计数原理基本知识点

计数原理基本知识点

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有g种不同的方

法，在第二类办法中有机2种不同的方法，……，在第n类办法中有〃种不同的方法.那么

完成这件事共有N=m}+m2++班，种不同的方法.

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有叫种不同的方

法，做第二步有〃4种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事

有N=叫xx.xmn种不同的方法.

3.排列的概念：从N个不同元素中，任取加(m<n)个元素(这里的被取元素各不

相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从“个不同元素中取出〃?个元素的一个排列.

4.排列数的定义：从〃个不同元素中，任取加(m<«)个元素的所有排列的个数叫

做从〃个元素中取出m元素的排列数，用符号4'表示.

5.排列数公式：A"'=n(n-l)(n-2)(/?-m+1)(/«,/?eN*,m<H)

6.阶乘：〃!表示正整数1到”的连乘积，叫做〃的阶乘.规定0!=1.

"I

7.排列数的另一个计算公式：4"二一-—

8.组合的概念：一般地，从〃个不同元素中取出加(加<〃)个元素并成一组，叫做从〃

个不同元素中取出用个元素的一个组合.

9.组合数的概念：从“个不同元素中取出加个元素的所有组合的个数，叫做从

n个不同元素中取出加个元素的级令蓼.用符号表示.

10.组合数公式：C”-工〃U)("〃?+1)

"线加

或C'：=----:----(n,mGN*,且加«

机!(〃一根)！

11.组合数的性质1：C；=.规定：=1；

12.组合数的性质2：=+.

1.二项式定理及其特例：

（1）（a+by=C^a-+C\anb++C：af++C»"（nwN*）,

（2）（l+x）n=1+C>++CH++%”.

rnrr

2.二项展开式的通项公式：Tr+l=Cna-b..

3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对厂的限制；求有理项时要

注意到指数及项数的整数性.

4.二项式系数表（杨辉三角）

（。+力”展开式的二项式系数，当〃依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1,

除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

5.二项式系数的性质：

（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（•••C：=C7"）.直线r

是图象的对称轴.

n

（2）增减性与最大值：当〃是偶数时，中间一项取得最大值；当〃是奇数时，中间两项

«-1n+\

cj,c,5取得最大值•

（3）各二项式系数和：

（1+x）"=1+C：x++C'„-x'++x",

令x=l,则2"=C：；+C：+C：++C；++C'..

［特别提醒］

1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式=。：优-'少，注意（。+与”与（匕+。）"虽然

相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外

二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指C；，而后

者是指字母外的部分。

2.在使用通项公式（句=C：优一2'时，要注意：

（1）通项公式是表示第r+1项，而不是第r项.

（2）展开式中第/-+1项的二项式系数C；与第r+1项的系数不同.

（3）通项公式中含有“，b,n,r,7川五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出

第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几

个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必

须注意〃是正整数,r是非负整数且rW〃