为CD=3x，AD=4x，根据列出方程，求得x然后根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．【详解】由题意得下图：∵，∴又∵∴∴设两段分别为CD=3x，AD=4x∴，解得或（舍去）∴∴斜边中线的长为故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的实际应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，关键是要舍去一元二次方程的不合理的根．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2022春•闵行区校级期末）已知：，那么下列等式中，不一定成立的是（）A．5x＝3y B． C．x+y＝8 D．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵，∴5x＝3y，故A不符合题意；B、∵，∴＝1+＝1+＝，故B不符合题意；C、∵，∴x+y≠8，故C符合题意；D、∵，∴＝，故D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．2．（2021秋•金山区期末）已知＝，那么下列等式中成立的是（）A．2a＝3b B．＝ C．＝ D．＝【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答．【解答】解：A．因为＝，所以3a＝2b，故A不符合题意；B．因为＝，所以≠，故B不符合题意；C．因为＝，所以＝，故C符合题意；D．因为＝，所以＝﹣故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．3．（2021秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．【解答】解：A．因为＝，所以DE∥AC，故A不符合题意；B．因为＝，所以DE∥AC，故B符合题意；C．因为＝，所以DE∥AC，故C不符合题意；D．因为＝，所以DE∥AC，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知并结合图形去分析是解题的关键．4．（2021秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推得AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，得△EAF∽△EAB，△AEF∽△CDF，推比例线段即可判断是否符合题意．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴＝，＝，∴A、C不符合题意；D符合题意；∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴B不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代换是解题关键．二．填空题（共6小题）5．（2021秋•普陀区期末）如果x：y＝2：3，y：z＝9：4，那么x：y：z＝6：9：4．【分析】把x：y的值化成6：9即可解答．【解答】解：∵x：y＝2：3，∴x：y＝6：9，∵y：z＝9：4，∴x：y：z＝6：9：4，故答案为：6：9：4．【点评】本题考查了比例的性质，把x：y的值化成6：9是解题的关键．6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM＝BN，再根据S△BCD＝2S△ABD，从而可得BC＝2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得＝＝，从而可得＝，最后根据△BOC与△BDC的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN＝DM，∵S△BCD＝2S△ABD，∴BC•DM＝2×AD•BN，∴BC＝2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴＝＝，∴＝，∵△BOC与△BDC的高相等，∴＝＝，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是．【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质可求出CD的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（2022•静安区二模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8，判定这两个三角形是否相似．不相似．（填“相似”或“不相似”）【分析】在Rt△DEF中，利用勾股定理先求出EF的长，然后求出和的值，即可解答．【解答】解：∵∠F＝90°，DF＝6，DE＝8，∴EF＝＝＝2，∵∠C＝∠F＝90°，AC＝3，BC＝4，∴＝，＝＝，∴≠，∴Rt△ABC和Rt△DEF不相似，故答案为：不相似．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为100°或115°．【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．【解答】解：①当AD＝AC时，如图1，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．综上所述，∠ACB＝100°或115°．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．10．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是2．【分析】过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．想办法求出AE，EC即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．则有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，∴EF＝AE＝，∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，∴AC＝＝＝2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．三．解答题（共5小题）11．（2021秋•奉贤区期末）已知：x：0.5＝：4，求x的值．【分析】根据比例的基本性质进行计算即可．【解答】解：∵x：0.5＝，∴x＝×，∴x＝，答：x的值为．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．12．（2021秋•奉贤区期末）已知：a：b＝3：4，b：c＝，求：a：b：c．（写成最简整数比）【分析】先求出b：c的整数比，然后再把b的比值化成一样即可解答．【解答】解：∵b：c＝，∴b：c＝5：3，∴b：c＝20：12，∵a：b＝3：4，∴a：b＝15：20，∴a：b：c＝15：20：12，∴a：b：c的最简整数比为：15：20：12．【点评】本题考查了比例的性质，先求出b：c的整数比，然后再把b的比值化成一样是解题的关键．13．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．【分析】（1）根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB＝∠EBC，＝，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得＝，即可解答；（2）根据已知易证△BFE∽△BED，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF＝∠BDE，进而可得∠DAF＝∠BDE，然后利用（1）的结论可证△ADF≌△DBE，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，∴＝，∵∠ADB＝∠BEC，∴△DAB∽△EBC，∴∠DAB＝∠EBC，＝，∴AD∥EB，∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，∴△ADF∽△EBF，∴＝，∴；（2）∵BE2＝BF•BD，∴＝，∵∠DBE＝∠EBF，∴△BFE∽△BED，∴∠BEF＝∠BDE，∵∠DAF＝∠AEB，∴∠DAF＝∠BDE，∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，∴△ADF≌△DBE（ASA），∴DF＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．（1）求证：AB2＝AC•AE；（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值．【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；（2）过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用（1）的结论可得＝＝＝，先AC＝2a，AB＝3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD＝m，BD＝3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH＝m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得＝，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEB，∴＝，∴AB2＝AC•AE；（2）解：过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，∵△ABC∽△AEB，∴＝＝＝，∴设AC＝2a，AB＝3a，∴＝，∴AE＝a，∴＝＝，∵BD＝3CD，∴设CD＝m，则BD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，∴＝，∴EB＝6m，∵EH∥CD，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE，∴△ACD∽△AEH，∴＝＝，∴EH＝m，∵EH∥BD，∴∠BDF＝∠DHE，∠DBF＝∠FEH，∴△BDF∽△EHF，∴＝＝＝，∴EF＝BE＝m，∴＝＝，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15．（2022•青浦区模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．【分析】（1）根据已知可得＝，从而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性质可得∠CDG＝∠CFD，从而可得∠CDG＝∠AED，进而可得AB∥CD，最后证明四边形ABCD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；（2）根据等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠M，从而可得∠AED＝∠M，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠CDM，从而可证△AED∽△DMC，进而利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵CD2＝CG•CF，∴＝，∵∠DCG＝∠DCF，∴△CDG∽△CFD，∴∠CDG＝∠CFD，∵∠AED＝∠CFD，∴∠CDG＝∠AED，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD；（2）如图：∵CF＝CM，∴∠CFD＝∠M，∵∠AED＝∠CFD，∴∠AED＝∠M，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∴△AED∽△DMC，∴＝，∴AE•DC＝AD•DM，∵AB＝DC，∴EA•AB＝AD•MD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．【压轴】一、填空题1．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．【答案】

13

【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．【详解】解：（1）由题意，∵，∴，∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．∴，∴△ABP∽△EDP，∴，即，∴；故答案为：13．（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，∵BD=12，DD′=5，由勾股定理D′B=，∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,∴，，∴,，∴，∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．