沪教版九年级上册数学专题训练九年级数学期中模拟卷(二)(原卷版+解析)

2021-2022学年第一学期沪教版九年级期中模拟卷二（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共18分)1．已知线段、、、，如果，那么下列式子中一定正确的是（）A． B． C． D．2．已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A．如果，那么B．如果，那么；C．如果，那么；D．如果，那么．3．下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似；B．两个全等三角形一定相似；C．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似．4．如图，能推出DE∥BC的比例式是（）A． B．C． D．5．如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（）A． B． C． D．6．在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题(共36分)7．△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．8．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为__________m．9．如图，已知a∥b∥c，AC：CO：OF＝2：1：4，BE＝35，那么BD＝_____．10．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3是_____．11．计算：（_____________________）12．将抛物线y=x2﹣2向上平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为_________．13．已知实数满足则__________．14．已知，二次函数的部分对应值如下表，则________．15．已知在Rt△ABC中，，tanA=，BC=6，则AB的长为__________．16．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MN将△ABC折叠，点B落在点P处，如果AP∥BC且AP=4，那么BN=________．18．如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE=________．三、解答题(共66分)19．(本题6分)计算：cos245°＋cot230°.20．(本题8分)如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．21．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点D是AB边上一点，过点D作DE//BC，交边AC于E．过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．（1）如果，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．22．(本题12分)如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.（1）求AG的长；（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.23．(本题10分)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．（1）求证：ME2＝MC•MB；（2）如果BA2＝BD•BE，求证：24．(本题10分)已知：如图，在□ABCD中，E、F分别是边DC、BC上的点，且3BF2BC，DE2CE．（1）求证：EF//BD；（2）设AB，AD，用向量、表示向量；25．(本题10分)如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：)（1）求的长（2）若米，求两点的距离（精确0.01)2021-2022学年第一学期沪教版九年级期中模拟卷二（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共18分)1．已知线段、、、，如果，那么下列式子中一定正确的是（）A． B． C． D．答案:C【详解】试题解析：∵ab=cd，

∴，．

故选C．2．已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A．如果，那么B．如果，那么；C．如果，那么；D．如果，那么．答案:D分析：根据向量的定义可直接进行排除选项．【详解】A、如果，与的大小相等，但方向不一定相同，故错误；B、如果，与的大小相等，但不一定平行，故错误；C、如果，与的大小不一定相等，故错误；D、如果，那么，故正确；故选D．【点睛】本题主要考查向量，正确理解向量的定义是解题的关键．3．下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似；B．两个全等三角形一定相似；C．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似．答案:D分析：根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假即可．【详解】解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题；

有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题；

全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题；

有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似．

故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟练掌握各定理是解题的关键.．4．如图，能推出DE∥BC的比例式是（）A． B．C． D．答案:C分析：由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，继而可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：A.由，不能推出DE∥BC，故A错误；B.由，不能推出DE∥BC，故B错误；C.因为，∠BAC=∠DAE，所以△ABC∽△ADE.所以∠B=∠D，所以DE∥BC，故C正确；D.由不能推出DE∥BC，故D错误.

故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系．5．如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（）A． B． C． D．答案:C分析：AB被截成三等分，可得AB=3AE，AF=2AE，由EH∥FG∥BC，可得△AEH∽△AFG∽△ABC，则S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2，S阴影=S△AFG-S△AEH=S△ABC．【详解】∵AB被截成三等分，∴AB=3AE，AF=2AE，∵EH∥FG∥BC，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1:4:9，∴S△AEH=S△ABC,S△AFG=4S△AEH，S阴影=S△AFG-S△AEH=3S△AEH=3×S△ABC=S△ABC．故选择：C．【点睛】本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与△AEH的关系，由△AEH与△ABC的关系来转化解决问题．6．在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A． B． C． D．答案:D分析：根据的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．【详解】A：由函数的图像可知，即函数开口应向上，与图像不符，故A错误；B、由函数的图像可知，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像不符，故B错误；C：由函数的图像可知，即函数开口应向下，与图像不符，故C错误；D：由函数的图像可知，即函数开口向上，函数的对称轴，则对称轴应在轴的左侧与图像相符，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二、填空题(共36分)7．△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．答案:直角三角形分析：根据特殊的三角函数值，求得∠A，∠B的度数，再进行判断．【详解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，故△ABC是直角三角形，故填：直角三角形．【点睛】本题考查特殊的三角函数值，熟练记忆是关键．8．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为__________m．答案:100解析：试题分析：设AB两地间的实际距离为x，，解得x=10000cm=100m．故答案为100m．考点：比例线段．9．如图，已知a∥b∥c，AC：CO：OF＝2：1：4，BE＝35，那么BD＝_____．答案:10分析：根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，∴BD：BE＝AC：AF，∵AC：CO：OF＝2：1：4，∴AC：AF＝2：7，∴BD：BE＝2：7，∴BD＝BE＝×35＝10，故答案为10．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键.10．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，若AD＝DF＝FB，△ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3是_____．答案:1：3：5分析：根据△ADE∽△AFG，得到＝（）2＝，再根据△ADE∽△ABC，得到＝（）2＝，计算得到答案．【详解】解：∵DE∥FG，∴△ADE∽△AFG，∴＝（）2＝，∴S1：S2＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S1：S四边形DBCE＝1：8，∴S1：S2：S3＝1：3：5，故答案为：1：3：5．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键.11．计算：（_____________________）答案:分析：实数的运算法则同样适用于平面向量的计算，由有理数混合运算法则解答即可．【详解】=故答案为：【点睛】考查了平面向量，属于基础计算题．乘法分配律也同样适用于平面向量的计算．12．将抛物线y=x2﹣2向上平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为_________．答案:分析：根据函数的平移规律“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：根据函数的平移规律“上加下减”的原则可知，

将抛物线y=x2-2向上平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为y=x2-2+3，即y=x2+1，

故答案为：y=x2+1．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移规律“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．13．已知实数满足则__________．答案:2分析：由于给了，设x=3m，则y=2m，将x，y代入计算即可．【详解】∵，设x=3m，则y=2m，=2．故答案为：2．【点睛】本题考查比值问题，关键是把x，y转化为统一字母来表示．14．已知，二次函数的部分对应值如下表，则________．答案:12分析：根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝−3时的函数值与x＝5时的函数值相同．【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=1且f（−3）＝f（5）＝12．故答案为12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．15．已知在Rt△ABC中，，tanA=，BC=6，则AB的长为__________．答案:分析：先根据tanA的定义和它的值求出AC，然后根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵，tanA==，BC=6，∴AC=8，根据勾股定理得AB===10，故答案为：10．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，求出AC的值是解题关键．16．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝_____（结果保留根号）答案:分析：先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．【详解】解：∵AB＝5，∠B＝60°，∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝，∵BC＝8，∴S△ABC＝×8×＝10；故答案为：10．【点睛】此题考查了解直角三角形，关键是利用解直角三角形求出BC边上的高，用到的知识点是解直角三角形、三角形的面积公式，难度不大．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MN将△ABC折叠，点B落在点P处，如果AP∥BC且AP=4，那么BN=________．答案:分析：证明∠MBO=∠BNO；求出BP、BO的长度；证明△ABP∽△OBN，列出比例式即可解决问题．【详解】解：如图，连接BP，交MN于点O；

则BO=PO，BO⊥MN；

∵∠ABC=90°，

∴∠MBO+∠NBO=∠NBO+∠BNO，

∴∠MBO=∠BNO；

∵AP∥BC，且∠ABC=90°，

∴∠BAP=90°；

由勾股定理得：BP2=AB2+AP2，

∵AB=6，AP=4，

∴BP==2，BO=，

∵∠ABP=∠BNO，

∴△ABP∽△OBN，

∴，即，

解得：BN=．

故答案为：．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,掌握灵活运用勾股定理、相似三角形的判定及其性质等知识进行解答是解题的关键．18．如图D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，△ABC的内角平分线AQ交DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE=________．答案:6分析：由，且∠RAS=∠CAB，可证得△ARS∽△ACB，所以∠ARS=∠ACB，再由∠BAP=CAQ可证得△ARP∽△ACQ，，再由DE∥BC，可知，把BC的值代入可求得DE．【详解】解：∵，且∠RAS=∠CAB，

∴△ARS∽△ACB，

∴∠ARS=∠ACB，

又∵AQ为角平分线，

∴∠BAP=CAQ，

∴△ARP∽△ACQ，

∴，∵DE∥BC，∴，

∵BC=9，

∴，

∴DE=6．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值．三、解答题(共66分)19．(本题6分)计算：cos245°＋cot230°.答案:.分析：把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【详解】原式＝2＋()2＝＋3＝.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．20．(本题8分)如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．答案:见解析．分析：根据AC＝AB证明，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，AD∥BC，∵AC＝AB，∴AO＝AB，∴，∵，∴，∵∠CAB＝∠CAB，∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠ABD＝∠DAC．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，得对应角相等．21．(本题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点D是AB边上一点，过点D作DE//BC，交边AC于E．过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．（1）如果，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．答案:（1）4；（2）.分析：（1）根据相似三角形的性质得到，求得DE=2，推出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF=BC=6，于是得到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到∠B=∠F，根据勾股定理得，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）∵DE//BC，∴．又∵BC=6，∴DE=2．∵DF//BC，CF//AB，∴四边形BCFD是平行四边形．∴DF=BC=6．∴EF=DF–DE=4．（2）∵四边形BCFD是平行四边形，∴∠B=∠F．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，利用勾股定理，得．∴．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．(本题12分)如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.（1）求AG的长；（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.答案:(1)AG=8；（2）；(3).分析：（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB=，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．【详解】（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,∴，AD⊥BC.在Rt△ADB中，∵,∴.∵,∴AB=15，BC=18.∴AD="12."∵G是△ABC的重心，∴.（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,∴∠MGD=∠B.∴,在Rt△MDG中,∵，∴，∴在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.∵,又∵,∴,又∵,∴△QCM∽△QGA.∴.（3）过点作,过点作,分别交直线于点E、F，则.∵,∴,即,∴同理可得:,即,∴.∵,,∴.∴,即.∴,.23．(本题10分)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，过A作AE⊥AD交BC的延长线于点E，M为DE的中点．（1）求证：ME2＝MC•MB；（2）如果BA2＝BD•BE，求证：答案:（1）见解析；（2）见解析.分析：（1）证明△AMC∽△BMA即可解决问题．（2）由△AMC∽△BMA，推出＝，推出＝，推出＝，再证明△BAC∽△BMA，推出＝，推出AB2＝BC•BM，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵DM＝ME，∴AM＝MD＝ME，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠MAC+∠DAC＝∠B+∠BAD，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠MAC＝∠B，∵∠AMC＝∠AMB，∴△AMC∽△BMA，∴＝，∴AM2＝MC•MB，∵ME＝MA，∴ME2＝MC•MB．（2）证明：∵△MAC∽△BMA，∴＝，∴＝，∴＝，∵AB2＝BD•BE，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BEA，∴∠BAD＝∠E，∵∠AMB＝∠E+∠MAE＝2∠E，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BMA，∴＝，∴AB2＝BC•BM，∴＝＝．【点睛】此题