考点02 与三角形有关的角及多边形内角和-2020-2021学年八年级数学上学期高频考点突破（人教版）（解析版）

考点2、与三角形有关的角及多边形内角和

知识框架

'三角形内角和定理

三角形外角

基础知识点，多边形有关的概念

多边形内角和

多边形外交和

<［垂直的性质应用

利用三角形的高和角平分线性质求角

击诳上的刖直角三角板中的求角度问题

八'"利用三角形的内角和及外角的性质解折叠问题

三角形的内角和及外角的性质（双角平分线）

多边形边角的有关计算

基础知识点

知识点2-1三角形内角和定理

（1）定理：三角形三个内角和等于180度

（2）直角三角形的两个锐角互余

1.（2020•四川江油）如图，在AABC中，点。是AA3C内一点，且点。到小钻。三边的距离相等.若

NA=40。，则N30C的度数为（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理得到NABC+NACB=140。，根据角平分线的性质得到BO平分/ABC,CO

平分NACB,根据三角形内角和定理计算即可.

【解析】VZA=40°,AZABC+ZACB=180o-40°=140°,

•点O到AABC三边的距离相等，.,.BO平分/ABC,CO平分/ACB,

.,.ZOBC+ZOCB=-x（ZABC+ZACB）=70°,AZBOC=180°-70°=110°,故选：A.

2

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相

等是解题的关键.

2.（2019・湖北蔡甸初二期中）如图，若AABC的三条角平分线A。、BE、CF交于点G，则与ZEGC互

余的角是（）

A.ZCGDB.ZFAGC.ZECGD.NFBG

【答案】B

【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可.

【解析】解：•••三角形的两个角平分线不一定互相垂直，...NEGD不一定等于90°

二ZEGC与NCGO不一定互余，故A选项不符合题意；

VZBAC+ZABC+ZACB=180°,AA3C的三条角平分线AO、BE、C尸交于点G

III

，NFAG=-NBAC,ZGBC=-ZABC,ZGCB=-ZACB

222

AZFAG+ZGBC+ZGCB=-（ZBAC+ZABC+ZACB）=90°

2

ZEGC=/GBC+/GCBZEGC+ZFAG=90°,故B选项符合题意；

•.•三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边.\NGEC和NGFB不一定是直角

.••NEGC+NECG不一定等于90°,故C选项不符合题意；/FGB+NFBG不一定等于90°

•••/FGB=NEGC，ZEGC+/FBG不一定等于90°,故D选项不符合题意.故选B.

【点睛】此题考查的是互余的判定，掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题的关键.

3.（2019•河北石家庄初一期末）如图，在△ZBC中，4。平分N54C.AELBC,N8=44。，/D4E=18。,

【答案】10°

【分析】根据题意可以求得NBAE和N1的度数，根据角平分线的定义和的和差角即可解决.

【解析】解：VAE1BC,...NAEB=90。，AZB+ZBAE=90°,

•.•/B=44°,AZBAE=46°,N1=/BAE—/DAE=46°—18°=28°,

；AD平分/BAC,AZCAD=Z1=28°,二N2=NCAD—NDAE=28°-18°=10°故填10°.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，求出N1的度数及N2与

Z1的关系是解此题的关键.

4.（2020•江夏区月考）如图，AE,OE分别平分N8/C和N8DC,NB=NBDC=45°,ZC=51°,求/

E的度数.

【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论.

【解答】解：；NB=NBDC=45°,：.AB//CD,ZC=5\0,AZBAC=ZC=5\a,

i11。i46°

'：AE,OE分别平分/84C和N8OC,：.ZBAE=^Z.BAC=―,NEDB=乙BDC=亏,

51。4S°

■:NAFB=NDFE,/.NE=NB+NBAE-NBDE=45°+勺一号=48°.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

5.（2020•保定市乐凯中学初一期末）如图，已知^ABC中，ZBAC=135°,现将AABC进行折叠，使顶点B、

C均与顶点A重合，则NDAE的度数为.

【答案】900.

【分析】先根据三角形内角和定理计算/B+NC的度数，再由折叠的性质解题即可.

【解析】如图，VZBAC=135°,.,.ZB+ZC=180°-135°=45°；

由折叠的性质得：NB=NDAB（设为a）,NC=NEAC（设为。），

贝i]a+B=45。，ZADE=2a,ZAED=2p,AZDAE=180°-2（a+p）=180°-90°=90°.故答案为：90°.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质等知识，是常见考点，熟练掌握相关知识是解题关键.

6.（2019•重庆巴川中学校初二期中）如图，AA3C中，AO是高，AE、8F是角平分线，它们相交于点。，

N84c=60°,NC=70°,

求NC4D,ZBO4的度数.

【答案】20°,125°

【分析】根据垂直的定义得到/ADC=9（T根据三角形的内角和即可得到结论；根据:角形的内角和和角平

分线的定义即可得到结论.

oo

【解析】VAD±BC,AZADC=90°,VZC=70°,/.ZCAD=180°-90-70=20°;

VZBAC=60°,ZC=70°,AE是/BAC的角平分线，.".ZBAO=30°,ZABC=1800-ZBAC-ZC=50°,

BF是ZABC的角平分线，ZABO=25°,Z.ZBOA=180°-ZBAO-ZABO=180°-30°-25°=125°.

故NCAD,/BOA的度数分别是20。，125。.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出NABO、ZBAO.

7.（2020•湖北枣阳初二期末）如图是一副三角尺拼成图案，则/AEB=度.

【答案】75°

【分析】根据三角板的特殊角和三角形的内角和是180度求解即可.

【解析】由图知，ZA=60°,ZABE=ZABC-ZDBC=90°-45°=45°,

ZAEB=180°-（ZA+ZABE）=180o-（60°+45o）=75°.故答案为：75

8.（2020•辽宁文圣初一期末）已知：如图，在△Z8C中，NACB=9Q°,CDLAB,垂足为点。，图形中相

等的角有对，互余的角有对.

D

【答案】53.

【分析】根据垂直的定义得到NCDA=NBDC=/ZC3=90。，推出/A+/B=NA+NACD=NB+/BCD=90。,

即可得到答案.

【解析】VCD1AB,；.NCDA=/BDC=N/C8=90°,AZA+ZB=ZA+ZACD=ZB+ZBCD=90°,

二图形中相等的角有NB=NACD,NACB=NBDC,NACB=NCDA,4BDC=NCDA,一共5

对，互余的角有NN和N2,N/和NX。，N8和N8CZ）,一共3对.故答案为：5；3.

【点睛】此题考查了垂直的定义，宜角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，正确理解直角三角形两个

锐角互余的性质是解题的关键.

9.（2020•山西孝义初一期末）阅读下列材料，并完成相应任务.

三角形的内角和

小学*时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明

方法如下：

如图1,已知：三角形A8C.求证NABC+NAC6+N5AC=18O°.

证法一：如图2,过点A作直线DE〃8c

DE//BCZABC=NDAB/ACB=NCAE

ZDAB+ABAC+ZCAE=180°/.ZABC+ZACB+ABAC=180°

即三角形内角和是180°

证法二：如图3,延长BC至M，过点C作。V〃AB

任务：（1）证法一的思路是用平行线的性质得到ZABC=NDAB,ZACB=ZCAE,将三角形内角和问题转

化为一个平角，进而得到三角形内角和是180。，这种方法主要体现的数学思想是（将正确选项代码

填入空格处）

A.数形结合思想B.分类思想C.转化思想

（2）将证法二补充完整.

【答案】（1）C；（2）见解析.

【分析】（1）由题意三角形内角和问题转化为一个平角，可知运用了转化思想；（2）根据题意可知CN〃AB,

进而利用平行线的性质以及转化思想进行等量代换得出NABC+/ACB+NBAC=180。即可.

【解析】（1）由题意三角形内角和问题转化为一个平角，可知运用了转化思想，故答案为：C；

（2）证明：VCN//AB/.ZA=CAN,ZB=ZNCM,

VZACB+ZCAN+ZNCM=180°,/.ZABC+ZACB+ZBAC=180°.

【点睛】本题考查三角形的内角和以及平行线的性质，熟练掌握行线的性质以及运用转化思想进行分析是

解题的关键.

知识点2-2三角形的外角

（1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）

（2）外交性质：

性质一：三角形的外角等于它不相邻两内角和

性质二：三角形外角和相邻内角和为180度

性质三：三角形外角和为360度

1.（2020•内蒙古科尔沁右翼前旗?初一期末）从A沿北偏东60°的方向行驶到3,再从8沿南偏西20。方

向行驶到C,则NA3C=.

【答案】40

【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出行驶的过程，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和与

外角的关系求解.

【解析】如图，A沿北偏东60。的方向行驶到B,则NBAC=90°-60°=30。,

B沿南偏西20。的方向行驶到C,则/88=90。-20。=70。，

又VZABC=ZBCO-ZBAC,二ZABC=70°-30°=40°.故答案为40°

【点睛】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系求解.

2.（2020•广西蒙山县二中初二月考）如图，点D是AABC内的一点，延长BD交AC于点E,则（）

Z1>ZA>Z2；C.Z2>Z1>ZA；D.Z2>ZA>Z1；

【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角求解即可.

【解析】解：在4CDE中，Z2>Z1,在4ABE中，Z1>ZA,

.•.N2>N1>NA.故选C.

【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键.

3.（2019・重庆荣昌初二月考）如图，CE是AABC的外角NACD的平分线，若/B=35°,ZACE=60°,

则NA=

【答案】85°

【分析】根据角平分线的性质，可知NACD,进而根据三角形外角定理，即可求得NA.

【解析】：CE是角NACD的平分线，ZACE=60°.\ZACD=120°

又「/ACD是AABC的外角/.ZA=ZACD-ZB=85°故答案为85°.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键.

4.（2020•山东邺城初一期末）如图，直线a〃b,则NZ=度.

【答案】25

【分析】本题主要利用平行线的性质以及三角形内角与外角之间的关系解题.

【解析】解：’.•直线2〃忙.•.N1=NECD=55。，是4ABD的外角，.•.N1=NABD+NA,

即55°=30°+NA,ZA=55°-30°=25°.故/A=25°.故答案为：25

【点睛】本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5.（2020•甘肃玉门?初一期末）如图，点。是△/BC边8c延长线上的一点，NZ=70。，N/CD=105。，则

/B=.

【分析】由NA=70。，NACD=105°,根据二角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到

ZACD=ZB+ZA,则NB=NAC£>-/4,然后代值计算即可.

【解析】解：•••ZACD=NB+ZA,而NA=70°,ZACZ）=105°,

.-.ZB=105°-70°=35°.故答案为35°.

【点睛】本题考查「三角形的外角定理：三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和.

6.（2020•全国初二课时练习）如图，DABC中，ZA=75°,4=65°,将纸片的一角折叠，使点C落

在口ABC内，若Nl=20°,则N2的度数是.

【答案】60°

【分析】根据题意，已知NA=65。，ZB=75°,可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解.

【解析】解：VZA=75°，ZB=65",INC=18O°-(65°+75°)=40°,

.,.ZCDE+ZCED=180o-ZC=140°,.\Z2=360°-(ZA+ZB+Z1+ZCED+ZCDE)=360°-300°=60°.

故答案为:60°.

【点睛】本题通过折叠变换考查三角形、四边形内角和定理.注意折叠前后图形全等;三角形内角和为180。；

四边形内角和等于360度.

7.(2020•全国初二课时练习)如图，在直角△ABC,NC=90°，BO平分NA8C交AC于点O，AP平

分N/MC交50于点尸.⑴NAPD的度数为.(2)若ZBZ)C=58°,求ZBAP的度数.

【答案】⑴45。；(2)ZBAP=13°.

【分析】⑴根据三角形内角和为180°可得NBAC+NABC=90。，再根据角平分线的定义可得NPAB+N

PBA=45。，然后根据三角形的外角性质即可得解；

(2)因为/BDC是AADP的外角，由(1)可求得NDAP,根据角平分线的定义即可得解.

【解析】(l)；NC=90°，••./BAC+/ABC=90。，

：3。平分ZABC，AP平分ZBAC,AZPAB+ZPBA=-(ZBAC+ZABC)=45°,

2

，ZAP£>=/PAB+NPBA=45°；

(2)7ZSZ)C=58°,：.ZDAP^5S°-ZAPD=13°.

：AP平分NS4C，，ZR4P=NZMP=13°.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质等，解此题的关键在于熟练掌握知识点.

9.(2020•山西翼城初一期末)探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律.

在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律.

规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90。加上第三个内角度数的一半.

规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半.

如图，已知点P是口43。的内角平分线5P与CP的交点，点M是口43。的外角平分线8M与CM的交

点，则NP=90°+,NANM=90。一

22

C

'3

M

证明规律1:

QBP、CP是DABC的角平分线，.•.Nl=；NABC,/2=g/ACB,(l)

二ZA=180°-2(Nl+N2),(2)Zl+Z2=90°-1NA,

/.NP=180。—(Z1+N2)=90。+gNA.

证明规律2：

QZ3=-(ZA+ZACB),Z4=-(ZA+ZABC),

Z3+Z4=^(ZA+ZACB+ZABC)+^ZA=90°+^ZA,

：.NM=180。-(N3+Z4)=90°-1zA.

请解决以下问题：(1)写出上述证明过程中步骤(2)的依据是:；（2）如图，已知点。是n4sc的

内角平分线8。与DABC的外角（NACO）平分线CQ的交点，请猜想N。和NA的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）三角形的内角和等于180°；（2）NQ=；/A.

【分析】（1）经过认真阅读推理过程，再结合三角形的有关知识可以得到解答；（2）根据外角定理及角平

分线定义，可以用/A表示出来，也可以用/Q表示出来，利用等量代换即可求得N。和NA的数量关系.

【解析】（1）三角形的内角和等于18（）。；

（2）NQ=g/A理由如下：

A

收71

BCD

图(2)

QCQ平分ZACDZl=-ZACD=-(ZA+ZABC)

一22

•••BQ平分ZABC.N2=gZABCN1=N2+N。=gZABC+NQ

.•.g(NA+ZA8C)=gNABC+NQ.•.NQ=；NA.

【点睛】本题考查三角形内外角的有关知识和应用，在正确作图的基础上利用内角和定理、外角定理以及

角平分线定义是解题关键.

知识点2-3多边形的有关概念

(1)多边形：在平面内，由一些线段首位顺次连接线段组成的图形。有〃条边组成，我们就称为〃边形。

(2)内角：多边形相邻两边组成的角。〃边形就有〃个内角

(3)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角

(4)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点组成的线段。\n(n-3)

解释：〃个顶点，每个顶点不相邻顶点有(〃-3)个，重复计数一次，乘今

(5)凸多边形：画出多边形的任何一条边的直线，整个多边形都在直线同一侧。反之，则叫凹多边形。

(6)正多边形：各个角都相等，且各条边相等的多边形。

知识点2-4多边形的内角和

〃边形内角和为(n-2)*180.

解释：〃边形可分解为(n-2)个三角形，三角形内角和为180度.

知识点2-5多边形的外角和

1)定理：多边形外角和为360°.

注：①多边形内角和与边〃有关，等于(〃-2)X180度.

②多边形外角和与边“无关，都等于360度.

1.(2020•全国初一课时练习)下列说法不正确的是()

A.各边相等的多边形是正多边形B.等边三角形是正多边形

C.正多边形的各个内角都相等D.正多边形的各条边都相等

【答案】A

【分析】根据正多边形的定义：各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，除正三边形以外，各边相

等，各角相等，两个条件必须同时成立.

【解析】A.各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误；

B.等边三角形三条边相等，三个角相等，是正多边形，故选项B正确；

C.正多边形的各个内角都相等，故选项C正确；

D.正多边形的各条边都相等，故选项D正确.故选A.

【点睛】本题考查了正多边形的定义，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立.

2.（2020•江苏省泰兴市黄桥初级中学初一期中）若一个〃边形的每一个外角都是36。，则这个〃边形对角线

的条数是（）

A.30B.32C.35D.38

【答案】C

分析：多边形的外角和是固定的360。，依此可以求出多边形的边数，进而求得对角线的条数.

【解析】；一个多边形的每个外角都等于36。，.•.多边形的边数为360。+36。=10.

二对角线的条数是LxlOx（10-3）=35（条）.故选C.

2

点睛：本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360。，正确理解n边形的对角线条数是,n

2

（n-3）是关键.

3.（2020•广西福绵初一期末）若一个多边形的内角和为720°,则这个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n-2）T80。，结合方程即可求出答案.

【解析】设这个多边形的边数为n*,由题意，得（n-2）180°=720°,解得：n=6,

则这个多边形是六边形.故选D.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为（n-2）・180。是解题的关键.

4.（2020•湖北全国?初二课时练习）一个正十边形的某一边长为8cm,其中一个内角的度数为144°,则这个

正十边形的周长和内角和分别为（）

A.64cm,1440°B.80cm,1620°C.80cm,1440°D.88cm,1620°

【答案】C

【解析】因为正十边形的各个边都相等，则它的周长为8x|0=80（cm）

因为正十边形的各内角都相等，则它的内角之和为144。/10=1440。.故选C.

5.（2020•全国初二课时练习）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多

边形纸片的，边数不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】A

【解析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-l）边形.故当剪去一个

角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是

16边形.故选A.

【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过

一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.

6.（2020•江苏宿豫初一期中）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成4个三角形，则这个多

边形的边数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据多边形的性质，n边形中过一个顶点的所有对角线有（n—3）条，把这个多边形分成（n-2）个

三角形，根据这一点即可“解答.

【解析】这个多边形的边数是4+2=6.故选：I）.

【点睛】本题考查多边形的对角线规律,解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成（n-2）个三角形，

本题属于基础题型.

7.（2020•吉林宽城初一期末）如图，六边形ABC0EE内部有一点G,连结BG、DG.若

Nl+N2+N3+N4+N5=44（）。，则的大小为（）

CD

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】利用多边形的内角和定理计算出六边形内角和，计算出/6+N7+/C的度数，然后可得/BGD的

大小.

【解析】解：如图，标注角，：多边形ABCDEF是六边形，

.*.Zl+Z5+Z4+Z3+Z2+Z6+Z7+ZC=18-0°x（6-2）=720°,

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=440°,,Z6+Z7+ZC=720°-440°=280°,

多边形BCDG是四边形，，ZC+Z6+Z7+ZG=360°,

ZG=360°-（Z6+Z7+ZC）=360°-280°=80°,故选：C.

【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）"80。（n*且n为整数）.

8.（2020・重庆万州初一期末）在下列正多边形瓷砖中，若仅用一种正多边形瓷砖铺地面，则不能将地面密

铺的是（）

A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形

【答案】D

【分析】看哪个正多边形的一个内角的度数不是360。的约数，就不能密铺平面.

【解析】解：A.正三角形的一个内角为60。，是360。的约数，能密铺平面，不符合题意；

B.正四边形的一个内角度数为180-360+4=90。，是360。的约数，能密铺平面，不符合题意；

C.正六边形的一个内角度数为180-360+6=60。，是360。的约数，能密铺平面，不符合题意；

D.正八边形的一个内角度数为180-360+8=135。，不是360。的约数，不能密铺平面，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查平面密铺的问题，解答此题的关键是熟练掌握知识点：一种正多边形能镶嵌平面，

这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°-360°+边数.

9.（2020•河北邢台初三二模）如图，有〃个全等的正五边形按如下方式拼接，使相邻的两个正五边形有公

共顶点，所夹的锐角为24。，拼接一圈后，中间形成一个正多边形，则〃的值为（）

A.5B.6C.8D.10

24°

【答案】B

【分析】根据正多边形的内角公式列出方程即可求出答案.

【解析】解：正五边形的内角度数=180°x；5—2）=]08。,则正五边形每个内角的度数为108。，

由图可知：中间形成的正多边形的内角度数=360°-108°x2-24°=120°，

则设中间形成的正多边形的边数为m,则有：再四二2=120。

m

oo

180°/??x-180x2=120m60°加=360°力=6

因此这"个正五边形拼接一圈围成的内部为正六边形.故选：B.

【点睛】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角公式及常见的正多边形的内角度数是

解题的关键.

10.（2020•山东陵城初二期末）小明同学在计算一个多边形（每个内角小于180。）的内角和时，由于粗心少算

一个内角，结果得到的和是2020。，则少算了这个内角的度数为.

【答案】140°

【分析】n边形的内角和是（n-2）-180°,少计算了一个内角，结果得2020。，则内角和是（n-2）・180。与

2020。的差一定小于180度，并且大于0度.因而可以解方程（n-2）TgOo^OZO。，多边形的边数n一定是

最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角.

2

【解析】设多边形的边数是n,依题意有（n-2）•180—2020。，解得：n>13-,

则多边形的边数n=14；多边形的内角和是（14-2）•180=2160°；则未计算的内角的大小为2160。-2020。

=140°.故答案为：140。.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键.

重难点题型

题型1垂直的性质应用

解题技巧：解决此类问题的关键是掌握同角（等角）的余角相等.

1.（2020•江苏崇川初一期末）如图，/。是的角分平线,CE是△48C的高，NR4c=60°,NBCE=50°,

点厂为边N8上一点，当△8。尸为直角三角形时，则NNOF的度数为.

【答案】20。或60°.

【分析】分情况讨论：①当NBFD=90。时，②当尸=90。时，根据定义分别求解即可.

【解析】如图所示，当N8ED=90°时，

是△45C的角分平线，ZBAC=60°,ZBAD=30a,尸中，ZADF=60D；

如图，当N8OF=90°时，同理可得.

：CE是△Z8C的高，NBCE=50°,：.ZBFD=ZBCE=50Q,AZADF=ZBFD-ZBAD=2Q°,

综上所述：乙4。尸的度数为20°或60°.故答案为：20。或60°.

【点睛】本题考查角平分线和高线、垂直的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键.

2.（2019•滨海县期中）如图，ADLBC,垂足为。，点E在ZC上，且NZ=30°,NB=40°.求NBFD

和//EF的度数.

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出/C,根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【解答】解：'：ADLBC,：.ZADC^ZADB=90°,

/.ZC=90°-/Z=90"-30°=60°,NBFD=90°-N8=50°,

在△8CE中，NBEC=180°-ZEBC-ZC=180°-40°-60°=80°,/.ZJEF=1800-ZBfC=100°.

【点评】本题考查直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质准确识图是解题的关键.

3.（2020•道里区期末）如图，CZ）是直角△/BC斜边42上的高，CB>CA,图中相等的角共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

【分析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等得：NA=NDCB,NB=NACD.

【解答】解：是直角△/8C斜边上的高，...N{C8=N/OC=NCQ8=90°,

AZA+ZACD=ZACD+ZDCB=90Q,'.ZA=ZDCB,

同理得：.•.相等的角一共有5对，故选：D.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键.

4.（2019•丰台区期末）在△48C中，NACB=9Q°,N4BC=40°,尸是射线上一动点（与8,C点不

重合），连接NP.过点。作81尸于点£）,交直线N8于点E,设/4PC=a.（1）若点P在线段8c上，

且a=60°,如图1,直接写出的大小；（2）若点P在线段8c上运动，如图2,求N/ED的大小（用

含a表示）；（3）若点尸在8c的延长线上运动，且aW50°,直接写出N4EQ的大小（用含a的式子表示）.

【分析】（1）根据三角形外角的的性质可得结论；（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可

得结论；(3)分情况讨论：a>50°或a<50°根据三角形内角和可得结论.

【解答】解：(1)如图1.当a=60°时，NZPC=60°,

△NP8中，NR4B=NAPC-NB=60°-40°=20°,

(2)如图2,同(1)得：ZPAB=a-40°,,:CELAP,/.ZADE=90°,；.NR4B+N4ED=90°,

AZAED=90°-N为8=90°-(a-40°)=130°-a,

(3)如图3,当a>50°时，ZX/IPC中，N/CP=90",NAPC=a,/C4P=90°-a,

CDLAP,ZAED=900-ND4E=90°-(50°+90°-a)=a-50°,

②如图4,当a<50°时，AZAED=900-ZR4E=90°-(a+40°)=50°-a,

综上，ZAEDa-50°或50°-a.

【点评】本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关

键.

5.（2019•沐阳县期末）已知I：如图，在△ZSC中，ZACB=90°,是高，/E是△/BC内部的一条线

段，4E交CD于点F,交CB于点、E,且NCFE=NCEF.求证：/E平分NC/8.

【分析】在中，利用三角形内角和定理结合对顶角相等可得出ND4F=90°-N47）=90°-ZCFE,

在中，利用三角形内角和定理可得出NC4E=90°-ZCEF,再结合NCF£=/CEF可得出尸

=ZCAE,即/E平分/C/8.

【解答】证明：'：CD±AB,.•.在/中，ND4尸=90°-N4FD=90°-ZCFE.

VZ/4C£=90°,.•.在△/EC中，NC4E=90°-NCEF.

VZCFE=ZCEF,:.NDAF=NCAE,即ZE平分NO8.

【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形内角和定理,

找出乙0/尸=90°-NCFE及NCAE=90°-/CE尸是解题的关键.

题型2利用三角形的高和角平分线性质求角

1.（2020•镇江市江南学校初一月考）如图，在aABC中，AD是高，AE是角平分线，ZB=28°,ZC=60°,

则/DAE=__。.

【答案】16°

【解析】；/企28°,/e60°,二/班小180°-28°-60°=92°.

是角平分线，:.NBA芹［/协华46°,AEA/B+NBA-4。.

2

是高，.../4叱90°,如田90°-ZAED=90°-74°=16°.故答案为16°.

2.（2020•海南临高初一期末）如图，口ABC中，AO是高，AE是NBAC的平分线，NB=70°,NZME=19°，

则NC的度数是.

【答案】32。

【分析】根据高定义求出NA£>8=90°,根据三角形内角和定理求出NBA。=20°,求出N&4£=39。，根

据角平分线的定义求出4AC,再根据三角形内角和定理求出NC即可.

【解析】解：•.•AD是高，.,.NADB=90°,•.•/8=70°,.•・/54£>=180。一/403—N5=2O。，

-,-ZDAE=19°,/.ZBAE=ABAD+ZDAE=39°,

,.­AE是NBAC的平分线，ABAC=2NBAE=78°,

.•.ZC=1800-ZB-ZR4C=180o-70o-78o=32°,故答案为：32°.

【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能根据知识点求出各

个角的度数是解此题的关键.

3.（2020•云南昆明三中初一期末）在AABC中，如果NA=1/B=；NACB.（l）Z^ABC是什么三角形？

并证明.（2）CD是AABC的高，CE是/ACB的平分线，求/DCE的度数.

【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）15°

【分析】（1）用/A表示出NB、/ACB,然后利用三角形的内角和等于180。列方程求出NA,再求出/ACB；

（2）根据直角三角形两锐角互余求出NACD,根据角平分线的定义求出ZACE,再根据

ZDCE=ZACD-ZACE计算即可得解.

【解析】解：（1）直角三角形，理由是：•..NA=』NB=』NACB,，/B=2/A,ZACB=3ZA,

23

VZA+ZB+ZACB=180°,AZA+2ZA+3ZA=180°,

解得NA=30。，ZB=60°,/ACB=90。，.,△ABC是直角三角形;

(2)；CD是AABC的高，,...NACD=90O-30<5=60。,

VCE是/ACB的角平分线，ZACE=-x90°=45°,AZDCE=ZACD-ZACE=60°-45°=15°.

2

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记概念并准确识

图是解题的关键.

4.（2020•云南师大附中初一期末）在四边形ABCD中，。与NBCD的角平分线交于点E,

NDEC=115。,过点8作3///AD交CE于点/，CE=2BF,ZCBF^-ZBCE,连接

4

25

S&BCE=1，则CE-...-

【答案】5

【分析】设NBCE=4x,ZCBF=5x,设/ADE=/EDC=y,构建方程组求出x,y,证明/CFB=90°,再利

用三角形的面积公式构建方程即可解决问题.

【解析】解：：NC8b=2/5CE,.•.可以假设NBCE=4x,则NCBF=5x,

4

：DE平分/ADC,CE平分NDCB,AZADE=ZEDC,ZECD=ZECB=4x,设NADE=NEDC=y,

VAD/7BF,.\ZA+ZABF=180°,AZADC+ZDCB+ZCBF=I80°,.\2y+13x=180<,①，

VZDEC=115",.,.ZEDC+ZECD=65°,即y+4x=65°②，

联立①②解得x=10°,y=25°,.*.ZBCF=40o,ZCBF=50°,

AZCFB=90°,ABFIEC,；.CE=2BF,设BF=m,则CE=2m,

125125

S.RCF=—xECxBF=—,—x2mxm--,

ABCE2424

解得m=g（负值舍去），.•.CE=2〃?=5,故答案为5.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组等知识，解题

的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题.

5.(2020•旺胎县期末)如图①，力。平分NA4C,AE1BC,/8=38°,ZC=64°.

图①图②

(1)求ND4E的度数；(2)如图②，若把'ZEJ_8C”变成“点尸在D4的延长线上，FELBC",NB=a,

NC=0(a<p),请用a、0的代数式表示NZ)FE.

【分析】(1)求出的度数，利用ND4E=90°-N4DE即可求出/D4E的度数.

(2)求出N/O51的度数，利用N£>FE=90°-■即可求出ND4E的度数.

【解答】解：(1)VZ5=38°,ZC=64°,：.ZBAC=78°,

•.1。平分/8/C,:.NBAD=NCAD=39°,:./ADE=/B+NBAD=T7°,

"：AE1.BC,：.ZAEB=90",：.ZDAE=90°-乙4。£=13°.

(2)'：B=a,ZC=p,：.ZBAC=\S00-a-p,

,.70平分/8NC,AZBAD^ZCAD=90Q-1(a+0),

i

ZADE=ZB+ZBAD=a+90°-*(a+0),

1

,：AEA.BC,：.ZAEB=9Q°,:.NDFE=90°-ZADE=(p-a).

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.

6.(2019•织金县期末)如图，在△/8C中，NBVN4CB,4。平分N8ZC,P为线段力。上的一个动点，

PEL4D交直线BC于点、E.(1)若NB=35°,//。=85°,求NE的度数；(2)当点尸在线段NO上运

动时，求证：NE=*(N4CB-4B).

【分析】(1)首先根据三角形的内角和定理求得N84C的度数，再根据角平分线的定义求得/D4c的度数,

从而根据三角形的内角和定理即可求出N/1OC的度数，进一步求得NE的度数；

(2)根据第(1)小题的思路即可推导这些角之间的关系.

【解答】(1)解：VZB=35°,ZACB=S5°,：.ZBAC=60a.

平分/8/C,：.ZDAC^30".：.ZJDC=65°.

又,：NDPE=90°,，/E=25°

(2)证明：'：ZB+ZBAC+ZACB=\SO°,AZ5/1C=180°-(NB+NACB).

平分/8/C,:.NBAD=^NBAC=9G。(ZB+ZACB).

：.ZADC=ZB+ZBAD=90a-1(NACB-ZS).

■:PELAD,:.NDPE=9Q°.//DC+/E=90°.

.,.NE=90。-ZADC,即NE=*(N/C8-N8).

【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义.掌握三角形的内角和为180°,以及角平分线

的性质是解决问题的关键.

题型3.直角三角板中的求角度问题

1.(2019•河北石家庄初一期末)小明把一副含45°,30°角的直角三角板如图摆放，其中NC=NF=90°,

【答案】210°

【分析】由三角形外角定理可得N1=N3+NO，N2=N6+NE,故N1+N2=N3+ND+N6+NF=

Z4+ZD+Z5+ZF,根据角的度数代入即可求得.

【解析】：N1=N3+ZD，N2=N6+N尸，

Nl+N2=N3+ZD+N6+N尸=N4+NO+N5+N/=N4+N5+30°+90°=210°.

故答案为:210°.

【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，熟练掌握三角形中角的关系是解题的关键.

2.（2020•北京丰台初一期末）一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么/£=.

【答案】60°.

【分析】根据直角三角尺的特点，可以得到NB的度数，再根据NFDB=90。，从而可以得到Na的度数.

【解析】由图可知，ZB=30°,ZFDB=90°,

故/（1=90。-/8=90。-30。=60。，故答案为：60°.

【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

3.（2020•重庆市渝北中学校初一月考）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分/DCE交DE

于点F,（1）求证：CF〃AB,（2）求/DFC的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）105°

【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得/1=45。，再有N3=45。，再根据内错角相等两直线平行可判定出

AB〃CF：（2）利用三角形内角和定理进行计算即可.

【解析】解：（1）证明：：CF平分NDCE,.•./1=/2=L/DCE.

2

VZDCE=90°,；.N1=45°.VZ3=45°,.\Z1=Z3.，AB〃CF.

(2)VZD=30°,Zl=45°,AZDFC=180°-30°-45°=105°.

【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的

解题关键.

4.(2020•定兴县期末)如图所示，有一块