沪教版九年级上册数学专题训练专题04特殊角的三角函数值重难点专练(原卷版+解析)

专题04特殊角的三角函数值重难点专练（原卷版）第I卷（选择题）一、单选题1．下列计算结果正确的是（）A．（﹣a3）2＝a9 B．a2•a3＝a6C．﹣22＝﹣2 D．＝1第II卷（非选择题）二、填空题2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为_____．3．如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为____．4．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．5．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．6．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是边BC的中点，点E是边AB上一点，将△BDE沿直线DE翻折，点B落在B'处，联结AB'，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为_____．7．已知在等腰梯形中，∥，，，那么______．8．如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处，且．联结和，那么的面积等于______．9．求值：______．10．Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：，AB=6，则∠B=_____．三、解答题11．已知：如图：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，等腰Rt△DEF中，∠FDE=，DE=3cm。动点D、E始终在边AB上，当点D从A点沿AC方向移动。（1）在Rt△DEF沿AC方向移动的过程中，F，C两点之间的距离逐渐_______。（填“不变“变大”或“变小”）（2）当F、C连线与AB平行时，求AD的长。（3）以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形时，求AD的长12．计算：．13．如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1（1）求⊙O的半径长；（2）求的值．14．如图，已知在中，，，．求：的值．15．计算：．16．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．17．计算：．18．计算：．19．计算：．20．计算：．21．计算：．22．计算：．23．计算：24．计算：．25．计算：．26．27．计算：．28．29．计算：π0+2cos30°﹣|1﹣|﹣（）-2．30．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，BC=2，求．专题04锐角三角函数之正切重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海九年级专题练习）下列计算结果正确的是（）A．（﹣a3）2＝a9 B．a2•a3＝a6C．﹣22＝﹣2 D．＝1答案:C分析：利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂及负整数指数幂的法则判定即可．【详解】A、（﹣a3）2＝a6，故本选项不正确，B、a2•a3＝a5，故本选项不正确，C、﹣22＝﹣2，故本选项正确，D、cos60°﹣＝0，故本选项不正确，故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂，幂的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，熟记每部分的运算法则是本题的关键，要注意0的0次幂不存在．第II卷（非选择题）二、填空题2．(2023·上海奉贤区·九年级二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为_____．答案:分析：过A作AF⊥BC于F，过B/作B/G⊥BC于G，设AD＝m，根据翻折及∠ADC＝60°，用m的代数式表示CE、BE即可得出答案．【详解】解：过A作AF⊥BC于F，过B/作B/G⊥BC于G，如图：∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′D＝m，Rt△ADF中，DF＝AD•cos60°＝m，AF＝AD•sin60°＝m，∴BF＝BD＋DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝mRt△B′DG中，DG＝B′D•cos60°＝m，B′G＝B′D•sin60°＝m，∴FG＝DG﹣DF＝m，∵AF⊥BC，B′G⊥BC，∴AF∥B′G，∴，∵FE＋GE＝FG＝m，∴FE＝m，∴BE＝BF＋EF＝m，CE＝CF﹣EF＝m，∴，故答案为：．【点评】本题考查翻折、特殊角的三角函数及相似三角形性质等综合知识，解题的关键是做垂线把60°角放入直角三角形．3．(2023·上海九年级专题练习）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为____．答案:分析：连接BE，由菱形和折叠的性质，得到AF=EF，∠C=∠A=60°，由cos∠C=，，得到△BCE是直角三角形，则，则△BEF也是直角三角形，设菱形的边长为，则EF=，，由勾股定理，求出FB=，则，即可得到cos∠EFB的值.【详解】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，AB∥DC，由折叠的性质，得AF=EF，则EF=ABFB，∵cos∠C=，∵点E是CD的中线，∴，∴，∴△BCE是直角三角形，即BE⊥CD，∴BE⊥AB，即△BEF是直角三角形.设BC=m，则BE=，在Rt△BEF中，EF=，由勾股定理，得：,∴，解得：，则，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，菱形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，从而利用解直角三角形进行解题.4．(2023·上海九年级专题练习）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．答案:80°或120°分析：本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为80°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．5．(2023·上海青浦区·九年级二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．答案:分析：根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE＝，∴OE＝＝1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，∴OM＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函数值，垂径定理是解题的关键，特殊角的函数值是解题的基础．6．(2023·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D是边BC的中点，点E是边AB上一点，将△BDE沿直线DE翻折，点B落在B'处，联结AB'，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为_____．答案:或2分析：分两种情况讨论，由折叠的性质和锐角三角函数可求解．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝AC＝2，∵点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴B'D＝BD＝，∴点B'在以点D为圆心，BD为半径的圆上，如图，当点B'与点C不重合时，过点E作EH⊥BC于H，连接AD，在Rt△ACD和Rt△AB'D中，,∴Rt△ACD≌Rt△AB'D（HL），∴∠DAC＝∠DAB'，∵∠BDB'+∠B'DC＝180°＝∠B'AC+∠B'DC，∴∠B'AC＝∠BDB'，∵折叠，∴∠BDE＝∠EDB'，∴∠BDE＝∠DAC，∴tan∠DAC＝tan∠BDE＝，∴设EH＝x，DH＝2x，∵∠B＝30°，∴BH＝EH＝3x，BE＝2x∵BH+DH＝BD＝，∴x＝，∴EH＝，BE＝，∴AE＝，当点B'与点C重合时，∠AB'D＝90°，∴DE是BC的垂直平分线，∴DE∥AC，∴=1，∴AE＝BE＝AB＝2，综上所述：AE＝或2．故答案为：或2．【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．7．(2023·上海九年级专题练习）已知在等腰梯形中，∥，，，那么______．答案:分析：利用三角形内角和可得∠B，继而即可求解．【详解】如图，根据题意构造图形，∵AB＝AD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∠DAC＝∠ACD，∵AD∥BC∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB∴∠B＝2∠ACB∵AC⊥AB∴∠BAC＝90°，∠B＝60°，∠ACB＝30°，∴cotB＝故答案为：【点睛】本题考查等腰梯形的性质、等角代换、三角形内角和及解直角三角形的有关知识，解题的关键是利用所学求出∠B＝60°．8．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处，且．联结和，那么的面积等于______．答案:分析：先根据题意画出图形，然后根据等腰三角形三线合一得出绕点顺时针旋转的角度，然后证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得出和，再根据锐角三角函数求出的长度，最后利用求面积即可．【详解】解：如图，∵，，∴，∴，∴绕点顺时针旋转60°得到，∴．，是等边三角形，，．，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，能够画出图形并求出旋转角是解题的关键．9．(2023·上海交大附中九年级）求值：______．答案:分析：根据特殊三角函数值直接代入求解即可．【详解】．故答案为．【点睛】本题主要考查锐角三角函数，熟记特殊三角函数值是解题的关键．10．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：，AB=6，则∠B=_____．答案:30°分析：在直角三角形中，求出∠B的正切值，根据特殊角的三角函数值即可求得∠B.【详解】如图：∵∠C＝90°，AC:BC=1:，∴，∴∠B＝30°．故答案为：30°【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是在三角形中选择合适的边角关系解直角三角形．三、解答题11．(2023·上海凉城第二中学八年级月考）已知：如图：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，等腰Rt△DEF中，∠FDE=，DE=3cm。动点D、E始终在边AB上，当点D从A点沿AC方向移动。（1）在Rt△DEF沿AC方向移动的过程中，F，C两点之间的距离逐渐_______。（填“不变“变大”或“变小”）（2）当F、C连线与AB平行时，求AD的长。（3）以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形时，求AD的长答案:（1）变小；（2）;（3）AD=6.7cm或4.2cm.分析：（1）根据题意可知：DF=3cm，DC逐渐变小，再根据勾股定理即可判断；（2）根据30°所对的直角边是斜边的一半和平行线的性质，可得：AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°，再根据锐角三角函数求出CD，从而求出AD；（3）设AD=x，根据题意可知：0＜x≤10－3=7，则CD=AC－AD=10－x，再根据勾股定理可得：FC=，然后根据直角三角形斜边的情况分类讨论，最后利用勾股定理分别求出每种情况中x的值即可.【详解】解：（1）根据题意可知：DF=DE=3cm，DC逐渐变小，根据勾股定理可得：FC=∴F，C两点之间的距离逐渐变小，故答案为：变小；（2）如下图所示，FC∥AB∵∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，∴AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°在Rt△CFD中，CD=cm∴AD=AC－CD=；（3）设AD=x，根据题意可知：0＜x≤10－3=7，则CD=AC－AD=10－x根据勾股定理可得：FC=①若AD为斜边时，∴AD2=FC2+BC2∴解得：；②若FC为斜边时，∴FC2=AD2+BC2∴解得：；③若BC为斜边时，∴BC2=AD2+FC2∴整理得：∵∴此方程无解.综上所述：AD=6.7cm或4.2cm.【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质和勾股定理，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、平行线的性质和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.12．(2023·上海）计算：．答案:【详解】解：====【点睛】运算题都是比较基础的试题，考查学生的基本运算能力，需要细心对待便可解决.同事对于三角函数的运算还要求学生牢记特殊角的三角函数值，这是解答此类试题的基础.13．(2023·上海杨浦区·九年级三模）如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1（1）求⊙O的半径长；（2）求的值．答案:（1）5；（2）分析：（1）连接OA，设半径为r，利用垂径定理结合勾股定理即可求出r；（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即可计算的值．【详解】解：（1）连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，又∵OD⊥AB，垂足为点D，∴AD＝，在Rt△AOD中，，即，解得：r＝5，∴⊙O的半径长为5；（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，则∠CFQ＝90°，由（1）可知CQ＝10，∵tanC＝1，∴∠C＝45°，在Rt△CAF中：，而CQ＝CF，CQ＝10，∴CF＝5，在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，CE＝，∴EF＝CE﹣CF＝8－5＝3，∴．【点睛】本题考查了圆的垂径定理,勾股定理,特殊角的三角函数值,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理,特殊角的三角函数值是解题的关键．14．(2023·上海金山区·九年级一模）如图，已知在中，，，．求：的值．答案:分析：根据勾股定理求出AB，再根据三角函数的意义求出三角函数值，结合特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：在中，，，，由勾股定理得，；∴；；；，∴原式，，．【点睛】本题考查了三角函数的意义以及特殊角的三角函数值，会利用直角三角形求锐角的三角函数值是解题关键．15．(2023·上海徐汇区·）计算：．答案:．分析：先计算特殊角的三角函数值，再化简绝对值、计算实数的混合运算即可得．【详解】原式，，，．【点睛】本题考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．16．(2023·上海九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．答案:（1）；（2）①；②分析：（1）根据点，的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点、、的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出、、的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot∠DCB的值；②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，根据平行线的性质推导出，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D的坐标．【详解】（1）将、代入y＝ax2+bx+2，得，，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）①当时，，当时，，∴，，，∴，,,，为直角三角形，其中，∴;②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，设点D坐标为,则，，∵，∴，,,，，,∴，解得：，（舍），∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．17．(2023·上海九年级专题练习）计算：．答案:分析：根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后再计算加减法．【详解】，．【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键．18．(2023·上海九年级专题练习）计算：．答案:分析：把各三角函数的值代入式中计算即可．【详解】解：原式=====．【点睛】本题考查特殊角三角函数值的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．19．(2023·上海静安区·九年级一模）计算：．答案:．分析：将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算．【详解】解：原式===．【点睛】此题考查不同三角函数值的混合运算，二次根式混合运算，熟记各三角函数值是解题的关键．20．(2023·上海宝山区·九年级一模）计算：．答案:分析：根据特殊角的三角函数值进行计算求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．21．(2023·上海崇明区·九年级一模）计算：．答案:分析：先用特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．22．(2023·上海虹口区·九年级一模）计算：．答案:分析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：原式=．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．23．(2023·上海嘉定区·）计算：答案:分析：把相应的特殊角的三角函数值代入即可．【详解】原式【点睛】本题主要考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．24．(2023·上海普陀区·九年级月考）计算：．答案:分析：根据=，，求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．25．(2023·上海）计算：．答案:分析：根据零指数幂、负整数指数幂，特殊角的余切三角函数值和二次根式的化简，然后混合运算即可．【详解】原式．【点睛】本题考查含零指数幂、负整数指数幂，特殊角的余切三角函数和二次根式的混合运算．把二次根式化为最简二次根式再合并同类二次